1、 矩形、菱形与正方形一、选择题1. （2011 浙江省舟山，10，3 分）如图，五个平行四边形拼成一个含 30内角的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm（第 10 题）FABCHEG 【答案】A2. （2011 山东德州 8,3 分）图 1 是一个边长为 1 的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图 2），依此规律继续拼下去（如图 3），则第 n
2、个图形的周长是图 1 图 2 图 3（A） （B） （C） （D）2n4n1n2n【答案】C3. （2011 山东泰安，17 ，3 分）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1， S2，则 S1+S2的值为A.17 B.17 C.18 D.19【答案】B 4. （2011 山东泰安， 19 ， 3 分）如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心， E 是 AB 上的点，沿 CE折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若 BC=3，则折痕 CE 的长为学优中考网 A.2 B. C. D.6 3 3【答案】A 5. （2011 浙江杭州，10，3）在矩形 ABCD 中
3、，有一个菱形 BFDE(点 E， F 分别在线段AB，CD 上)，记它们的面积分别 为 现给出下列命题：（ ）ABCDFES和若 ，则 若 则 2ABCDFES3tanEF2,2A则:A是真命题，是真命题 B是真命题，是假命题C是假命题，是真命题 D，是假命题，是假命题【答案】A6. （2011 浙江衢州，1,3 分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡 分别架在墙体的点 、点 处，且 ,侧面四边AFG、 BCAB形 为矩形，若测得 ，则 ( )E10FDA. 35 B. 40 C. 55 D. 70EABCDFG（第 5 题）【答案】C7. （2011 浙
4、江温州，6，4 分）如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 交于点 O已知 AOB= 60， AC16，则图中长度为 8 的线段有( )A2 条 B4 条 C5 条 D6 条【答案】D8. 2011 四川重庆，10，4 分）如图，正方形 ABCD 中， AB6，点 E 在边 CD 上，且CD3 DE将 ADE 沿 AE 对折至 AFE，延长 EF 交边 BC 于点 G，连结 AG、 CF下列结论： ABG AFG； BG GC； AG CF； S FGC3其中正确结论的个数是( )A1 B2 C3 D4【答案】C9. （2011 浙江省嘉兴，10，4 分）如图，五个平行四边形拼成一个
5、含 30内角的菱形 EFGH（不重叠无缝隙）若四个平行四边形面积的和为 14cm2，四边形 ABCD 面积是 11cm2，则四个平行四边形周长的总和为（ ）（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm（第 10 题）FABCHEG 【答案】A10（2011 台湾台北，29）如图(十二)，长方形 ABCD 中， E 为 中点，作 的角BCAE平分线交 于 F 点。AD若 6， 16，则 的长度为何？ABA4 B5 C6 D8 【答案】C11. （2011 湖南邵阳，7，3 分）如图（二）所示， 中，对角线 AC，BD 相交于点ABCO，且 ABAD，则下列式子不正确的是（）A.A
6、CBD B.ABCDC. BO=OD D.BAD=BCD学优中考网 A1AA2A3BB1 B2B3CC2C1C3DD2 D1D3第 10 题图【答案】A.提示：当且仅当 为菱形时，ACBD。ABCD12. （2011 湖南益阳，7，4 分）如图 2，小聪在作线段 AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以 A 和 B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于 C、 D，则直线1CD 即为所求根据他的作图方法可知四边形 ADBC 一定是A矩形 B菱形 C正方形 D等腰梯形【答案】B13. （2011 山东聊城，7， 3 分）已知一个菱形的周长是 20cm，两条对角线的比是 43，则这个菱
7、形的面积是（ ）A12cm 2 B 24cm 2 C 48cm 2 D 96cm 2 【答案】B14. （2011 四川宜宾,7,3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3，则 AB 的长为（ ）A3 B4 C5 D6 （第 7 题图）FEDCBA【答案】D15. （ 2011 重庆江津， 10，4 分）如图,四边形 ABCD 中,AC=a,BD=b,且 ACBD,顺次连接四边形 ABCD 各边中点,得到四边形 A1B1C1D1,再顺次连接四边形 A1B1C1D1各边中点,得到四边形 A2B
8、2C2D2,如此进行下去,得到四边形 AnBnCnDn.下列结论正确的有( )四边形 A2B2C2D2是矩形; 四边形 A4B4C4D4是菱形;四边形 A5B5C5D5的周长 ; 四边形 AnBnCnDn的面积是4ba12nabBACD图 2A. B. C. D.【答案】C16. （2011 江苏淮安，5，3 分）在菱形 ABCD 中， AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）A. 5cm B. 15cm C. 20cm D. 25cm【答案】C17. （2011 山东临沂，11，3 分）如图，ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、AB 于点D、F，BEDF 交 DF 的延长线于点 E，已知
9、A30，BC2，AFBF,则四边形 BCDE的面积是（ ）A2 B3 C4 D43 3【答案】A18. （2011 四川绵阳 7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A对角线相等的四边形是矩形 B对角线互相平分的四边形是矩形C矩形的对角线互相垂直且平分 D矩形的对角线相等且互相平分【答案】D19. （2011 四川乐山 9，3 分）如图（5），在正方形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、CD 的中点，AE 交 BF 于点 H，CGAE 交 BF 于点 G。下列结论：tanHBE=cotHEB BH=FG .其中正确的序号是GBF2BCFA B C D【答案】D20（2011 江苏无锡，5，3
10、分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A对角线互相垂直 B对角线相等 C对角线互相平分 D对角互补【答案】A21. （2011 湖北武汉市，12，3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB=BD，点 E， F 分别在AB， AD 上，且 AE=DF连接 BF 与 DE 相交于点 G，连接 CG 与 BD 相交于点 H下列结论： AED DFB； S 四边形 BCDG = CG2；43若 AF=2DF，则 BG=6GF其中正确的结论A只有 B只有C只有 D学优中考网 A BCDEFGH第 12 题图【答案】D22. （2011 广东茂名，5，3 分）如图，两条笔直的公路 、 相交于点 O，
11、村庄 C 的村民1l2在公路的旁边建三个加工厂 A B、 D，已知 AB BC CD DA5 公里，村庄 C 到公路的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路 的距离是1l 2l来源:xyzkw.ComA3 公里 B4 公里 C5 公里 D6 公里【答案】B23. （2011 湖北襄阳， 10， 3 分）顺次连接四边形 ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形 ABCD 一定是A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形 C.矩形 D.对角线相等的四边形【答案】D24. （2011 湖南湘潭市，5，3 分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形【
12、答案】B25.26.27.28.二、填空题1. （2011 山东滨州，17，4 分）将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，得到如图所示图形。若CED=56,则AED 的大小是_.2l1l（第 17 题图）EDDCBA【答案】622. （2011 山东德州 16,4 分）长为 1，宽为 a 的矩形纸片（ ），如图那样折一下，12a剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去若在第 n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止当 n=3 时，a 的值为_ 第一次操作 第二次操作【答案】 或35
13、43. （2011 湖北鄂州， 5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_AB CD第 5 题图【答案】28 4. （2011 山东烟台，17,4 分）如图，三个边长均为 2 的正方形重叠在一起， O1、 O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .O2O1 【答案】25. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为 2 的正方形，乙类纸片是边长为 1 的正方形，丙类纸片是长、宽分别为 2 和 1 的长方形现有甲类纸片 1 张，乙类纸片 4学优中考网 张，则应至少取丙类纸片 张，才能用它们拼成一个新的正方形【答案】46.
14、(2011 浙江绍兴， 15，5 分) 取一张矩形纸片按照图 1、图 2 中的方法对折，并沿图 3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】 3:27. （2011 甘肃兰州，20，4 分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为 1，则第 n 个矩形的面积为 。【答案】 14n8. （2011 江苏泰州，18，3 分）如图，平面内 4 条直线 L1、 L2、 L3、 L4是一组平行线，相邻 2 条平行线间的距离
15、都是 1 个单位长度，正方形 ABCD 的 4 个顶点 A、 B、 C、 D 都在这些平行线上，其中点 、 分别在直线 L1和 L4上，该正方形的面积是 平方单位 143121【答案】5 或 99. （2011 山东潍坊，16，3 分）已知线段 AB 的长为 a，以 AB 为边在 AB 的下方作正方形ACDB.取 AB 边上一点 E，以 AE 为边在 AB 的上方作正方形 AENM.过 E 作 EF CD，垂足为 F 点.若正方形 AENM 与四边形 EFDB 的面积相等，则 AE 的长为_.【答案】 512a10（2011 山东潍坊，17，3 分）已知长方形 ABCD， AB=3cm， AD
16、=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、 BC 于点 E、 F，则 AE 的长为_.【答案】 78cm11. （2011 四川内江，16，5 分）如图，点 E、F、G、H 分别是任意四边形 ABCD 中AD、BD、BC、CA 的中点，当四边形 ABCD 的边至少满足 条件时，四边形 EFGH是菱形ABCDEFGH【答案】AB=CD12. (2011 重庆綦江，14，4 分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC、 BD 相交于点 O，且AC8， BD6，过点 O 作 OHAB ，垂足为 H，则点 O 到边 AB 的距离 OH 学优中考网 【答案】： 51
17、213. （2011 江苏淮安，17，3 分）在四边形 ABCD 中， AB=DC， AD=BC.请再添加一个条件，使四边形 ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)【答案】 A=90或 B=90或 C=90或 D=90或 AC=BD(答案不唯一，写出一种即可)14. (2011 江苏南京，12，2 分)如图，菱形 ABCD 的连长是 2，E 是 AB 中点，且DEAB，则菱形 ABCD 的面积为_ 2(第 12 题 )BADCE【答案】 2315. （2011 江苏南通，15，3 分）如同，矩形纸片 ABCD 中， AB2cm，点 E 在 BC 上，且AE EC.若将纸片沿 AE
18、 折叠，点 B 恰好与 AC 上的点 B重合，则 AC cm.【答案】416. （2011 四川绵阳 17，4）如图，将长 8cm，宽 4cm 的矩形纸片 ABCD 折叠，使点 A 与 C重合，则折痕 EF 的长为_cm.【答案】2 517. （2011 四川凉山州，17，4 分）已知菱形 ABCD 的边长是 8，点 E 在直线 AD 上，若DE=3，连接 BE 与对角线 AC 相交于点 M，则 的值是 。CA【答案】 或85118. （ 2011 湖北黄冈， 5，3 分）如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_AB CD第 5 题图【答案】2819
19、. （2011 湖北黄石，13，3 分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD，则 AB 与 BC 的数量关系为 。【答案】 AB=2BC20（2011 山东日照，16，4 分）正方形 ABCD 的边长为 4， M、 N 分别是 BC、 CD 上的两个动点，且始终保持 AM MN当 BM= 时，四边形 ABCN 的面积最大 【答案】2; 21. （2011 河北，14，3 分）如图 6，已知菱形 ABCD，其顶点 A，B 在数轴对应的数分别为-4 和 1，则 BC=_ 图6 0DA BC【答案】522. （2010
20、 湖北孝感，16，3 分）已知正方形 ABCD，以 CD 为边作等边CDE，则AED 的度数是 .【答案】15或 7523.24.25.26.27.28.三、解答题1. （2011 浙江省舟山，23，10 分）以四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、 F、 G、 H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时
21、，设 ADC= （0 90），学优中考网 试用含 的代数式表示 HAE； 求证： HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 ABCDHEFG（第 23 题图 2）EBFGDHAC（第 23 题图 3）（第 23 题图 1）ABCDHEFG【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形(2) HAE=90 a在 ABCD 中， ABCD ， BAD=180 ADC=180 a； HAD 和 EAB 都是等腰直角三角形， HAD= EAB=45， HAE=360 HAD EAB BAD 3604545（180 a）90 a AEB 和 DGC 都是等腰直角三角形， AE= AB， DG
22、= CD，2在 ABCD 中， AB=CD， AE=DG， HAD 和 GDC 都是等腰直角三角形， DHA= CDG= 45， HDG= HAD ADC CDG 90 a HAE HAD 是等腰直角三角形， HA=HD， HAE HDG， HE=HG四边形 EFGH 是正方形由同理可得： GH=GF， FG=FE， HE=HG（已证）， GH=GF=FG=FE，四边形 EFGH 是菱形； HAE HDG（已证）， DHG= AHE，又 AHD= AHG DHG=90， EHG= AHG AHE 90，四边形 EFGH 是正方形2. （2011 安徽，23，14 分）如图，正方形 ABCD 的
23、四个顶点分别在四条平行线 、1l、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、2l34l 1h、 （ 0， 0， 0）h12h3（1）求证： = ；3l1l2l3l4h1h2h3ABCD（2）设正方形 ABCD 的面积为 S，求证：S= ；211)(h（3）若 ，当 变化时，说明正方形 ABCD 的面积 S 随 的变化情况121hl1l2l3l4h1h2h3ABCDEFG1423【答案】（1）过 A 点作 AF l3分别交 l2、 l3于点 E、F，过 C 点作 CG l3交 l3于点 G， l2 l3，2 =3，1 +2=90，4 +3=90，1=4，又 BEA= DGC=90, BA
24、=DC， BEA DGC， AE=CG，即= ；1h3（2） FAD+3=90，4 +3=90， FAD =4，又 AFD= DGC=90, AD=DC， AFDDGC， DF=CG， AD2=AF2+FD2，S= ；211)(h(3)由题意，得 ， 所以13h，5424511 122hS学优中考网 又 ，解得 0 h12310h32当 0 h1 时， S 随 h1的增大而减小；5当 h1= 时， S 取得最小值 ；54当 h1 时， S 随 h1的增大而增大.5233. （2011 福建福州，21，12 分）已知,矩形 中, , , 的垂直ABCD4cm8BCcA平分线 分别交 、 于点 、
25、 ,垂足为 .EFADBCEFO(1)如图 10-1,连接 、 .求证四边形 为菱形,并求 的长；AF(2)如图 10-2,动点 、 分别从 、 两点同时出发,沿 和 各边匀速运动PQDE一周.即点 自 停止,点 自 停止.在运动过程中,Q已知点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒,当 、cmctA、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求 的值 .C t若点 、 的运动路程分别为 、 (单位: , ),已知 、 、 、 四Pabm0abCPQ点为顶点的四边形是平行四边形,求 与 满足的数量关系式.ABCDEF图 10-1O图 10-2ABCDEFPQ备用图ABCDE
26、FP【答案】(1)证明:四边形 是矩形AD D ,BE 垂直平分 ,垂足为EFCO O A 四边形 为平行四边形又 EF四边形 为菱形C设菱形的边长 ,则 Axcm(8)BFxcm在 中,RtB4由勾股定理得 ,解得22(8)5 5Fc(2)显然当 点在 上时, 点在 上,此时 、 、 、 四点不可能构成平行PQCDACPQ四边形;同理 点在 上时 , 点在 或 上,也不能构成平行四边形.因此ABE只有当 点在 上、 点在 上时,才能构成平行四边形以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,C A点 的速度为每秒 5 ,点 的速度为每秒 4 ,运动时间为 秒cmcmt ,5Pt124Qt
27、 ,解得5124tt3t以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时, 秒.来源:学优ACPQ43t中考网 xyzkwBCDEFP由题意得,以 、 、 、 四点为顶点的四边形是平行四边形时,点 、 在APQPQ互相平行的对应边上.分三种情况:i)如图 1,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得FCEAPQ12ab12aii)如图 2,当 点在 上、 点在 上时, , 即 ,得BDC12abiii)如图 3,当 点在 上、 点在 上时, ,即 ,得PAQ综上所述, 与 满足的数量关系式是ab12ab(0)ABCDEFPQBDEFPCABCDEFPQ图 1 图 2 图 34. （2011 广
28、东广州市，18，9 分）如图 4， AC 是菱形 ABCD 的对角线，点 E、 F 分别在边 AB、 AD 上，且 AE=AF求证： ACE ACF【答案】四边形 ABCD 为菱形BAC=DAC又AE=AF，AC=ACACEACF（SAS）5. （2011 山东滨州，24，10 分）如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MN BC.设 MN 交 BCA 的平分线于点 E,交 BCA 的外角平分线于点F，连接 AE、 AF。那么当点 O 运动到何下时，四边形 AECF 是矩形？并证明你的结论。AB CDEF图 4学优中考网 来源:xyzkw.Com
29、（第 24 题图）FE NM OCBA【答案】当点 O 运动到 AC 的中点（或 OA=OC）时，四边形 AECF 是矩形2 分证明：CE 平分BCA,1=2，3 分又MNBC, 1=3，3=2，EO=CO. 5 分同理，FO=CO6 分EO=FO又 OA=OC, 四边形 AECF 是平行四边形7 分又1=2，4=5，1+5=2+4. 8 分又1+5+2+4=1802+4=909 分四边形 AECF 是矩形10 分6. （2011 山东济宁， 22，8 分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图 ，正方形1的边长为 ， 为边 延长线上的一点， 为 的中点， 的垂直平分ABCD12PBCEDP
30、线交边 于 ，交边 的延长线于 .当 时， 与 的比值是多少？MAN6MN经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过 作直线平行于 交 ， 分BCA别于 ， ，如图 ，则可得： ，因为 ，所以 .可求出FGDFPF和 的值，进而可求得 与 的比值.EE(1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了 的结论.你认为小东的这个结论N正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.(第 22 题)（1）解：过 作直线平行于 交 ， 分别于点 ， ， EBCDAFG则 ， ， .DFPEMFNG12BC ， . 2 分 ， .163235E . 4 分5EF（2
31、）证明：作 交 于点 ， 5 分MHBCAH则 ， .D90N ，180P . ， ，NMECDP90CDP . . 7 分 . 8 分(第 22 题)HBCDEMNAP7. （2011 山东威海，24，11 分）如图， ABCD 是一张矩形纸片， AD=BC=1,AB=CD=5在矩形 ABCD 的边 AB 上取一点 M，在 CD 上取一点 N，将纸片沿 MN 折叠，使 MB 与 DN 交于点 K，得到 MNK学优中考网 （1）若1=70，求 MNK 的度数（2） MNK 的面积能否小于 ？若能，求出此时1 的度数；若不能，试说明理由12（3）如何折叠能够使 MNK 的面积最大？请你利用备用图
32、探究可能出现的情况，求出最大值（备用图）【答案】 解： ABCD 是矩形， AM DN， KNM=1 KMN=1， KNM= KMN1=70， KNM= KMN=70 MNK=40（2）不能过 M 点作 ME DN，垂足为点 E，则 ME=AD=1,由（1）知 KNM= KMN MK=NK又 MK ME, NK1 12MNKSE MNK 的面积最小值为 ，不可能小于 12（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点 B 与点 D 重合，此时点 K 也与点 D 重合设 MK=MD=x，则 AM=5-x，由勾股定理，得,221(5)解得， .6即 MDN （情况一）12.63KACS情况二：将矩
33、形纸片沿对角线 AC 对折，此时折痕为 AC设 MK=AK= CK=x，则 DK=5-x，同理可得即 2.6N 1.3MKACS MNK 的面积最大值为 1.3 （情况二）8. （2011 山东烟台，24,10 分）已知：如图，在四边形 ABCD 中， ABC90，CD AD， AD2 CD22 AB2（1）求证： AB BC；（2）当 BE AD 于 E 时，试证明： BE AE CD【答案】（1）证明：连接 AC， ABC90， AB2 BC2 AC2. CD AD， AD2 CD2 AC2. AD2 CD22 AB2， AB2 BC22 AB2， AB BC.（2）证明：过 C 作 CF
34、 BE 于 F. BE AD，四边形 CDEF 是矩形. CD EF. ABE BAE90， ABE CBF90，ABCDE学优中考网 BAE CBF， BAE CBF. AE BF. BE BF EF AE CD.9. (2011 浙江湖州，22，8) 如图已知 E、 F 分别是 ABCD 的边 BC、 AD 上的点，且BE=DF(1) 求证：四边形 AECF 是平行四边形；(2) 若 BC10， BAC90，且四边形 AECF 是菱形，求 BE 的长 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC，且AD=BC， AF EC， BE=DF， AF=EC，四边形 AECF
35、 是平行四边形.（2）四边形 AECF 是， AE CE，12，BAC90，3902，4901，34， AE BE， BE AE CE BC5.1210（2011 宁波市，23，8 分）如图，在 ABCD 中， E、 F 分别为边 ABCD 的中点， BD 是对角线，过 A 点作 AGDB 交 CB 的延长线于点 G（1）求证： DE BF；（2）若 G90，求证四边形 DEBF 是菱形解：（1） ABCD 中，ABCD， AB CD E、 F 分别为 AB、 CD 的中点 DF DC， BE AB12 12 DF BE， DF BE四边形 DEBF 为平行四边形 DE BF(2)证明： AG
36、 BD G DBC90 DBC 为直角三角形（第 22 题）又 F 为边 CD 的中点 BF DC DF12又四边形 DEBF 为平行四边形四边形 DEBF 是菱形11. （2011 浙江衢州，22,10 分）如图， 中， 是边 上的中线，过点 作ABCDBA，过点 作 与 分别交于点 、点 ，连接AEBCD,EABE、 OEC求证： ;当 时，求证：四边形 是菱形；RtD在（2）的条件下，若 ，求 的值.OtanODAEB C【答案】.证明：(1)解法 1：因为 DE/AB,AE/BC,所以四边形 ABDE 是平行四边形，来源:学优中考网所以 AE/BD 且 AE=BD，又因为 AD 是边
37、BC 上的中线，所以 BD=CD，所以 AE 平行且等于CD，所以四边形 ADCE 是平行四边形，所以 AD=EC.解法 2： /,/,DEABCBEDC四 边 形 是 平 行 四 边 形 ，又 AB是 边 上 的 中 线DC()ES(2)解法 1：证明 是斜边 上的中线Rt,BABDC又 四边形 是平行四边形E四边形 是菱形解法 2证明： /,RtABDC又 四边形 是平行四边形E学优中考网 四边形 是菱形ADCE解法 3证明： RtBB， 是 斜 边 上 的 中 线四边形 是平行四边形AEDC又 四边形 是菱形解法 1解： 四边形 是菱形ADCE,90OB又的中位线，则是 12OAB12A
38、OD1Rttan2DBCOA在 中 ，解法 2解： 四边形 是菱形E1,902ABOC1Rttan21tanta2ABACDO在 中 ，12. （2011 浙江省嘉兴，23，12 分）以四边形 ABCD 的边 AB、 BC、 CD、 DA 为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为 E、 F、 G、 H，顺次连结这四个点，得四边形 EFGH（1）如图 1，当四边形 ABCD 为正方形时，我们发现四边形 EFGH 是正方形；如图 2，当四边形 ABCD 为矩形时，请判断：四边形 EFGH 的形状（不要求证明）；（2）如图 3，当四边形 ABCD 为一般平行四边形时，设 ADC= （0 90
39、）， 试用含 的代数式表示 HAE； 求证： HE=HG； 四边形 EFGH 是什么四边形？并说明理由 ABCDHEFG（第 23 题图 2）EBFGDHAC（第 23 题图 3）（第 23 题图 1）ABCDHEFG【答案】（1）四边形 EFGH 是正方形(2) HAE=90 a在 ABCD 中， ABCD ， BAD=180 ADC=180 a； HAD 和 EAB 都是等腰直角三角形， HAD= EAB=45， HAE=360 HAD EAB BAD 3604545（180 a）90 a AEB 和 DGC 都是等腰直角三角形， AE= AB， DG= CD，2在 ABCD 中， AB=
40、CD， AE=DG， HAD 和 GDC 都是等腰直角三角形， DHA= CDG= 45， HDG= HAD ADC CDG 90 a HAE HAD 是等腰直角三角形， HA=HD， HAE HDG， HE=HG四边形 EFGH 是正方形由同理可得： GH=GF， FG=FE， HE=HG（已证）， GH=GF=FG=FE，四边形 EFGH 是菱形； HAE HDG（已证）， DHG= AHE，又 AHD= AHG DHG=90， EHG= AHG AHE 90，四边形 EFGH 是正方形13. （2011 福建泉州，21，9 分）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开，再把 ACD
41、沿 CA方向平移得到 A1C1D1(1)证明： A1AD1 CC1B；(2)若 ACB30，试问当点 C1在线段 AC 上的什么位置时，四边形 ABC1D1是菱形. （直接写出答案）【答案】矩形 ABCD BC=AD,BCADDAC=ACB把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A1C1D1A 1=DAC,A 1D1=AD,AA1=CC1学优中考网 A 1=ACB，A 1D1=CB。CBADA1 C1D1（第 21 题） A1AD1 CC1B（ SAS） 。 6 分当 C1在 AC 中点时四边形 ABC1D1是菱形，9 分14. （2011 甘肃兰州，27，12 分）已知：如图所示的一张矩形纸片
42、ABCD（ADAB），将纸片折叠一次，使点 A 与点 C 重合，再展开，折痕 EF 交 AD 边于点 E，交 BC 边于点 F，分别连结 AF 和 CE。（1）求证：四边形 AFCE 是菱形；（2）若 AE=10cm，ABF 的面积为 24cm2，求ABF 的周长；（3）在线段 AC 上是否存在一点 P，使得 2AE2=ACAP？若存在，请说明点 P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由。AB CDEFO【答案】（1）由折叠可知 EFAC，AO=COADBCEAO=FCO，AEO=CFOAOECOFEO=FO四边形 AFCE 是菱形。（2）由（1）得 AF=AE=10设 AB=a，BF= b，得a2+b2=100 ， ab=48 +2得 ( a+b)2=196，得 a+b=14（另一负值舍去）ABF 的周长为 24cm（3）存在，过点 E 作 AD 的垂线交 AC 于点 P，则点 P 符合题意。AB CDEFOP证明：AEP=AOE=90，EAP=OAEAOEAEP ，得 AE2=AOAP 即 2AE2=2AOAPAOEP又 AC=2AO2AE 2=ACAP15. （2011 广东株洲，23，8 分）
