1、题型专项(七) 圆的有关证明与计算纵观贵州 9 地州近年的中考，圆的有关证明与计算是中考的必考内容之一，占较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时还要注意已知条件之间的相互联系类型 1 与圆的性质有关的证明与计算 (2015贵阳)如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，FOAB，垂足为点 O，连接 AF并延长交O 于点 D，连接 OD交 BC于点 E，B30，FO2 .3(1)求 AC的长度；(2)求图中阴影部分的面积(计算结果保留根号)【思路点拨】 (1)在 RtFBO 中，先利用
2、锐角三角函数计算 OB 的长，进而得到直径 AB 的长，最后再在 RtABC 中利用 30角所对的直角边是斜边的一半可得 AC 的长；(2)求阴影部分的面积需要转化为 SACF S FOD S AOF S FOD S AOD .【解答】 (1)在 RtFBO 中，ABC30，FOB90，FO2 ，3FB4 ，OB6.3AB2BO12.又C90，ABC30，AC AB6.12(2)连接 BD，过点 D作 DMAB 于 M.FO 为 AB的中垂线，FAFB.FAOFBO30.DOM2FAO60.在 RtDOM 中，sinDOM ，即 DM3 .DMOD 3又CAOF90，ACAO6，AFAF，Rt
3、AFCRtAFO(HL)来源:学优高考网S CAF S OAF .S 阴影部分 S ACF S FOD S AOF S FOD S AOD AODM 63 9 .12 12 3 3解决与圆的性质有关证明与计算：(1)结合题意，分析图形中相关信息，运用圆的有关性质或其他知识的综合，解决证明或计算问题；(2)对于求简单组合图形的面积，关键是分离出一些基本的几何图形，通过观察图形之间的关系，巧妙地转化成规则图形的面积和、差，然后利用图形之间的数量关系，最后得出正确结论，使复杂问题简单化1(2013黔西南)如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P在O 上，1C.来源:学优高考网(1)求
4、证：CBPD；(2)若 BC3，sinP ，求O 的直径352(2015六盘水模拟)已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB交小圆于点 C，D(如图)(1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径 R10，小圆的半径 r8，且圆 O到直线 AB的距离为 6，求 AC的长3.(2015遵义)如图，ABC 中，ABAC，以 AB为直径作O，交 BC于点 D，交 CA的延长线于点 E，连接AD、DE.(1)求证：D 是 BC的中点；(2)若 DE3，BDAD2，求O 的半径；来源:gkstk.Com(3)在(2)的条件下，求弦 AE的长类型 2 与圆的切线有关的证明与计算(2015黔东南)如图，
5、已知 PC平分MPN，点 O是 PC上一点，PM 与O 相切于点 E，O 交 PC于 A、B 两点(1)求证：PN 与O 相切；(2)如果MPC30，PE2 ，求劣弧 的长3 BE 【思路点拨】 (1)连接 OE，过点 O 作 OFPN 于点 F，证明 OFOE 即可；(2)要求劣弧 的长，就得先求BE BOE 的度数和O 的半径，而这两者都不难从已知条件中得出【解答】 (1)证明：连接 OE，过 O作 OFPN 于 F.PM 与O 相切于点 E，OEPM.又PC 平分MPN，OFPN，OEOF.PN 是O 的切线(2)在 RtPOE 中，MPC30，PE2 ，3OEPEtan EPO2 2.
6、333EOB 是PEO 的外角，EOBEPOPEO3090120，劣弧 的长 .BE n r180 120 2180 43(1)证明切线常用方法：有切点，连半径、证垂直； 无切点，作垂线，证相等(2)利用切线性质求线段长度策略：一般是连接过切点的半径，构造直角三角形，根据解直角三角形或利用勾股定理来解决问题，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质来解决问题1(2015六盘水)如图，在 RtACB 中，ACB90，点 O是 AC边上的一点，以 O为圆心，OC 为半径的圆与 AB相切于点 D，连接 OD.(1)求证：ADOACB；(2)若O 的半径为 1，求证：ACADB
7、C.2.(2015安顺模拟)已知：如图，P 是O 外一点，过点 P引圆的切线 PC(C为切点)和割线 PAB，分别交O于 A、B，连接 AC，BC.(1)求证：PCAPBC；(2)利用(1)的结论，已知 PA3，PB5，求 PC的长3(2014安顺模拟)如图，在O 中，AB 是直径，AD 是弦，ADE60，C30.(1)判断直线 CD是否为O 的切线，并说明理由；(2)若 AD3 ，求O 的直径34(2015安顺)如图，等腰三角形 ABC中，ACBC10，AB12.以 BC为直径作O 交 AB于点 D，交 AC于点 G，DFAC，垂足为 F，交 CB的延长线于点 E.(1)求证：直线 EF是O
8、 的切线；(2)求 cosE的值5(2015随州)如图，射线 PA切O 于点 A，连接 PO.(1)在 PO的上方作射线 PC，使OPCOPA(用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法)，并证明：PC 是O的切线；(2)在(1)的条件下，若 PC切O 于点 B，ABAP4，求 的长AB 6.(2014咸宁)如图，已知 AB是O 的直径，直线 CD与O 相切于点 C，ADCD 于点 D.(1)求证：AC 平分DAB；(2)若点 E为 的中点，AD ，AC8，求 AB和 CE的长AB 3257(2015遵义模拟) 如图，已知 BC是以 AB为直径的O 的切线，且 BCAB，连接 OC交O 于点 D，延
9、长AD交 BC于点 E，F 为 BE上一点，且 DFFB.(1)求证：DF 是O 的切线；(2)若 BE2，求O 的半径参考答案类型 1 1.(1)证明：CP，1C，1P.CBPD.(2)连接 AC.AB 为O 的直径，ACB90.又CDAB， .BC BD PCAB，sinCAB ，即 .35 BCAB 35又知 BC3，AB5.O 直径为 5.2(1)证明： 作 OEAB，AEBE，CEDE.AECEBEDE，即 ACBD.(2)连接 OC，OA，过点 O作 OEAB 于点 E，则 OE6.CE 2 ，AE 8.OC2 OE2 82 62 7 OA2 OE2 102 62ACAECE82
10、.73(1)证明：AB 是O 的直径，ADBD.又 ABAC，BDCD，即 D是 BC的中点(2)ABAC，ABCC.又ABCAED，CAED.DEDC3.BDDC3.ADBD21.在 RtABD 中，AB .BD2 AD2 10O 的半径为 .来源:gkstk.Com102(3)连接 BE.易证ADCBEC， ，即 ，解得 EC .ACBC DCEC 106 3EC 9510AEECAC .4510类型 2 1.证明：(1)AB 是O 的切线，ODAB.CADO90.AA，ADOACB.(2)由(1)知：ADOACB. ，即 ADBCACOD.ADAC ODBCOD1，ACADBC.2(1)
11、证明：连接 OC，OA，OCOA，ACOCAO.PC 是O 的切线，C 为切点，PCOC.PCO90，PCAACO90.在AOC 中，ACOCAOAOC180，AOC2PBC，2ACO2PBC180.ACOPBC90.PCAACO90，PCAPBC.(2)PCAPBC，PP，PACPCB. ，即 PC2PAPB.PCPA PBPCPA3，PB5，PC .35 153(1)CD 是O 的切线连接 OD，BD，AB 是O 的直径，ADB90.ADEAC，ADE60，C30，60A30，即A30.AB2BD.AODO，来源:学优高考网AADO30.ADEADOEDO603090.ODCE.CD 是O
12、 的切线(2)设 DBx，则 AB2x，在 RtADB 中，由勾股定理，得 4x2x 2(3 )2.3解得 x3.AB6.O 的直径为 6.4(1)证明：连接 OD、CD.BC 是O 的直径，CDAB.ACBC.D 是 AB的中点又 O为 CB的中点，ODAC，EFAC，EFOD.EF 是O 的切线(2)连接 BG.BC 是O 的直径，BGC90.在 RtACD 中，DC 8.AC2 AD2 102 62ABCD2S ABC ACBG，BG .ABCDAC 12810 485BGAC，DFAC，BGEF, ECBG .cosEcosCBG .BGBC 24255(1)作图如图证明：连接 OA，
13、过 O作 OBPC 于点 B.PA 切O 于点 A，OAPA.又OPCOPA，OBPC，OAOB.PC 是O 的切线(2)PA、PC 是O 的切线，PAPB.又ABAP4，PAB 是等边三角形APB60.AOB120，POA60.在 RtAOP 中，tan 60 ，4OAOA .433l .AB 120433 180 8396(1)证明：连接 OC，直线 CD与O 相切于点 C，OCCD.ADCD，OCAD.DACOCA.OAOC，OCAOAC.OACDAC，即 AC平分DAB.(2)连接 BC，OE，过点 A作 AFEC 于点 F.AB 是O 的直径，ACB90.ACBADC.DACBAC，
14、ADCACB. ，即 ，解得 AB10.ADAC ACAB 3258 8ABBC 6，AB2 AC2点 E为 的中点，AB AOE90.OEOA AB5，12AE 5 .OA2 OE2 2AEFB，AFEACB90，ACBAFE， .ABAE ACAF CBFE .1052 8AF 6FEAF4 ，EF3 .2 2ACF AOE45，12ACF 是等腰直角三角形CFAF4 .2CECFEF7 .27(1)证明：连接 BD，BC 是O 的切线，AB 是直径，ABBC.FBDOBD90.DFFB，FDBFBD.ODOB，ODBOBD.FDBODBFBDOBD90，即 ODDF.DF 是O 的切线(2)AB 是O 的直径，ADB90，FDBFDEFBDFED90.FDBFBD，FDEFED.FDFEFB BE1.12在 RtOBC 中，tanOCB ，在 RtCDF 中，tanOCB ，OBBC OB2OB 12 DFCD .DFCD 12DF1，CD2.在 RtCDF 中，由勾股定理可得：CF ，5OB BC ，12 5 12即O 的半径是 .5 12
