1、第六单元 圆第 21 讲 圆的基本性质考点 1 圆的有关概念定义 1：在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.圆的定义定义 2：圆是到定点的距离 定长的所有点组成的图形 .弦 连接圆上任意两点的 叫做弦.直径 直径是经过圆心的 ，是圆内最 的弦.弧 圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有 之分，能够完全重合的弧叫做 .等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.同心圆 圆心相同的圆叫做同心圆.考点 2 圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过 的直线.圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心为 .定理 垂直于弦的直径 弦，并且平分弦所对的两条 .垂径定理推论 平分弦
2、(不是直径)的直径 弦，并且 弦所对的两条弧.圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角两条弧或两条弦中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点 3 圆周角圆周角的定义 顶点在圆上，并且 都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 .推论 1 同弧或等弧所对的圆周角 .推论 2 半圆(或直径) 所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 .17 18推论 3 圆内接四边形的对角 .19【易错提示】由于圆中一条弦对两条弧以及圆内的两条平行弦可以在圆心的同侧和异侧两种情况，所以利用垂径定理计算时，有时要分情况讨论，不要漏解.1.注意在同圆
3、或等圆中，弦、弧、圆心角和圆周角等量关系的互相转化；利用垂径定理进行计算或证明，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.2.圆的性质的综合运用，要善于挖掘题中的隐含条件.命题点 1 圆的有关概念例 1 下列说法中，正确的是( )A.直径是弦 B.弧是半圆C.长度相等的弧是等弧 D.弦是圆上两点间的部分方法归纳：解答这类试题的关键是结合图形理解圆的有关概念的内涵.1.如图，MN 为O 的弦， M=30，则MON 等于( )A.30 B.60 C.90 D.1202.(2014长宁一模)下列说法中，结论错误的是( )A.直径相等的两个圆是等圆来源: 学优高考网 gkstkB.长度相等的两
4、条弧是等弧C.圆中最长的弦是直径D.一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3.到定点 O 的距离为 3 cm 的点的集合是以点 为圆心， 为半径的圆.命题点 2 垂径定理例 2 (2014常德改编)如图， AB 为O 的直径，CD AB ，若 AB=10，CD=8 ，求圆心 O 到弦 CD 的距离.【思路点拨】连接 OC，由 AB=10 得出 OC 的长，再根据垂径定理求出 CE 的长，根据勾股定理求出 OE 即可.【解答】方法归纳：利用垂径定理进行计算或证明时，通常利用半径、弦心距和弦的一半组成直角三角形求解.1.(2014舟山)如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE=2
5、，DE=8，则 AB 的长为( )A.2 B.4 C.6 D.82.(2014广东)如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 .3.(2013株洲)如图 AB 是O 的直径，BAC=42，点 D 是弦 AC 的中点，则DOC 的度数是 .4.(2014金山一模)如图，已知 AB 是O 的弦，点 C 在线段 AB 上，OC=AC=4 ，CB=8. 求O 的半径.命题点 3 圆心角、弧、弦之间的关系例 3 (2013厦门)如图，在 O 中， = ，A 30，则B( )BCA.150 B.75 C.60 D.15方法归纳：在求圆中角的度数时，通常要利用圆
6、周角、圆心角、弧、弦之间的关系进行求解.1.如图，已知 AB 是O 的直径， C、D 是 上的三等分点，AOE=60 ，则COE 是( )ABEA.40 B.60 C.80 D.1202.(2014江北模拟)如图，AB 是O 的直径，四边形 ABCD 内接于O，若 BC=CD=DA=4 cm，则O 的周长为( )A.5 cm B.6 cm C.9 cm D.8 cm3.如图，在O 中，点 C 是弧 AB 的中点，A=50，则BOC 等于 度.4.(2013松北一模)如图，在O 中，CD 为O 的直径， = ，点 E 为 OD 上任意一点( 不与 O、D 重合). 求证：ACBAE=BE.命题点
7、 4 圆周角定理例 4 (2013湛江)如图，AB 是O 的直径，AOC=110，则D=( )A.25 B.35 C.55 D.70【思路点拨】因为 AB 是直径，所以BDA=90，再根据同弧所对的圆心角与圆周角之间的关系可求得 ADC 的度数.方法归纳：在圆中，出现直径时，一般都联想到直径所对的圆周角是直角.圆周角与圆心角之间的转化也是解决问题的关键点.1.(2014山西)如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA=50，则C 的度数为( )A.30 B.40 C.50 D.802.(2014台州)从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是( )3.(2014衡阳)
8、如图，AB 为O 直径，CD 为O 的弦，ACD=25，BAD 的度数为 .4.如图，O 是ABC 的外接圆，点 D 为 上一点，ABC=BDC=60，AC=3 cm，求ABC 的周长.AC1.(2013柳州)下列四个图中，x 是圆周角的是( )2.(2014湖州)如图，已知 AB 是ABC 外接圆的直径，A=35，则B 的度数是( )A.35 B.45 C.55 D.653.下列四个命题：等边三角形是中心对称图形；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；三角形有且只有一个外接圆；垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.其中真命题的个数有( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个4.(2
9、014珠海)如图，线段 AB 是O 的直径，弦 CDAB，CAB=20，则AOD 等于( )A.160 B.150 C.140 D.1205.(2013绍兴)绍兴是著名的桥乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为 8 m，桥拱半径 OC 为 5 m，则水面宽AB 为 ( )A.4 m B.5 m C.6 m D.8 m6.如图，O 是ABC 的外接圆，AOB60，ABAC2，则弦 BC 的长为( )A. B.3 C.2 D.43 37.(2014重庆 A 卷) 如图，ABC 的顶点 A、B、C 均在O 上，若ABC+AOC=90，则AOC 的大小是( )A.30 B.45 C.60 D.7
10、0来源:学优高考网8.(2014兰州)如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于 E，连接 BC、BD，下列结论中不一定正确的是( )A.AE=BE B. = C.OE=DE D.DBC=90ADB9.(2013黄石)如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，以点 C 为圆心，CA 为半径的圆与 AB 交于点 D，则 AD 的长为( )A. B. C. D.952451855210.(2014郴州)如图，已知三点 A、B 、C 都在O 上，AOB=60，ACB= .11.(2013上海)在O 中，已知半径长为 3，弦 AB 长为 4，那么圆心 O 到 AB 的距离为 .12.
11、如图， AB 为O 直径，点 C、D 在O 上，已知BOC=70，ADOC，则AOD= .13.(2013襄阳)如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是 1 m，其中水面的宽 AB 为 0.8 m，则排水管内水的深度为 .14.如图， A、B、C 是O 上的三点，CAO=25，BCO=35，则AOB= .15.如图， AB、CD 是O 的弦，ABCD ，BE 是O 的直径 .若 AC=3，则 DE= .16.如图， ABCD 的顶点 A、B、D 在O 上，顶点 C 在O 的直径 BE 上，ADC=54，连接 AE，求AEB 的度数.17.(2014天津改编)已知O 的直径为 10，点 A，点
12、 B，点 C 在O 上，CAB 的平分线交O 于点 D.如图，若BC 为 O 的直径，AB6，求 AC，BD,CD 的长.18.(2014无锡)如图，AB 是半圆 O 的直径，C、D 是半圆 O 上的两点，且 ODBC，OD 与 AC 交于点 E.(1)若B=70 ，求CAD 的度数；(2)若 AB=4，AC=3，求 DE 的长 .19.(2014温州)如图，已知点 A，B ，C 在O 上, 为优弧，下列选项中与 AOB 相等的是( )ABA.2C B.4B C.4A D.B+ C20.(2013安徽)如图，点 P 是等边三角形 ABC 外接圆O 上的动点，在以下判断中，不正确的是( )A.当
13、弦 PB 最长时，APC 是等腰三角形B.当APC 是等腰三角形时， POACC.当 POAC 时， ACP=30 D.当ACP=30时，BCP 是直角三角形21.(2014宁波)如图，半径为 6 cm 的O 中，C、D 为直径 AB 的三等分点，点 E、F 分别在 AB 两侧的半圆上，BCE=BDF=60 ，连接 AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2.22.在 O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，将劣弧沿弦 AC 翻折交 AB 于点 D，连接 CD.(1)如图 1，若点 D 与圆心 O 重合，AC2，求O 半径 r；(2)如图 2，若点 D 与圆心 O 不重合，BAC25，请
14、直接写出DCA 的度数.参考答案考点解读等于 线段 弦 长 优弧、半圆、劣弧 等弧 圆心 圆心 平分弧 垂直于 平分 相等 两边 一半 相等 直角 直径 互补17 18 19各个击破例 1 A题组训练 1.D 2.B 3.O 3 cm例 2 连接 OC.AB 为 O 的直径，AB=10，OC=5.CDAB ，CD=8，CE=4.OE= = =3.2CE254题组训练 1.D 2.3 3.484.连接 OA，过点 O 作 ODAB 于点 D.AC=4，CB=8，AB=12.OD AB， AD=DB=6，CD=2.在 Rt CDO 中， CDO=90 ，OD= =2 .2OCD3在 Rt ADO
15、中，ADO=90，由勾股定理,得 OA= =4 ，26即O 的半径是 4 .3例 3 B题组训练 1.C 2.D 3.404.证明： ，AAOC= BOC，AOE= BOE.OA、OB 是O 的半径，OA=OB.又 OE=OE，AOEBOE(SAS) ，AE=BE.例 4 B题组训练 1.B 2.B 3.654. = ， BDC= BAC.ACABC= BDC=60，BDC=BAC ，ABC= BAC=60，ABC 为等边三角形 .又AC=3 cm，ABC 的周长为 33=9(cm).整合集训1.C 2.C 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.C 9.C 10.30 11. 12.40
16、 13.0.2m 14.120 15.3516.四边形 ABCD 是平行四边形，ADC=54，B=ADC=54.BE 为 O 的直径，BAE=90.来源:学优高考网AEB=90-B=90-54=36.17.BC 是O 的直径，CAB= BDC=90.在 Rt CAB 中，BC 10，AB6,AC= = =8.2BCA2106AD 平分OAB， = ,CD=BD. 来源:gkstk.ComDB在 Rt BDC 中，BC=10,CD 2+BD2=BC2,BD=CD=5 .18.(1)ODBC，DOA= B=70.又OA=OD，DAO=ADO=55 .AB 是直径，ACB=90 ，CAB=20 .C
17、AD=35.(2)在 RtACB 中，BC= = .2 ABC7圆心 O 是直径 AB 的中点，ODBC，OE= BC= .127又 OD= AB=2,DE=OD-OE=2- .来源: 学优高考网 gkstk7219.A 20.C 21. 提示：如图作DBF 的轴对称图形CAG，作 AMCG，ON CE，61ACGBDF.ECB=BDF=ACG=60，G、C、E 三点共线.易求 OC=2，ON= ，AM=2 .3ONGE，NE=GN= GE.12连接 OE，在 Rt ONE 中，NE= = = ，2OEN226(3)GE=2NE=2 ，3S AGE= GEAM= 2 212=6 ，图中两个阴影部分的面积为 6 cm2.122.(1)如图 1，过点 O 作 OE AC 于 E，则 AE= AC= 2=1.12翻折后点 D 与圆心 O 重合，OE= r.12在 Rt AOE 中，AO 2=AE2+OE2，即 r2=12+( r)2，解得 r= .13(2)如图 2，连接 BC，AB 是直径，ACB=90 .BAC=25，B=65.根据翻折的性质， 所对的圆周角为B， 所对的圆周角为ADC，ACABCADC+B=180，B=CDB=65，DCA=CDB-A=65-25=40.
