1、第 9 讲 一元二次方程考点 1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程的概念 只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程，叫做一元二次方程.它的一般形式是 ax2+bx+c=0(a0).一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、 法、公式法、 法等.考点 2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系根的判别式的定义 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式为 .判别式与根的关系 (1)b2-4ac0 一元二次方程 的实数根；(2)b2-4ac=0 一元二次方程 的实数根；(3)b2-4ac0 一元二次方程 实数根.根与系数的关系
2、 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根分别是 x1、x 2，则 x1+x2=- ,x1x2= .bac【易错提示】(1)在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为 0 这个限制条件.(2)利用根与系数的关系解题时，要注意根的判别式 b2-4ac0.考点 3 一元二次方程的应用正确列出一元二次方程的前提是准确理解题意、找出等量关系，进而达到求解的目的.在此过程中往往要借助于示意图、列表格等手段帮助我们分析数量关系，并能根据具体问题的实际意义检验结果是否合理.1.已知方程一根求另一根或参数系数，可将已知根代入方程求出参数系数的值，再解方程另一根；也可
3、以利用根与系数的关系求解.2.解一元二次方程需要根据方程特点选用适当的方法，一般情况下：(1)首先看能否用直接开平方法或因式分解法；(2)不能用以上方法时，可考虑用公式法；(3) 除特别指明外，一般不用配方法.命题点 1 一元二次方程的解法例 1 (2014徐州)解方程： x2+4x-1=0.【思路点拨】可以运用配方法或求根公式法求解.【解答】方法归纳：解一元二次方程通常有四种方法，即直接开平方法，配方法，求根公式法和因式分解法，只要方程有实数根，配方法和求根公式法都是万能的，但要根据具体的方程选择合适的方法才不会让解方程变得很麻烦，直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程，解起来简捷轻松.
4、1.(2014甘孜)一元二次方程 x2+px-20 的一个根为 2，则 p 的值为( )A.1 B.2 C.-1 D.-22.(2014云南)一元二次方程 x2-x-2=0 的解是( )A.x1=1,x2=2 B.x1=1,x2=-2C.x1=-1,x2=-2 D.x1=-1,x2=23.(2013陕西)一元二次方程 x2-3x=0 的根是 .4.(2013无锡)解方程：x 2+3x-20.命题点 2 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例 2 已知关于 x 的一元二次方程 x2-2x-a=0.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为 x1，x
5、 2，且满足 + =- ，求 a 的值.12x3【思路点拨】(1)由“一元二次方程有两个不相等的实数根”可知 0，然后解不等式可以求出 a 的取值范围；(2)通过把题中条件 + =- 变形，构造出整体“x 1x2”与“x 1+x2”，然后利用根与系数的关系得到一个分式方程1x23求得 a 的值.【解答】方法归纳：利用一元二次方程根与系数关系求解字母系数的值的前提条件是方程必须要有两个实数根.1.(2014益阳)一元二次方程 x2-2x+m=0 总有实数根，则 m 应满足的条件是( )A.m1 B.m=1 C.m0.x= =-2 ，45x 1= -2，x 2=- -2.题组训练 1.C 2.D3
6、.x1=0,x2=34.a=1,b=3,c=-2，=3 2-41(-2)=17.x .37x 1= ,x2= .371例 2 (1)=(-2)2-4 1(-a)=4+4a.方程有两个不相等的实数根，0.即 4+4a0，解得 a-1，a 的取值范围为 a-1.(2)由题意得 x1+x2=2，x 1x2=-a. + = = =- .121a3a=3.题组训练 1.D 2.C 3.k1 4.- 72例 3 (1)2.6(1+x)2.(2)根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146.解得 x10.1=10%，x 2-2.1(不合题意，舍去).答：可变成本平均每年增长的百分率为 10%.题组训练 1
7、.B 2.20%3.(1)设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人，由题意，得来源: 学优高考网1+x+x(1+x)64.解得 x1=7，x 2=-9(不合题意，舍去).答：每轮传染中平均一个人传染了 7 个人.(2)764448(人).答：又有 448 人被传染.整合集训1.A 2.B 3.D 4.C 5.D 6.D 7.x1=1，x 2=2 8.1 9.1 10.-1 11.1212.(30-2x)(20-x)=786 或 x2-35x+66=013.(1)3x(x-2)-2(2-x)=0.3x(x-2)+2(x-2)=0.(3x+2)(x-2)=0.3x+2=0 或 x-2=0.即 x1=
8、 ,x2=2.3(2)a=1,b=-5,c=-6，=(-5) 2-41(-6)=490.x= = ，5497x 1=6 或 x2=-1.14.关于 x 的方程(k-1)x 2-(k-1)x+ =0 有两个相等的实数根，14 0,10.kk 解得 k=2.当关于 x 的方程 (k-1)x2-(k-1)x+ =0 有两个相等的实数根时， k=2.1415.设这两年的平均增长率为 x，依题意，得5 000(1+x)2=7 200.解得 x1=0.2=20%，x 2=-2.2(不合题意，舍去).答：这两年的平均增长率为 20%.16.（1）由题意，得 0 ，即(-2 )2-4m0，解得 m2.m 的最
9、大整数值为 m=1.(2)把 m=1 代入关于 x 的一元二次方程 x2-2 x+m=0 得 x2-2 x+1=0，根据根与系数的关系：x 1+x2=2 ，x 1x2=1，x 12+x22-x1x2=(x1+x2)2-3x1x2=(2 )2-31=5.17.C 18.C 19.答案不唯一，如： x2-5x+6=020.(1)关于 x 的一元二次方程(a-6)x 2-8x+9=0 有实根，a-60，=(-8) 2-4(a-6)90.解得 a 且 a6.79a 的最大整数值为 7.(2)当 a=7 时，原一元二次方程变为x2-8x+9=0.解得 x1=4+ ，x 2=4- .7x 是一元二次方程 x2-8x+9=0 的根，x 2-8x=-9.原式=2x 2- =2x2-16x+ =2(x2-8x)+ =2(-9)+ =- .391772921.(1)把 x=-1 代入方程得 2a-2b=0，即 a=b，ABC 是等腰三角形 .(2)方程有两个相等的实数根，=(2b) 2-4(a+c)(a-c)=0，即 b2+c2=a2，ABC 是直角三角形 .(3)ABC 是等边三角形， a=b=c.原方程变为：2ax 2+2ax=0.a 0， x 2+x=0.x 1=0，x 2=-1.
