1、第 3 讲 整式及因式分解考点 1 整式的相关概念概念来源:学优高考网由数与字母的 组成的代数式叫做单项式( 单独的一个数或一个 也是单项式).系数 单项式中的 因数叫做这个单项式的系数.单项式次数 单项式中的所有字母的 和叫做这个单项式的次数.概念 几个单项式的 叫做多项式.项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项.多项式次数 一个多项式中， 的项的次数叫做这个多项式的次数.整式 单项式与 统称为整式.同类项 所含字母 并且相同字母的指数也 的项叫做同类项.所有的常数项都是 项.考点 2 整式的运算合并同类项 1.字母和字母的指数不变；2. 相加减作为新的系数 .整式的加减添(去)括号 添(去
2、)括号：括号前面是“+”号，添(去) 括号都 符号；括号前面是“-”号，添( 去)括号都要 符号.同底数幂的乘法 aman= .幂的乘方 (am)n= .积的乘方 (ab)n= .幂的运算同底数幂的除法 aman= .17注意：a0 ，b0，且 m、n 都为整数.单项式与单项式相乘把它们的 、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有18的字母，则连同它的 作为积的一个因式.19单项式与多项式相乘 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即20m(abc)= .21整式的乘法多项式与多项式相乘 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 22，即(mn)(ab)= .23单
3、项式除以单项式 把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的 作为商的一个因式.24整式的除法多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商 25.平方差公式 (a b)(a-b)= .26乘法公式完全平方公式 (ab)2= .27考点 3 因式分解定义 把一个多项式化成几个整式 的形式，就是因式分解.28提公因式法 ma+mb+mc= .29方法 公式法 a2-b2= ；30a22abb 2= .31步骤1.若有公因式，应先 ；322.看是否可用 ;333.检查各因式能否继续分解.【易错提示】因式分解必须分解到每一个多项式不能再分
4、解为止.1.求代数式的值主要用代入法，代入法分为直接代入法、间接代入法和整体代入法.2.整式的运算时不要盲目入手，先观察式子的结构特征，确定解题思路，结合有效的数学思想：整体代入、降次、数形结合、逆向思维等，使解题更加方便快捷.命题点 1 代数式及其求值例 1 (2014盐城)已知 x(x+3)1，则代数式 2x2+6x-5 的值为 .【思路点拨】把 2x2+6x-5 变形为 2(x2+3x)-5，然后把已知条件 x(x+3)1 化为 x2+3x=1 后代入求值.方法归纳：求代数式的值时，常采用以下两种方法：应用整体代入求值；把已知的式子化为一个字母用另外的字母表示，代入所求代数式，进行化简求
5、值.1.(2014乐山)苹果的单价为 a 元/千克，香蕉的单价为 b 元/千克，买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需( )A.(a+b)元 B.(3a+2b)元 C.（2a+3b)元 D.5(a+b)元2.(2014盐城)“x 的 2 倍与 5 的和”用代数式表示为 .3.(2014黔西南)当 x=1 时，代数式 x2+1= .4.(2014梅州)已知 a+b=4，a-b=3，则 a2-b2= .命题点 2 整式的运算例 2 (2014福州)先化简，再求值： (x+2)2+x(2-x)，其中 x .13【思路点拨】先利用公式进行整式的乘法运算，再进行整式的加减运算，化简后代入求值.【解答】方法
6、归纳：进行整式的运算时，要先进行整式的乘法运算，再合并同类项，结果应为最简的，代入求值时，要注意整体添加括号.1.(2014遵义)计算 3x32x2 的结果是( )A.5x5 B.6x5 C.6x6 D.6x92.(2014江西)下列运算正确的是 ( )A.a2+a3a 5 B.(-2a2)3-6a 6C.(2a+1)(2a-1)2a 2-1 D.(2a3-a2)a22a-13.(2014株洲)计算：2m 2m8= .4.(2014连云港)计算：(2x+1)(x-3)= .5.(2014衡阳)先化简，再求值： (a+b)(a-b)+b(a+2b)-b2，其中 a=1，b=-2.命题点 3 因式
7、分解例 3 (2014菏泽)分解因式： 2x3-4x2+2x .方法归纳：因式分解，首先需观察有无公因式可提，然后再考虑是否可用公式法分解，直到分解到不能再分解为止.1.(2014岳阳)下列因式分解正确的是 ( )A.x2-y2=(x-y)2 B.a2+a+1=(a+1)2 C.xy-x=x(y-1) D.2x+y=2(x+y)2.(2014福州)分解因式：ma+mb .3.(2014黄石)分解因式：4x 2-9 .4.(2014武汉)分解因式：a 3-a= .5.(2014聊城)因式分解：4a 3-12a2+9a= .1.(2014济宁)化简-5ab+4ab 的结果是( )A.-1 B.a
8、C.b D.-ab2.(2014益阳)下列式子化简后的结果为 x6 的是( )A.x3+x3 B.x3x3 C.(x3)3 D.x12x23.(2014金华)把代数式 2x2-18 分解因式，结果正确的是( )A.2(x2-9) B.2(x-3)2 C.2(x+3)(x-3) D.2(x+9)(x-9)4.(2014扬州)若3xy=3x 2y，则内应填的单项式是( )A.xy B.3xy C.x D.3x5.(2014呼和浩特)某商品先按批发价 a 元提高 10%零售，后又按零售价降低 10%出售，则最后的单价是( )A.a 元 B.0.99a 元 C.1.21a 元 D.0.81a 元6.(
9、2014邵阳)下列计算正确的是 ( )A.2x-xx B.a3a2a 6C.(a-b)2a 2-b2 D.(a+b)(a-b)a 2+b27.(2014黄石)下列计算正确的是 ( )A.-3x2y5x2y=2x2y B.-2x2y32x3y=-2x5y4C.35x3y25x2y=7xy D.(-2x-y)(2x+y)=4x2-y28.(2013枣庄)图 1 是一个长为 2a，宽为 2b(ab)的长方形，用剪刀沿图中虚线 (对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图 2 那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( )A.2ab B.(a+b)2 C.(a-b)2 D.a2
10、-b29.(2014台州)计算 x2x2 的结果是 .10.(2014东营)分解因式：3x 2y-27y .11.(2014连云港)ab=3，a-2b=5，则 a2b-2ab2 的值是 .12.(2014咸宁)体育委员小金带了 500 元钱去买体育用品，已知一个足球 x 元，一个篮球 y 元.则代数式 500-3x-2y表示的实际意义是 .13.(2013遂宁)为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示.按照下面的规律，摆第(n) 个图，需用火柴棒的根数为 .14.(2014宁波)化简：(a+b) 2+(a-b)(a+b)-2ab.15.(2014盐城)先化简，再求值：
11、(a+2b) 2+(b+a)(b-a)，其中 a-1，b2.16.(2013娄底)先化简，再求值：(x+y)(x-y)-(4x 3y-8xy3)2xy，其中 x=-1,y= .317.(2013北京)已知 x2-4x-1=0，求代数式(2x-3) 2-(x+y)(x-y)-y2 的值.18.(2014威海)已知 x2-2y，则 x(x-3y)+y(3x-1)-2 的值是( )A.-2 B.0 C.2 D.419.(2014日照)若 3x=4，9 y=7，则 3x-2y 的值为( )A. B. C.-3 D.4774 2720.(2013威海)若 m-n=-1，则 (m-n)2-2m+2n 的值
12、是( )A.3 B.2 C.1 D.-121.(2014宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图 1、2 两种方式摆放，则图 2 的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 (用 a，b 的代数式表示).22.(2013义乌)如图 1，从边长为 a 的正方形纸片中剪去一个边长为 b 的小正方形，再沿着线段 AB 剪开，把剪成的两张纸片拼成如图 2 的等腰梯形 .(1)设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2，请直接用含 a，b 的代数式表示 S1、S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.参考答案考点解读乘积 字母 数字 指数的和 和 次数最高 多项式 相同 相同
13、同类 系数 不改变 改变 am+n amn anbn am-n 17系数 指数 相加 mamb mc 相加 mambnanb 指数 18 19 20 21 22 23 24相加 a2-b2 a22abb 2 乘积 m(a+b+c) (a+b)(a-b) (ab)2 25 26 27 28 29 30 31提公因式 公式法32 33各个击破例 1 -3题组训练 1.C 2.2x+5 3.2 4.12例 2 原式=x 2+4x+4+2x-x2=6x+4.当 x= 时，原式=6 +4=6.313题组训练 1.B 2.D 3.2m10 4.2x2-5x-35.原式=a 2-b2+ab+2b2-b2=a
14、2+ab.当 a=1，b=-2 时，原式=1 2+1(-2)=-1.例 3 2x(x-1)2题组训练 1.C 2.m(a+b) 3.(2x+3)(2x-3) 4.a(a+1)(a-1) 5.a(2a-3)2整合集训1.D 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.C 9.2x3 10.3y(x+3)(x-3) 11.15 12.体育委员小金购买 3 个足球， 2 个篮球后剩余的钱 13.6n+2 14.原式 a2+2ab+b2+a2-b2-2ab2a 2. 15.原式 a2+4ab+4b2+b2-a24ab+5b 2.当 a-1，b2 时，原式4(-1) 2+52212.16.原式 =x2-y2-2x2+4y2=-x2+3y2.当 x=-1,y= 时，原式=-(-1) 2+3( )2=0.3317.原式 =4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3(x2-4x)+9.x 2-4x-1=0， x2-4x1.原式31+9=12.18.B 19.A 20.A 21.ab 22.(1)S1a 2-b2，S 2 (2b+2a)(a-b)(a+b)(a-b).1(2)(a+b)(a-b)a 2-b2.
