1、高二数学同步测试（11）抛物线一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1抛物线 的焦点坐标是 （ 2xy）A B C D )0,()0,41( )81,0( )41,0(2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上的点 到焦点的距离为 5，则抛)3,(mP物线方程为 （ ）A B C Dyx82x2yx42yx823抛物线 截直线 所得弦长等于 （ 11y）A B C D155522154顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(2,3) ，则它的方程是 （ ）A 或 B 或 yx29x342 xy9y342C D34 25点 到曲线 （其中参数 ）上的点的最短距离为
2、 （ ）)0,1(Pty2RtA0 B 1 C D2 6抛物线 上有 三点， 是它的焦点，若)0(2pxy ),(),(21yxA)(3F成等差数列，则 （ CFB,）A 成等差数列 B 成等差数列 321, 231,xC 成等差数列 D 成等差数列y y7若点 A 的坐标为（3，2） ， 为抛物线 的焦点，点 是抛物线上的一动点，则Fy2P取得最小值时点 的坐标是 （ PFP）A （0，0） B （ 1，1） C （2，2） D )1,2(8已知抛物线 的焦点弦 的两端点为 , ,则关系式)0(2pxyAB)(1yxB的值一定等于 （ 21x）A4p B4p Cp 2 Dp 9过抛物线 的焦
3、点 F 作一直线交抛物线于 P，Q 两点，若线段 PF 与 FQ 的长)0(2axy分别是 ，则 （ qp,1）A B C Da2a2a4a410若 AB 为抛物线 y2=2px (p0)的动弦，且|AB|= a (a2p)，则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是 （ ）A a B p C a p D a p21212121二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11抛物线 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 _xy12已知圆 ，与抛物线 的准线相切，则 0762 )0(2pxy _13如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数),(aA),(aB32xa
4、 的取值范围是 14对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在 y 轴上； （2）焦点在 x 轴上；（3）抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；（4）抛物线的通径的长为 5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 其中适合抛物线 y2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） _三、解答题（本大题共 6 小题，共 76 分）15已知点 A（2，8） ，B（x 1，y 1） ，C （x 2，y 2）在抛物线 上，ABC 的重心与pxy2此抛物线的焦点 F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标；（2）求线段 BC 中点 M 的坐标；（3）求
5、 BC 所在直线的方程.（12 分）16已知抛物线 y=ax21 上恒有关于直线 x+y=0 对称的相异两点，求 a 的取值范围.（12分）17抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过点(0 ，1)作直线 L 交抛物线 A、B 两点，再以 AF、BF为邻边作平行四边形 FARB，试求动点 R 的轨迹方程.（12 分）18已知抛物线 C： ，过 C 上一点 M，且与 M 处的切线垂直的直线称为 C274xy在点 M 的法线（1）若 C 在点 M 的法线的斜率为 ，求点 M 的坐标（x 0，y 0） ；1（2）设 P（2，a）为 C 对称轴上的一点，在 C 上是否存在点，使得 C 在该点的法线通过点
6、P？若有，求出这些点，以及 C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.（12 分）19已知抛物线 y2=4ax(0a 1的焦点为 F，以 A(a+4,0)为圆心，AF 为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点 M 和 N，设 P 为线段 MN 的中点（1）求MF +NF的值；（2）是否存在这样的 a 值，使MF、PF、NF成等差数列 ?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.（14 分）20如图, 直线 y= x 与抛物线 y= x24 交于 A、B 两点, 线段 AB 的垂直平分线与直线2181y=5 交于 Q 点 . （1）求点 Q 的坐标；（2）当 P 为抛物线上位于线段 AB
7、 下方（含 A、B）的动点时, 求 OPQ 面积的最大值.（14 分）参考答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 C D A B B A C B C D二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）11 12 2 13 14 （2） ， （5）)2,8( )13,(三、解答题（本大题共 6 题，共 76 分）15 （12 分）解析：（1）由点 A（2，8）在抛物线 上，有 ，pxy228p解得 p=16. 所以抛物线方程为 ，焦点 F 的坐标为（8，0）.xy（2）如图，由于 F（8，0）是ABC
8、的重心，M 是 BC 的中点，所以 F 是线段 AM 的定比分点，且 ，设点 M 的坐标为 ，则),(，解得 ，0218,20yx4,10yx所以点 M 的坐标为（11，4） （3）由于线段 BC 的中点 M 不在 x 轴上，所以 BC 所在的直线不垂直于 x 轴.设 BC 所在直线的方程为： ).0(1kx由 消 x 得 ，yk2),( )41(322kyk所以 ，由（2）的结论得 ，解得1.因此 BC 所在直线的方程为： .0416 （12 分）解析：设在抛物线 y=ax21 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为 P(x,y),Q(y,x)，则2ayx，由得 x+y=a(x+y)(xy
9、),P、Q 为相异两点，x+y0 ，又 a0， ，代入得 a2x2ax a+1=0，其判别式=a 24a 2(1a)0，解得,即4317 （12 分）解析：设 R(x,y),F(0,1), 平行四边形 FARB 的中心为 ，L:y=kx1,代入抛物线)21,(yxC方程得 x24kx +4=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k 2160，即|k|1 ，C 为 AB 的中点.4)(4211 ky 1222kyy，消去 k 得 x2=4(y+3),由 得， ，故动点 R 的轨迹方程为 x2=4(y+3)( 34kx 4x)18 （14 分）
10、解析 ：（1）由题意设过点 M 的切线方程为： ，代入 C 得my，0)27(2mx则 ， ，即 M（1， ） 254 25,100yx 2（2）当 a0 时，假设在 C 上存在点 满足条件设过 Q 的切线方程为： ，代入),(1Qnkxy，则 ，27xy 7)(nk 4)(k且 若 时，由于,41k1ky0，akxakPQ 2422 或 ；若 k=0 时，显然 也满足要求1ay21ay )21,(Q有三个点（2 ， ） ， （2 ， ）及（2， ） ，a且过这三点的法线过点 P（2，a） ，其方程分别为：x2 y22 a 0，x2 y22a 0，x 2.当 a0 时，在 C 上有一个点（ 2
11、， ） ，在这点的法线过点 P（2，a） ，其方程为：x2.119 （12 分）解析：（1）F（a,0）,设 ，由 ),(),(),( 021yxNyxM16)4(22ya， ，0)8()4(22ax 4a（2）假设存在 a 值，使的 成等差数列，即1NM NFPM,1xP，P 是圆 A 上两点 M、N 所在弦的中点，ax0 A1204xyaxy由得 ，这是不可能48)(422 2021211 yayxyaxyy的假设不成立即不存在 a 值，使的 成等差数列FP,20 （14 分）解析：【解】(1) 解方程组 得 或 4812xy21y48yx即 A(4,2),B(8,4), 从而 AB 的中点为 M(2,1).由 kAB= ,直线 AB 的垂直平分线方程y1= (x2). 令 y=5, 得 x=5, Q(5,5) 21(2) 直线 OQ 的方程为 x+y=0, 设 P(x, x24). 点 P 到直线 OQ 的距离81d= = , ,SOPQ= = .248x3125OQdOQ328165xP 为抛物线上位于线段 AB 下方的点, 且 P 不在直线 OQ 上, 4x4 4 或 4 4 x8.函数 y=x2+8x32 在区间 4,8 上单调递增, 当 x=8 时, OPQ 的面积取到最大值 30
