1、专题复习(六) 求最短路径问题最短路径问题在四川省的中考中出现的频率很高，这类问题一般与垂线段最短、两点之间线段最短关系密切类型 1 利用“垂线段最短”求最短路径问题如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到 C，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案方案一：分别过 C，D 作 AB 的垂线，垂足分别为 E，F，沿 CE，DF 铺设管道；方案二：连接 CD 交 AB 于点 P，沿 PC、PD 铺设管道问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？【思路点拨】 方案一管道长为 CEDF，方案二管道长为 PCPD，利用垂线段最短即可比较出大小【解答】 按方案一铺设管道更节省材料理由如下
2、：CEAB，DFAB，而 AB 与 CD 不垂直，根据“垂线段最短” ，可知DFDP，CECP，CEDFCPDP，沿 CE、DF 铺设管道更节省材料本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点1(2015保定一模)如图，点 A 的坐标为(1，0)，点 B(a，a)，当线段 AB 最短时，点 B的坐标为( )A(0，0)B( ， )22 22C( ， )22 22D( ， )12 122(2015杭州模拟)在直角坐标系中，点 P 落在直线 x2y60 上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( )A. B3 C. D.352 5 655 103(2013内江)在
3、平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为圆心的圆过点 A(13，0)，直线ykx3k4 与O 交于 B、C 两点，则弦 BC 的长的最小值为_4(2015碑林区期中)如图，平原上有 A，B，C，D 四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池 H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池 H 中，怎样开渠最短并说明根据类型 2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题(2015乐陵模拟)(1)如图 1，直线同侧有两点 A，B，在直线 MN 上求一点 C，使它到 A、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法)(2)知识拓展：
4、如图 2，点 P 在AOB 内部，试在 OA、OB 上分别找出两点 E、F，使PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法)(3)解决问题：如图 3，在五边形 ABCDE 中，在 BC，DE 上分别找一点 M，N，使得AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法)若BAE125，BE90，ABBC，AEDE，AMNANM 的度数为_【思路点拨】 (1)根据两点之间线段最短，作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，即可解决；(2)作 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD 交 OA、OB 于 E、F，此时PEF 周长有最小值；(3)取点 A 关于 BC 的对称
5、点 P，关于 DE 的对称点 Q，连接 PQ 与 BC 相交于点 M，与 DE相交于点 N，PQ 的长度即为AMN 的周长最小值；根据三角形的内角和等于 180求出PQ，再根据三角形的外角以及三角形内角和知识运用整体思想解决【解答】 (1)作 A 关于直线 MN 的对称点 E，连接 BE 交直线 MN 于 C，连接 AC，BC，则此时 C 点符合要求图 1 图 2 图 3(2)作图如图(3)作图如图BAE125，PQ18012555.AMNPPAM2P，ANMQQAN2Q，AMNANM2(PQ)255110.“两点(直线同侧)一线型”在直线上求一点到两点的和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直
6、线的对称点，连接对称点与另一点与直线的交点就是所求的点；“一点两线型”求三角形周长最短问题，作点关于两直线的对称点，连接两个对称点与两直线分别有两个交点，顺次连接所给的点与两交点即可得三角形；“两点两线型”求四边形的周长最短类比“一点两线型”即可1(2015内江)如图，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PDPE 最小，则这个最小值为( )A. B2 C2 D.3 3 6 62(2015遵义)如图，在四边形 ABCD 中，C50，BD90，E、F 分别是BC、DC 上的点，当AEF 的周长最小时，EAF 的度数
7、为( )A50 B60 C70 D803(2015攀枝花)如图，在边长为 2 的等边ABC 中，D 为 BC 的中点，E 是 AC 边上一点，则 BEDE 的最小值为_4(2015鄂州)如图，AOB30，点 M、N 分别是射线 OA、OB 上的动点，OP 平分AOB，且 OP6，当PMN 的周长取最小值时，四边形 PMON 的面积为_5(2015凉山)菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B(2，0)，DOB60，点 P 是对角线 OC 上一个动点，E(0，1)，当 EPBP 最短时，点 P 的坐标为_6(2015广元改编)如图，已知抛物线 y (x2)(xm)(m0)与 x
8、 轴相交于点 A，B，1m与 y 轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧(1)若抛物线过点 G(2，2)，求实数 m 的值； (2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 AHCH 最小，并求出点 H 的坐标7(2015成都改编)如图，一次函数 yx4 的图象与反比例 y (k 为常数，且 k0)3x的图象交于 A，B 两点在 x 轴上找一点 P，使 PAPB 的值最小，求满足条件的点 P 的坐标8如图所示，已知点 A 是半圆上的三等分点，B 是 的中点，P 是直径 MN 上的一动点，OAN 的半径为 1，请问：P 在 MN 上什么位置时，APBP 的值最小？并给出 APBP
9、的最小值9(2015达州)如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上，OC 在 x 轴的正半轴上，AOC 的平分线交 AB 于点 D，E 为 BC 的中点，已知 A(0，4)、C(5，0)，二次函数 y x2bxc 的图象抛物线经过 A，C 两点45(1)求该二次函数的表达式；(2)F、G 分别为 x 轴，y 轴上的动点，顺次连接 D、E、F、G 构成四边形 DEFG，求四边形DEFG 周长的最小值；(3)抛物线上是否在点 P，使ODP 的面积为 12？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由参考答案类型 1 利用“垂线段最短”求最短路径问题1D 2.C
10、 3.24 提示：直线 ykx3k4 必过点 D(3，4)，当 BC 过点 D 且 BCOD 时最小点 D 的坐标是(3，4)，OD5.OBOA13，根据勾股定理可得 BD12.BC 的长的最小值为 24. 4.(1)两点之间线段最短，连接 AD，BC 交于 H，则 H 为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小(2)过 H 作 HGEF，垂足为 G.则沿 HG 开渠最短，根据垂线段最短类型 2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题1B 2.D 3. 提示：作 B 关于 AC 的对称点 B，连接 AD、AB、BB、BD，交 AC7于 E，此时 BEEDBEEDBD，根据两点之间线段最短可知 BD
11、 就是 BEED 的最小值，B、B关于 AC 对称，AC、BB互相垂直平分四边形 ABCB是平行四边形三角形 ABC 是边长为 2，D 为 BC 的中点，ADBC.AD ，BDCD1，BB2AD23，作 BGBC 的延长线于 G，BGAD ，在 RtBBG 中，BG 3 3 BB 2 B G23.DGBGBD312.在 RtBDG 中，BD （ 23） 2 （ 3） 2 DG2 B G2 .故 BEED 的最小值为 .22 （ 3） 2 7 74.36 54 5.(2 3，2 ) 3 3 36.(1)抛物线过点 G(2，2)时， (22)(2m)2，即 m4.1m(2)m4，y (x2)(x4
12、)令 y0，则 (x2)(x4)0，解得14 14x12，x 24.A(2，0)，B(4，0)抛物线对称轴为直线 x 1.令 x0，则 y2， 2 42C(0，2)B 点与 A 点关于对称轴对称，连接 BC，BC 与对称轴的交点便为所求点 H.B(4，0)，C(0，2)，求得线段 BC 所在直线为 y x2.当 x1 时，y ，12 32H(1， ) 327.联立 解得 或y x 4，y 3x， ) x 1，y 3， ) x 3，y 1.)A(1，3)，B(3，1)B 点关于 x 轴的对称点 B坐标为(3，1)，连接 AB交 x 轴于点 P，连接 BP.设直线 AB为 ykxb，联立得 解得k
13、 b 3，3k b 1.) k 2，b 5. )y2x5.令 y0，得 x .52P( ，0)即满足条件的 P 的坐标为( ，0) 52 528.作 A 关于 MN 的对称点 A，根据圆的对称性，则 A必在圆上，连接 BA交 MN 于 P，连接 PA，则 PAPB 最小，此时 PAPBPAPBAB.连接 OA、OA、OB， ，AN 13MN AONAON60. ，AB BN BON AON30.AOB90.12AB ，即 APBP 的最小值是 . OA 2 OB2 12 12 2 29.(1)将 A(0，4)、C(5，0)代入二次函数 y x2bxc，得 解得45 20 5b c 0，c 4，
14、 )b 245，c 4. )二次函数的表达式 y x2 x4.45 245(2)延长 EC 至 E，使 ECEC，延长 DA 至 D，使 DADA，连接 DE，交 x 轴于 F点，交 y 轴于 G 点，连接 DG，EF，DE，GDGD，EFEF，(DGGFEFED) 最小 DEDE，由 E 点坐标为(5，2)，D(4，4)，得 D(4，4)，E(5，2)由勾股定理，得 DE ，DE 3 ，22 12 5 （ 5 4） 2 （ 4 2） 2 13(DGGFEFED) 最小 DEDE3 ，即四边形 DEFG 周长的最小值为 3 13 5 13.5(3)如下图：OD 4 .AO2 AD2 2S OD
15、P 12.点 P 到 OD 的距离 3 .2S OPDOD 21242 2过点 O 作 OFOD，取 OF3 ，过点 F 作直线 FGOD，交 y 轴于 G 点，交抛物线于点2P1，P 2，在 RtOGF 中，OG 6.OF2 FG2 （ 32） 2 （ 32） 2直线 GF 的解析式为 yx6.将 yx6 代入 y x2 x4 得：x6 x2 x4.45 245 45 245解得 x1 ，x 2 .将 x1，x 2的值代入 yx6 得：y 1 ，y 229 418 29 418 19 418. 19 418点 P1( ， )，P 2( ， )29 418 19 418 29 418 19 4
16、18如下图所示： 过点 O 作 OFOD，取 OF3 ，2过点 F 作直线 FG，交 y 轴于 G 点，交抛物线于 P3，P 4，在 RtGFO 中，OG 6.OF2 GF2直线 FG 的解析式为 yx6.将 yx6 代入 y x2 x4 得：x6 x2 x4.解45 245 45 245得 x1 ，x 2 .y1x 16 ，y 2x 26 ，29 1 0018 29 1 0018 77 1 0018 77 1 0018P 3( ， )，P 4( ， )29 1 0018 77 1 0018 29 1 0018 77 1 0018综上所述：点 P 的坐标为( ， )或( ， )或( ，29 418 19 418 29 418 19 418 29 1 0018) 或( ， )77 1 0018 29 1 0018 77 1 0018
