1、12 月 12 日每日一题如图，已知在ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 与边 BC 交于点 D，与边 AC 交于点 E，过点 D 作 DFAC 于 F.（1 ） 求证：DF 为O 的切线；（2 ） 若 DE= ，AB= 5 ，求 AE 的长.【考点】切线的判定；勾股定理菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】（1）连接 AD，OD，则ADB=90 ，ADBC ；又因为 AB=AC，所以BD=DC，OA=OB，ODAC，易证 DFOD，故 DF 为O 的切线；（2）连接 BE 交 OD 于 G，由于 AC=AB，ADBCED BD，故EAD=BAD， = ，ED=BD ，OE=O
2、B ；故 OD 垂直平分 EB，EG=BG，因为AO=BO，所以 OG= AE，在 RtDGB 和 RtOGB 中，BD 2DG2=BO2OG2，代入数值即可求出 AE 的值【解答】（1 ）证明：连结 AD，ODAB 为O 的直径ADB=90 即 ADBC又 AB=ACBD=DC又 OA=OBODAC又 DFACDFOD DF 为O 的切线 （2 ）连结 BE 交 OD 于 G AC=AB，AD BCEAD=BAD AEDBED=BD，OE=OBOD 垂直平分 EB EG=BG 又 AO=BOOG= AE在 RtDGB 和 RtOGB 中22BDGO255G解得：OG= 3AE=2OG=3【点评】本题比较复杂，涉及到切线的判定定理及勾股定理，等腰三角形的性质，具有很强的综合性
