1、一、选择题1.设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2,且 x10 的解集是( ).A.x|xx2C.x|xx2D.x|x10,bc-ad0,则 -0;(2)若 ab0,-0,则 bc-ad0;(3)若 bc-ad0,-0,则 ab0.其中正确命题的个数是( ).A.0 B.1 C.2 D.3【解析】 -00,故(1)(2)(3)都正确 .【答案】D3.已知 a0,b0,且 a+b4,则有( ).A. B.+1C.2 D.【解析】 4 a+b2, 2, ab4,故 A、C 皆错 .又 a+b 4,可取 a=b=1,验证 D 错,故选 B.【答案】B 4.如果函数 y=ax2+bx+a
2、 的图象与 x 轴有两个交点,则点( a,b)在 aOb 平面上的区域(不含边界)为( ).【解析】由题意知 =b 2-4a20, (b-2a)(b+2a)0, 或画图知选 C.【答案】C5.若函数 f(x)=x+(x2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于( ).A.1+ B.1+C.3 D.4【解析】 x 2,x- 20,则 f(x)=x+=(x-2)+22 +2=4,当且仅当 x-2=,即 x=3 时取等号 .即当 f(x)取得最小值时, x=3,即 a=3.【答案】C6.二元一次不等式组所表示的平面区域的面积是( ).A.2 B.4 C.6 D.8【解析】不等式组表示的平面区域为如图所
3、示的阴影部分 . 点 A(2,3),点 B(2,1), 可求得阴影部分的面积为 S=42=4,故选 B.【答案】B7.设函数 f(x)=(x0 的解集为集合 A,关于 x 的不等式 x2+(2a-3)x+a2-3a+20=x|20,c0,则的取值范围是 . 【解析】因为不等式 ax2+bx+c0 恒成立时, a0 且 =b 2-4ac0,即 ac,所以 =1,所以的取值范围是1, + ).【答案】1, + )14.已知实数 x,y 满足则目标函数 z=x-2y 的最小值是 . 【解析】画出满足不等式组的可行域,如图,目标函数化为: y=x-z,画直线 y=x 及其平行线,当此直线经过点 A 时
4、, -z 的值最大, z 的值最小,因为 A 点坐标为(3,6),所以 z 的最小值为:3 -26=-9.【答案】 -915.对任意实数 x,不等式( a-2)x2-2(a-2)x-40,a 1b1+a2b2a1b2+a2b1.【答案】 a1b1+a2b2a1b2+a2b1三、解答题17.已知 xy0,且 xy=1,求证:2 .【解析】 xy 0,x-y 0,= (x-y)+2 =2.当且仅当即时取等号 .18.记关于 x 的不等式0 的解集为 P,不等式 x(x-2)0 的解集为 Q.(1)若 a=3,求 P.(2)若 QP,求正数 a 的取值范围 .【解析】(1)由0,得 P=x|-10,
5、得 P=x|-10(aR) .【解析】当 a=0 时,不等式的解集为 x|x0,则有当 a;当 a=1 时,解集为 x|x1, xR;当 a1 时,解集为 x|x1.20.解不等式( x+1)2 ax+1.【解析】( x+1)2 ax+1,即 x2+2x+1 ax+1,即 xx-(a-2)0 .当 a-20,即 a2 时,原不等式的解集是 x|x0 或 x a-2.21.某投资公司计划投资 A、 B 两种金融产品,根据市场调查与预测, A 产品的利润 y1 与投资金额 x 的函数关系为 y1=18-,B 产品的利润 y2 与投资金额 x 的函数关系为 y2=.(注:利润与投资金额单位:万元)(
6、1)该公司已有 100 万元资金,并全部投入 A、 B 两种产品中,其中 x 万元资金投入 A 产品中,试把 A、 B 两种产品利润总和表示为 x 的函数,并写出定义域 .(2)试问:怎样分配这 100 万元投资,才能使公司获得最大利润? 其最大利润为多少万元?【解析】(1)其中 x 万元资金投入 A 产品中,则剩余的 100-x(万元)资金投入 B 产品中,利润总和 f(x)=18-+=38-(x0,100) .(2)f (x)=40-(+),x0,100, 由基本不等式得:f(x)40 -2=28,当且仅当 =时取等号,即 x=20.故分别用 20 万元和 80 万元资金投资 A、 B 两
7、种金融产品,可以使公司获得最大利润,最大利润为 28 万元 .22.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具,需要木工和漆工两道工序 .已知木工平均四个小时做一把椅子,八个小时做一张书桌,该公司木工每星期最多有 8000 个工作时;漆工平均两小时漆一把椅子,一个小时漆一张书桌,该公司漆工每星期最多有 1300 个工作时,又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是 15 元和20 元,根据以上条件,怎样安排生产能获得最大利润? 【解析】依题意设每星期生产 x 把椅子, y 张书桌,那么利润 p=15x+20y.其中 x,y 满足限制条件即点( x,y)的允许区域为图中阴影部分,它们的边界分别为 4x
8、+8y=8000(即 AB),2x+y=1300(即 BC),x=0(即 OA)和 y=0(即 OC).对于某一个确定的 p=p0满足 p0=15x+20y,且点( x,y)属于阴影部分的解就是一个能获得 p0元利润的生产方案 .对于不同的 p,p=15x+20y 表示一组斜率为 -的平行线,且 p 越大,相应的直线位置越高; p 越小,相应的直线位置越低 .按题意,要求 p 的最大值,需把直线 p=15x+20y 尽量地往上平移,又考虑到 x,y 的允许范围,当直线通过 B 点时,处在这组平行线的最高位置,此时 p 取最大值 .由得 B(200,900),即当 x=200,y=900 时,
9、p 取最大值,即 pmax=15200+20900=21000,即生产 200 把椅子,900 张书桌可获得最大利润 21000 元 .必修 5模块测试评估卷一、选择题1.设 a B.C.|a|-b D.【解析】取 a=-2,b=-1,经验证知,D 错误 .【答案】D2.如果将直角三角形三边增加相同的长度,则新三角形一定是( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.根据增加的长度确定三角形的形状【解析】设直角三角形的三边长分别为 a,b,c,则 a2+b2=c2,设增加相同的长度 x(x0),则( a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2x(a+b-c)0,故新三角形一定是锐
10、角三角形 .【答案】A3.若 loga(a2+1)1,0,b0,若不等式 +恒成立,则 m 的最大值等于( ).A.10 B.9 C.8 D.7【解析】 a 0,b0,故 +恒成立等价于( +)(2a+b) m 恒成立,又 (+)(2a+b)=5+5 +2=9,当且仅当 =,即 a=b 时取等号,m 9,故 m 的最大值是 9.【答案】B12.实数 x,y 满足若 3x+5y a 恒成立,则 a 的最小值为( ).A.17 B.-17 C.11 D.-11【解析】3 x+5y a 恒成立 a( 3x+5y)max.由不等式组表示的可行域 (图略),得 3x+5y 在点 A(,)时取得最大值 1
11、7,所以 a17,故 a 的最小值为 17,选 A.【答案】A二、填空题13. ABC 中内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若( a+b+c)(b+c-a)=3bc,则角 A= . 【解析】由( a+b+c)(b+c-a)=3bc,得 b2+c2-a2=bc, cos A=,A= 60.【答案】6014.当 00,y=x (8-2x)=2x(4-x)2() 2=8,当且仅当 x=2 时取等号 .【答案】815.等比数列 an中, a1+a2=1,a3+a4=9,那么 a4+a5= . 【解析】 q 2=9,q= 3,a 4+a5=(a3+a4)q=27.【答案】27 或 -2716.
12、设变量 x,y 满足约束条件则目标函数 z=3x-y 的取值范围是 . 【解析】 x,y 满足的线性区域如下图所示 .易知当 z=3x-y 过直线 2x+y=4 和 4x-y=-1 的交点 A(,3)时, zmin=-;过 2x+y=4 和 x+2y=2 的交点 B(2,0)时,zmax=6.【答案】 -,6三、解答题17.已知不等式( m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围 .【解析】若 m2+4m-5=0,得 m=1 或 m=-5.当 m=1 时,不等式化为 30,对一切实数 x 恒成立,当 m=-5 时,不等式化为 24x+30 不满足
13、题意 .当 m2+4m-50 时,= -4(m-1)2-43(m2+4m-5)=4m2-80m+760,此时 x+y=8;因为 xN, yN,经调整: x+y=7,取 x=2,y=5,此时(2,5)在可行域内,且使 xN, yN, x+y=7.所以截 500 mm 的 2 根,600 mm 的 5 根最合理 .22.已知 an是等差数列,其前 n 项和为 Sn,bn是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10.(1)求数列 an与 bn的通项公式;(2)记 Tn=anb1+an-1b2+a1bn,nN *,证明: Tn+12=-2an+10bn(nN *).【解析】(1)设等差数列 an的公差为 d,等比数列 bn的公比为 q.由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件,得方程组解得所以 an=3n-1,bn=2n,nN *.(2)由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+2na1, 2Tn=22an+23an-1+24an-2+2n+1a1, 由 - 可得 Tn=-2(3n-1)+322+32n+2n+2=+2n+2-6n+2=102n-6n-10,而 -2an+10bn-12=-2(3n-1)+102n-12=102n-6n-10,故 Tn+12=-2an+10bn,nN *.
