1、第三章 导数及其应用 单元测试A 组题（共 100 分）一选择题（每题 7 分）1.函数 xxf62)(3的“临界点”是A1 B. 1 C 1和 1 D. 02函数 f23)(的单调减区间是A （ , B. ),( C （ )3,， ,( D. )1,3(3. 0x为方程 0)xf的解是 0x为函数 f(x)极值点的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.函数 ()yfx的图象如图所示，则导函数 ()yfx的图象可能是5.福建炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时，原油温度（单位： )0C为 )50(831(2xxf ，
2、那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是A8 B. 0 C 1D. 8二填空（每题 6 分）6函数 21ln)(xxf在 ,上的极大值是 .7函数 )0(cos5的单调增区间是 .8函数 2,823)(xxf 的最小值是 .9已知函数 )0(a,则 (xf单调递增区间是 .三解答题（13+14+14）10已知函数 1)(3xf，定义域为（-2，-1）,求 )(f的极小值.xyO xyOAxyOBxyOCxyODf(x) ()f()f()f()f11已知 0m，函数 mxf3)(在 ),2上是单调函数，求 m的取值范围.12. 2007 年 9 月 5 日生效的一年期个人贷款利率为 7.29%,小陈
3、准备购买一部汽车,购车一年后一次性付清车款,这时正好某商业银行推出一种一年期优惠贷款业务,年利率为 x，且x（0.045,0.062）,贷款量与利率的平方成正比,因此,小陈申请这种一年期优惠贷款.(1)写出小陈应支付的利息 )(xh;(2) 一年期优惠利率 为多少时,利息差最大?B 组题（共 100 分）一选择题（每题 7 分）13若函数 )(xf在 R 上是一个可导函数，则 0)(xf在 R 上恒成立是 )(xf在区间,(内递增的A充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件14某产品的销售收入 1y(万元)是产量 x(千台)的函数： 217xy，生产总成本
4、2y(万元)也是产量 x(千台)的函数； )023y，为使利润最大，应生产A6 千台 B. 7 千台 C8 千台 D.9 千台15函数 xef)( ( )1ba,则A B. )(bfaf C )(ff D. ,大小关系不能确定16函数 bxx363在（0，1）内有极小值，则实数 b 的取值范围是A.（0，1） B.（-，1） C.（0，+） D.（0， 21）17 )(,xgf分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 0x时，0)(f且 )(,0)2(gff则 不 等 式 的解集为 （ ）A （2，0）（2，+） B （2，0）（0，2）C （，2）（2，+） D （，2）（0，2）二填空：（
5、每题 6 分）18. 设 1x与 2是函数 xbaxf2ln)(的两个极值点.则常数 a= .19函数 axf3)(在1，+)上是单调递增函数，则 a的最大值是_.20在半径为 6 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大.21设某种产品的成本与产量 的函数关系是 516823xxy,则产量为 时,该产品的边际成本最小.三解答题（13+14+14）22已知函数 xaxfln2)()0(，若函数 )(xf在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；23已知二次函数经过点（2，4） ，其导数经过点（0，-5）和（2，-1） ，当（）时，是整数的个数记为。求数列的通项公式；24、如图,一水
6、渠的横断面是抛物线形，O 是抛物线的顶点,口宽 EF=4 米，高 3 米（1） 建立适当的直角坐标系，求抛物线方程.（2） 现将水渠横断面改造成等腰梯形 ABCD，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD 的下底 AB 多大时，所挖的土最少？ C 组题（共 50 分）25.若 a3，则函数 )(xf= 123a在(0，2)内恰有_个零点.26函数 fsin)(，则A x在 ,0内是减函数 B. )(xf在 ,0内是增函数C )(f在 )2内是减函数 D. 在 )2,(内是增函数27.已知 ba,为实数，且 ea,其中 为自然对数的底，求证： ab28. 已知函数 xxfkln)1()(2)
7、(*N。（1）讨论函数 的单调性；（2） k是偶数时，正项数列 na满足 1， nnaf3)(21，求 n的通项公式；CD E FOA BM N参考答案A 组题（共 100 分）1C 2.D 3.D 4.D 5.C 6. 21 7. (0,2 ) 8. 215 9. ),(10极小值 42711.0 m12.解：（1）由题意，贷款量为 2kx( )0，应支付利息 )(xh= 32kx（2）小陈的两种贷款方式的利息差为 )6.,45(,079.32y1458kx 令 y=0，解得 0x或 486.当 0)2,.(;)6.,( yx 时 ，当时 ， 所以， 0时，利息差取得极大值，即一年期优惠利率
8、为 4.68%时,利息差最大.B 组题（共 100 分）13.A 14.A 15. C 16. D 17.A18 32a 19. 3 209 21.622解： xaxf2)(要使函数 在定义域 ),0内为单调函数，则在 ),0(内 (xf恒大于 0 或恒小于0，当 2)(xfa时 ， 在 ),(内恒成立；当 时 ，要使 0112aa恒成立，则 01a，解得 1所以 的取值范围为 或23.解：设，将点（2，4）代入后，得 4a+2b+c4,将点（0，-5）和（2，-1）分别代入，得b=-5,4a+b=-1解得，c=10所以在（1，2上的值域为4，6） ，所以在（2，3上的值域为（，4 ，所以当时
9、，在（n，n1上单调递增，其值域为（所以所以24.（1）解：如图 以 O 为原点，AB 所在的直线为 X 轴，建立平面直角坐标系，则 F（2，3） ，设抛物线的方程是 )0(pyx因为点 F 在抛物线上，所以 3,2所以抛物线的方程是 yx424 分(2) 解：等腰梯形 ABCD 中,ABCD，线段 AB 的中点 O 是抛物线的顶点，AD，AB，BC 分别与抛物线切于点 M，O，Nxy23，设 ),(0y， )(x，则抛物线在 N 处的切线方程是00，所以 )3,24(,010xCB，8 分梯形 ABCD 的面积是 ,262)()(3)4(1min0 0020Sx xxS时 ，当 且 仅 当1
10、0 分答：梯形 ABCD 的下底 AB= 米时，所挖的土最少.C 组题（共 50 分）25. 1 26.A27. 设 f(x)= ln(x e)，则 f( x)= 2ln10,函数 f(x)在( e,+)上是减函数，又 e a b, f(a) f(b),即 bal, ab ba.28解：（1）函数 )(xf的定义域是 ),0(， k是奇数时，fln2)(， xf2， ),0(时， 0)(xf。k是奇数时， )(x在区间 ),(内是增函数。D E F CM NA B xyOk是偶数时， xxfln2)(， xf2)(， ),1(时， 0)(xf，)1,0(x时， 0。k是偶数时， )(xf在区间 ),1(内是增函数， )(f在区间 ),0(内是减函数；（2） 是偶数时， xf2， nnaf3)(21，nna321化简得 21， 1)(22nna2na是以 2 为首项，公比 q的等比数列，n10n)(*N 12na
