1、第三章综合素能检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题) 两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数 f(x)x 23x 4 的零点是 ( )A(1，4) B(4，1)C1，4 D4，1答案 D解析 由 x23x 40，得 x14，x 21.2(2015河北孟村回民中学月考试题) 若函数 f(x)在a，b 上连续，且同时满足 f(a)f(b)0，f( a)f( )0.则( )a b2Af(x)在a， 上有零点a b2Bf(x)在 ，b
2、上有零点a b2Cf(x)在 a， 上无零点a b2Df(x)在 ，b上无零点a b2答案 B解析 由已知，易得 f(b)f( )0，因此 f(x)在 ，b上一定有零点，但在其他a b2 a b2区间上可能有零点，也可能没有零点3函数 f(x)xlog 2x 的零点所在区间为( )A0， B ， 18 18 14C ， D ，114 12 12答案 C解析 f(x) 在其定义域(0 ，) 上是单调递增函数，而在四个选项中，只有 f( )f( )14 120，函数 f(x)的零点所在区间为 ， ，故选 C.14 124(2010浙江)已知 x0 是函数 f(x)2 x 的一个零点若 x1(1 ，
3、x 0)，11 xx2( x0， )，则( )Af(x 1)0，f(x 2)0 Bf (x1)0，f (x2)0Cf(x 1)0，f (x2)0 Df(x 1)0，f (x2)0答案 B解析 由于函数 g(x) 在(1，) 上单调递增，函数 h(x)2 x 在11 x 1x 1(1， )上单调递增，故函数 f(x)h(x)g( x)在(1，) 上单调递增，所以函数 f(x)在(1， )上只有唯一的零点 x0，且 f(x1)0，f (x2)0，故选 B.5某工厂 2010 年生产某种产品 2 万件，计划从 2011 年开始每年比上一年增产20%，那么这家工厂生产这种产品的年产量从哪一年开始超过
4、12 万件？( )A2019 年 B2020 年C2018 年 D2021 年答案 B解析 设经过 x 年这种产品的年产量开始超过 12 万件，则 2(120%) x12，即1.2x6， x 9.8，取 x10，故选 B.lg6lg1.26二次函数 f(x)ax 2bx c(xR )的部分对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4y 6 m 4 6 6 4 n 6由此可以判断方程 ax2bx c 0 的两个根所在的区间是 ( )A(3，1)和(2,4) B(3，1) 和(1,1)C(1,1)和(1,2) D(，3)和(4，)答案 A解析 f( 3)60，f(1)40，f(3) f(1)0
5、.f(2)40，f(4) 60，f(2)f(4)0.方程 ax2bxc0 的两根所在的区间分别是(3，1) 和(2,4)7用二分法求方程 f(x)0 在区间(1,2)内的唯一实数解 x0 时，经计算得 f(1) ，f(2)35，f( )9 ，则下列结论正确的是 ( )32Ax 0(1 ， ) Bx 032 32Cx 0 ( ，2) Dx 0132答案 C解析 由于 f(2)f( )0，则 x0( ，2) 32 328某研究小组在一项实验中获得一组关系 y、t 之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画 y 与 t 之间关系( )Ay2 t By 2t 2Cy t3 Dy
6、log 2t答案 D解析 由点(2,1)，(4,2) ，(8,4)，故选 D.9设 a，b，k 是实数，二次函数 f(x)x 2ax b 满足：f(k1)与 f(k)异号，f(k1)与f(k)异号在以下关于 f(x)的零点的说法中，正确的是( )A该二次函数的零点都小于 kB该二次函数的零点都大于 kC该二次函数的两个零点之间差一定大于 2D该二次函数的零点均在区间 (k1，k 1) 内答案 D解析 由题意得 f(k1) f(k)0，f (k)f(k1) 0，由零点的存在性定理可知，在区间(k1， k)，(k，k 1)内各有一个零点，零点可能是区间内的任何一个值，故 D 正确10(2015山东
7、梁山一中期中试题) 若函数 f(x)x 3x1 在区间1,1.5 内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125f(x) 1 0.875 0.2969 0.2246 0.05151那么方程 x3x10 的一个近似根(精确度为 0,1)为( )A1.2 B1.3125C1.4375 D1.25答案 B解析 由于 f(1.375)0，f(1.3125)0，且13751.31250.1，故选 B.11(2015河北广平县高一期中试题) “龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于
8、是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用 S1、S 2 分别表示乌龟和兔子所行的路线，t 为时间，则图中与故事情节相吻合的是 ( )答案 D12已知三个函数 f(x)2 x x，g( x)x 2，h( x)log 2xx 的零点依次为 a，b，c，则( )Aabc Bac bCbac Dcab答案 B解析 因为 f(1) 1 0，f(0)10，12 12所以 f(x)的零点 a(1,0)；因为 g(2)0，所以 g(x)的零点 b2；因为 h( )1 0，h(1)10，12 12 12所以 h(x)的零点 c( ，1)12因此 acb.第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本大题共
9、4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13若函数 f(x)mx 22x3 只有一个零点，则实数 m 的取值是_答案 0 或13解析 若 m 0，则 4 12m0，m ，又 m0 也符合要求，m 0 或 .13 1214(2015全国高考湖南卷文科，14 题) 若函数 f(x)|2 x 2|b 有两个零点，则实数 b的取值范围是_答案 (0,2)解析 |2 x2|b0，即|2 x2| b，由函数 y|2 x2|于 yb 图象得，03 时，f( x)2x46x，f(x)Error!，工程所用总天数 f(x)9，x3，x 最大值为 3.三、解答题(本大题共 6 个小题，
10、共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)设函数 f(x)e xm x，其中 xR，当 m1 时，判断函数 f(x)在区间(0 ，m) 内是否存在零点解析 f(x) e xm x，f(0)e m 0e m 0，f(m)e 0m1m.又m1，f(m)0，f(0) f(m)0.函数 f(x)的图象在区间0，m上是一条连续曲线，函数 f(x)e xm x (m1) 在区间(0，m )内存在零点18(本小题满分 12 分)设函数 f(x)ax 2(b8)xaab 的两个零点分别是3 和 2；(1)求 f(x)；(2)当函数 f(x)的定义域是 0,1时，求函数
11、f(x)的值域解析 (1)因为 f(x)的两个零点分别是3,2，所以Error!即Error!解得Error!故 f(x)3x 23x 18.(2)由(1)知 f(x)3x 23x18，其图象的对称轴为 x ，开口向下，所以 f(x)在120,1上为减函数，则 f(x)的最大值为 f(0)18，最小值为 f(1)12.所以值域为12,1819(本小题满分 12 分)用二分法求函数 f(x)x 3x 1 在区间(1,1.5) 内的一个零点(精确度 0.1)解析 由于 f(1)111 10，f (1.5)1.5 31.510.8750，所以 f(x)在区间(1,1.5)内存在零点，取区间(1,1.
12、5)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算列表如下：区间中点 中点函数值的符号 取区间1,1.5x01.25 f(x0)0 (1.25,1.5)x11.375 f(x1)0 (1.25,1.375)x21.3125 f(x2)0 (1.3125,1.375)因为|1.375 1.3125|0.0625，所以原函数精确度 0.1 的零点近似值可取为 1.375.20(本小题满分 12 分)某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业，每一批产品 A上市销售 40 天内全部售完该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图，图中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时
13、间的关系；图中的抛物线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同 )(1)分别写出国内市场的日销售量 f(t)、国外市场的日销售量 g(t)与第一批产品 A 的上市时间 t 的关系式；(2)第一批产品 A 上市后，求日销售利润 Q(t)的解析式解析 (1)当 0t30 时，设 f(t)kt，由 6030k，解得 k2，则 f(t)2t.当 30t40 时，设 f(t)atb，由Error!解得Error!则 f(t)6t 240.所以，国内市场的日销售量为f(t)Error!设 g(t)at(t40)，由 6020a(
14、2040) ，解得 a .320所以，国外市场的日销售量 g(t) t26t (0t 40) 320(2)设每件产品 A 的销售利润为 q(t)，由题图易得q(t)Error!从而这家公司的日销售利润 Q(t)的解析式为 Q(t)q(t )f(t)g(t)Error!21(本小题满分 12 分)(2015河北唐山一中期中)有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同甲中心每小时 5 元；乙中心按月计费，一个月 30 小时以内(含 30 小时 )90 元，超过 30 小时的部分每小时 2 元某人准备下个月从这两家选择一家进行健身活动，其活动不少于 15 小时，也不超过 40 小时(
15、1)设在甲中心健身 x 小时的收费为 f(x)元，在乙中心健身活动 x 小时的收费为 g(x)元试求 f(x)和 g(x)(15x40) ；(2)选择哪家比较合算？为什么？解析 (1)f(x)5x,15x 40 ，g(x)Error!(2)当 5x90 时，x18，即当 15x18 时，f( x)g( x)，当 x18 时，f( x)g( x)，当 18x40 时，f( x)g( x)当 15x18 时，选甲家比较合算；当 x18 时，两家一样合算；当 18x40 时，选乙家比较合算22(本小题满分 12 分)一片森林原来面积为 a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积
16、的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 ，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的 .14 22(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？分析 (1)根据 10 年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的 ，列方程求解22(3)求出第 n 年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的 列不等式求解14解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为 x(0x1)，则 a(1x )10 a，即(1x) 10 .12 12解得 x1( ) .12110(2)设经过 m 年剩余面积为原来的 ，则22a(1x) m a，即( ) ( ) ，22 12m101212 ，解得 m5.m10 12故到今年为止，已砍伐了 5 年(3)设从今年开始，以后砍伐了 n 年，则 n 年后剩余面积为 a(1x) n.22令 a(1x) n a，即(1x )n ，22 14 24( ) ( ) ， ，解得 n15.12n101232n10 32故今后最多还能砍伐 15 年点评 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点
