1、 一、选择题1.已知数列 an为等差数列, a2+a8=12,则 a5 等于( ).A.4 B.5 C.6 D.7【解析】由等差数列的性质得 a2+a8=2a5=12,所以 a5=6.【答案】C2.对于任意的正数 a 和 b,设 A=,G=,那么一定有( ).A.ab AG B.ab AGC.ab=AG D.ab AG【解析】 A G= =ab,故选 A.【答案】A3.数列 an中, a1=1,对所有的 n2 都有 a1a2a3an=n2,则 a3 等于( ).A. B. C. D.【解析】 a2=4,a3=.故选 B.【答案】B4.公差不为零的等差数列 an中,有 2a3-+2a11=0,数
2、列 bn是等比数列,且 b7=a7,则 b6b8 等于( ).A.2 B.4 C.8 D.16【解析】因为数列 an是等差数列,所以由 2a3-+2a11=0 得 =2(a3+a11)=4a7,解得 a7=4 或 a7=0.又因为数列 bn是等比数列,且 b7=a7,所以 b7=4(b7=0 舍去) .于是 b6b8=16.故选 D.【答案】D5.在数列 an中, an+1=,对所有正整数 n 都成立,且 a7=,则 a5 等于( ).A. B. C.1 D.【解析】 a 7=,a 6=.又 a6=,a 5=1.【答案】C6.已知 an是等差数列, a1+a2=4,a7+a8=28,则该数列前
3、 10 项和 S10 等于( ).A.64 B.100 C.110 D.120【解析】 a 1+a2=4,a7+a8=28, (a7+a8)-(a1+a2)=12d=28-4=24,d= 2,a1+a2=2a1+d=4,a 1=1,S 10=10a1+d=10+90=100.【答案】B7.将不等式 x2-x1,a43,S39,设 bn=,则使 b1+b2+bn1,a43,首项 a1及公差 d 为整数,所以可得 a1=2,d=1,所以an=n+1,所以 bn=-,b1+b2+bn=1-+-+-=1-=,所以使 a4,数列 bn满足 bn=,其前 n 项和为 Sn.(1)求数列 an的通项公式;(
4、2)若 S2 为 S1,Sm(mN *)的等比中项,求正整数 m 的值 .【解析】(1)由题意解得 d.又 dZ, d= 2.a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)b n=(-),S n=(1-)+(-)+(-)=(1-)=.S 1=,S2=,Sm=.又 S 2为 S1,Sm(mN *)的等比中项,=S mS1,即() 2=,解得 m=12.21.设数列 an满足 a1=2,an+1-an=322n-1.(1)求数列 an的通项公式;(2)令 bn=nan,求数列 bn的前 n 项和 Sn.【解析】(1)由已知,当 n1 时, an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+(a2-a1
5、)+a1=3(22n-1+22n-3+2)+2=22(n+1)-1,即当 n2 时, an=22n-1.而 a1=2,满足上式,所以数列 an的通项公式为 an=22n-1.(2)由 bn=nan=n22n-1知:Sn=12+223+325+n22n-1,22Sn=123+225+327+n22n+1,- 得(1 -22)Sn=2+23+25+22n-1-n22n+1,即 Sn=(3n-1)22n+1+2.22.设 C1,C2,Cn,是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与直线 y=x 相切 .对每一个正整数 n,圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切,以 rn 表示圆 C
6、n 的半径,已知 rn为递增数列 .(1)证明: rn为等比数列;(2)设 r1=1,求数列 的前 n 项和 .【解析】(1)将直线 y=x 的倾斜角记为 ,则有 tan = ,sin =.设 Cn的圆心为( n,0),则 =,即 n=2rn.同理 n+1=2rn+1.又 n+1= n+rn+rn+1=2rn+1,将 n=2rn代入,解得 rn+1=3rn.故 rn为公比 q=3 的等比数列 .(2)由于 r1=1,q=3,故 rn=3n-1,从而 =n31-n.记 Sn=+,则有:Sn=1+23-1+33-2+n31-n,=13-1+23-2+(n-1)31-n+n3-n.- ,得 =1+3-1+3-2+31-n-n3-n=-n3-n=-(n+)3-n.S n=-(n+)31-n=9-(2n+3)31-n.
