1、第 16 章平行四边形的认识16.1 平行四边形的性质 16.2 矩形、菱形与正方形的性质 1. 矩形 2. 菱形 3. 正方形阅读材料 黄金矩形 16.3 梯形的性质 阅读材料 四边形的变身术小结 复习题第 16章平行四边形的认识平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美它是什么样的对称图形呢?它又具有哪些基本性质呢?读下去，你就会发现这些答案了16.1 平行四边形的性质平行四边形是随处可见的几何图形，本章导图上的桌面、书面甚至连在阳光照耀下它们的影子都是平行四边形回 忆我们知道，有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)你能从图 16.1.1 所示的
2、图形中找出平行四边形吗?图 16.1.1两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要性质除此之外，它还有什么性质呢?探 索如图 16.1.2，按照下面的步骤，在方格纸上画一个平行四边形步骤 1： 画两条平行线步骤 2： 在两条线上分别取点 A 和点 B，连结 AB步骤 3： 沿着水平方向平移 AB 到 DC，就得到 ABCD 图 16.1.2如图 16.1.3，用剪刀把 ABCD( 可以先放大些) 从方格纸上剪下，再在一张纸上沿 ABCD 的边沿，画出一个四 边形，记为 EFGH则四边形 EFGH 和 ABCD 完全一样，也为平行四 边形它们的对应边、对应角都相等在 ABCD 中连结 AC、BD，
3、它们的交点记为 O用一枚图钉在 O 点穿过，将 ABCD 绕点 O 旋转 180观察旋转后的 ABCD 和纸上所画的 EFGH是否重合你能从中得出 ABCD 的一些边角关系吗?图 16.1.3我们发现，旋转 180之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对 称中心由此可以得到ADBC ， ABDC，AC ， BD即平行四边形的对边相等，对角相等例 1 如图 16.1.4，在 ABCD 中，已知 A40 ，求其他各个内角的度数图 16.1.4解 在 ABCD 中，DB ， C A 40(平行四边形的对角相等) 又 AD BC， B180-A180-40140
4、， DB140例 2 如图 16.1.5，在 ABCD 中，已知 AB8，周长等于 24，求其余三条边的长图 16.1.5解 在 ABCD 中，AB DC， ADBC(平行四边形对边相等)又 AB8，AB+BC+CD+DA24， CD8，ADBC 4练习1. 已知在 ABCD 中， A120，求其余各内角的度数2. 已知在 ABCD 中， AB5， BC3，求它的周长观 察在如图 16.1.3 那样的旋转过程中，你观察到 OA 与 OC、OB 与OD 的关系吗?我们已经发现， ABCD 是一个中心对称图形，对角线的交点 O就是对称中心，所以OAOC ， OBOD即平行四边形的对角线互相平分例
5、3 如图 16.1.6，在 ABCD 中，已知 对角线 AC 和 BD 相交于点O，AOB 的周长为 15，AB6，那么 对角线 AC 与 BD 的和是多少?图 16.1.6解 在 ABCD 中，已知 AB6，AO+BO+AB15， AO+BO15-69又 AOOC， BO OD(平行四边形对角线互相平分)， AC+BD2AO+2BO2(AO+BO) 18试一试如图 16.1.7，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度图 16.1.7经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等( 从图 16.1.7 中也可以看
6、到这一点)这种现象说明了平行线的又一个性 质：平行线之间的距离处处相等练习1. 在 ABCD 中，两条对角线 AC、BD 相交于点 O，指出图形中相等的线段(第 1 题) (第 2 题)2. 如 图，如果直线 l1l2，那么 ABC 的面 积和 DBC 的面积是相等的你能说出理由吗? 你还能在这两条平行线 l1、l2 之间画出其他与ABC 面积相等的三角形吗?习题 16.11. 如图，在 ABCD 中，AE 垂直于 CD，E 是垂足如果B55，那么D 与DAE 分别等于多少度?(第 1 题)2. 如 图，在 ABCD 中，已知 AC、BD 相交于点 O，两条对角线的和为厘米，CD 的长为 5
7、厘米，求OCD 的周长(第 2 题)3. 在 ABCD 中， A 与 B 的度数之比为，求这个平行四边形各个内角的度数4. 如图，已知 ABCD 的周长为 80cm，对 角线 AC 与 BD 相交于点O，AOB 的周长比AOD 的周长小 20cm，求这个平行四边形各边的长（第 题）16.2 矩形、菱形与正方形的性质1. 矩形试一试如图 16.2.1，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点 D，你会发现什么 ?图 16.2.1可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，
8、也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形(rectangle)，如图 16.2.2 所示图 16.2.2平行四边形所具有的性质，矩形都具有，此外，矩形还具有另一些特有的性质，你能说出几条吗?作为特殊的平行四边形，矩形也是中心对称图形我们很容易发现矩形还是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线这样，我们可以列出矩形所具有的一些性质：矩形的四个内角都是直角矩形的对角线相等且互相平分图 16.2.3例 1 如图 16.2.3，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 86cm，对角线长是 13cm，那么矩形的周长是多少?解 AOB、BOC、COD 和AOD 四个小三角形的
9、周长和为 86cm，又 ACBD13cm （矩形的对角线相等）， AB+BC+CD+DA86-2(AC+BD) 86-4（ cm)，即矩形 ABCD 的周长等于 34cm练习1. 如图，在矩形 ABCD 中，找出相等的 线段与相等的角(第 1 题) (第 2 题)2. 如图，矩形 ABCD 的两条对角线交于点 O，且AOD 120，你能说明 AC2AB 吗?例 2 如图 16.2.4，在矩形 ABCD 中， AB3， BC4， BEAC 于E试求出 BE 的长图 16.2.4解在矩形 ABCD 中， ABC90，AC 2BCA 5(勾股定理)2435又 SABC1/2ABBC 1/2ACBE，
10、 BEABBC/AC3 /2.4练习1. 如图，在矩形 ABCD 中， E 是边 AD 上的一点试说明BCE 的面积与矩形 ABCD 的面积之间的关系(第 1 题) (第 2 题)2. 如图，在矩形 ABCD 中， AOB60 ， AB3.6，试求 AC 与 AD的长(精确到 0.1)2. 菱形试一试将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢?这就是另一 类特殊的平行四边形，即菱形(rhombus) 如图 16.2.5，菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形，它的两条对角线互相垂直平分图 16.2.5 图 16.2.6如图 16.2
11、.6，菱形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为它的对角线所在的直线这样，菱形具有以下的性质：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角例 3 如图 16.2.7，在菱形 ABCD 中， BAD2B ，试求出B 的度数，并说明ABC 是等边三角形图 16.2.7解(1) 在菱形 ABCD 中，B+BAD180(两直线平行，同旁内角互补)又 BAD2 B， B60(2) 在菱形中，（菱形的四条边都相等）， 在中，（等边对等角）又 B+BAC+BCA180(三角形内角和公式)， BACBCA B60 ABBCAC(等角对等边)，即ABC 是等边三角形菱形的应用非常广
12、泛现在流行一种新式的衣帽架，可以根据需要将它伸缩，形成各种形状的菱形，固定在墙上，既美观又实用可伸缩的衣帽架练习练习1. 如图，在菱形 ABCD 中，AB5， OA4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度(第 1 题)2. 试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半例 4 如图 16 2 8，已知菱形 ABCD 的边长为 2cm，BAD120，对角线 AC、BD 相交于点 O，试求这个菱形的两条对角线 AC 与 BD 的长图 16.2.8解(1) 在菱形 ABCD 中，BAO12BAD1 260(菱形的每一条 对角线平分一组对角) 又在ABC 中， ABBC， BCABAC 60(等边对等角
13、)，ABC180- BCA-BAC60， ABC 为等边三角形， ACAB2(cm)(2) 在菱形中，（菱形的对角线互相垂直）， 为直角三角形， BOAB2-AO222-123cm( 勾股定理)， BD2BO23(cm)练习1. 如 图，已知菱形 ABCD 的边 AB 长 5cm，一条对角线长 6cm，求这个菱形的周长和它的面积(第 1 题) (第 2 题)2. 如图，已知菱形 ABCD 的一条对角线 BD 恰好与其边 AB 的长相等，求这个菱形的各个内角的度数3. 正方形正方形(square)是我们早就熟悉的平面图形，如图 16.2.9，在正方形 ABCD 中，四条边都相等，四个角都是直角所
14、以正方形可以看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形正方形是中心对称图形，也是轴对称图形图 16.2.9 图 16.2.10例 5 如图 16.2.10，在正方形 ABCD 中，求ABD 、DAC、DOC 的度数解 由于正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分， ABD DAC901/245，DOC90正方形还有许多有趣的性质例如，如果要用给定长度的篱笆围成一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域的形状选成正方形练习1. 在下列图中，有多少个正方形?有多少个矩形? （）（）2. 已知正方形 ABCD 的边 AB 长 2cm，求这个正方形的周长、对角
15、线长和它的面积习题 16.21. 如图，已知矩形 ABCD 的一条对角线 AC 长 8cm，两条对角线的一个交角AOB 60求这个矩形的周长(精确到 0.1cm)(第 1 题) (第 2 题)2. 如图，已知菱形 ABCD 的两条对角线 AC、BD 分别长 6cm 和8cm，求这个菱形的周长和它的面积(第 3 题)3. 利用矩形的对角线 相等且互相平分这一性 质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半阅读材料黄金矩形看一看雅典帕德嫩神庙的造型，甚至现在这还是世界上最美丽的建筑之一，这神庙建筑于古希腊数学繁荣的年代，并且它的美丽就是建立在严格的数学法则上的如果我们在帕德嫩神庙周围描一个矩形，那
16、么可以发现它的长大约是宽的 1.6 倍，这种矩形称为黄金矩形你看到过具有黄金矩形形状的物体吗?按照下图中给出的指示，用圆规与三角尺画一个黄金矩形将一个正方形分成 在一个矩形中 用圆规以 A 点为圆心、两个相等的矩形 引一条对角线 AB 为半径画一圆弧延长底边与弧相交于一点， 过交点画底边的垂线，与顶边延长线 交于一点，这样我们就画成了黄金矩形16.3 梯形的性质我们知道，只有一组对边平行的四边形叫做梯形(trapezoid)两腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形( 如图 16.3.1 所示)图 16.3.1如图 16.3.2，梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组
17、合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法图 16.3.2做一做如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形 ABCD，过两底边AD、BC 的中点 E、F 画一条直 线，将等腰梯形 ABCD 沿直线 EF 对折你发现 了什么?我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质( 如图 16.3.3)：等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等图 16.3.3例 1 如图 16 3 4，延长等腰梯形 ABCD 的两腰 BA 与 CD，相交于点 E试说明 EBC 和 EAD 都是等腰三角形图 16.3.4解 在等腰梯形 ABCD 中，BC(等腰梯形两底角相等) ， EBEC(等角
18、对等边)，因此EBC 是等腰三角形又 ABDC， EAED，因此EAD 也是等腰三角形例 2 如图 16.3.5，在等腰梯形 ABCD 中， ABDC， CEDA已知AB 8， DC5， DA6，求 CEB 的周长图 16.3.5解 在等腰梯形 ABCD 中，CB DA6又 ABDC， CEDA， 四边形 AECD 是平行四边形， CEDACB 6，AE DC5(平行四边形的对边相等)， EBAB-AE 8-5 3于是CEB 的周长为CE+EB+BC6+3+615 练习1. 梯形 ABCD 中，如果 DCAB， ADBC， A60， DBAD，那么DBC ， C (第 1 题) (第 2 题)
19、2. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC，E 是 DC 延长线上的一点，BEBC， 试说明A 和E 的关系习题 16.31. 如图，在梯形 ABCD 中，ABDC， DECB，AED 的周长为18，EB4，求梯形的周长(第 1 题) (第 2 题)2. 如图，在梯形 ABCD 中，BC AD， DEAB， DEDC， A100 ，试求梯形的其他三个内角的度数请问此时 ABCD为等腰梯形吗?说说你的理由阅读材料四边形的变身术我们知道，一个平行四边形总可以剪开拼成一个矩形一个梯形可以剪开拼成一个矩形，一个矩形可以剪开拼成一个三角形那么任意一个四边形呢?它也可以剪开拼成各种各样的图形.下面给出
20、了一些剪拼的示意图，观察一下，你也试试看想想看，在这些剪拼过程中，都用到了图形的什么变换?小结知识结构平行四边形梯 形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形四边形两组对边分别平行只有一组对边平行有一直角邻边相等邻边相等有一直角两腰相等一腰垂直于底二、 概括本章通过操作探索几类特殊四边形的性质，学会解决一些简单的度量问题平行四边形是中心对称图形，这是它的本质特征矩形、菱形、正方形作为特殊的平行四边形，不仅具有平行四边形的一般的性质，而且它们都是轴对称图形，分别具有一些独特的性质梯形经常通过划分成一个平行四边形和一个三角形而加以探索复习题A组1. 观察下列挂件的图形，将它们分割成一个个你所熟悉的 图形，分
21、别指出它们的名称（第 题）2. 如图，在 ABCD 中，过点 P 画线段 EF、GH 分别平行于 AB、BC，试找出图中的平行四边形，与你的同伴比一比，看看谁找出的多(第 2 题)3. 如图，在 ABCD 中， BAC68， ACB36，求 D 和BCD的度数(第 3 题)4. 如图，在矩形 ABCD 中，相邻两边 AB、BC 分别长 15cm 和 25cm，内角BAD 的角平分线与边 BC 交于点 E试求 BE 与 CE 的长度(第 4 题)5. 已知正方形 ABCD 的一条对角线 AC 长为 4cm，求它的边长和面积B组6. 如图，在 ABCD中，ABBE，连结 AE，并延长与 DC 的延
22、长线交于点 F，F62，求这个平行四边形各内角的度数(第 6 题) (第 7 题)7. 如图，在梯形 ABCD 中， ADBC，ADAB ， BCBD，A 120，求梯形其他各内角的度数8. 如图，在正三角形 ABC 中，D、E、F 分别为 三边 BC、CA、AB 的中点，看一看，数一数，在整个图形中，有多少个三角形? 多少个平行四边形?多少个菱形 ?多少个等腰梯形？ (本题只要求观察，说出你数得的个数)(第 8 题) (第 9 题)9. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，ABDC， B60， DEAB试说明(1) DEDC；(2) DEC 是一个等边三角形10. 梯形 ABCD 中， ADBC
23、，且A2 B4C，求D 的度数C组11. 如图 ，D 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的一点，E、F 分别在AC、AB 上，且 DEAB， DFAC试问 DE、DF 与 AB 之间有什么关系吗?请说明理由(第 11 题)12. 如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 O 又是另一个正方形 ABCO的一个顶点如果两个正方形的 边长相等，那么正方形ABCO绕点 O 无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一想一想，这是为什么？(第 12 题)13. 请你用不同的方法将一个矩形分成面积相等的两部分(1) 观 察一下所分成的两部分图形之间的位置关系；(2) 如果你用的是直线，那么这样的直线有多少条? 它们之间又有什么联系呢?(3) 若将矩形分成面积相等的四部分，你又能发现什么?
