1、期末复习( 一) 直角三角形01 各个击破命题点 1 直角三角形的性质【例 1】 如图，在ABC 中，BF，CE 分别是 AC，AB 两边上的高，D 为 BC 中点，试说明DEF 是等腰三角形【思路点拨】 D 为 BC 中点，又BEC 和BFC 是直角三角形，故可利用直角三角形斜边中线的性质得 DEDF BC.12【解答】 【方法归纳】 由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系1(北京中考)如图，公路 AC，BC 互相垂直，公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开若测得 AM 的长为 1.2 km，则 M，C 两点间的距离为（ ）A0.5 kmB0.6 kmC0.9 kmD1.2 km2
2、在ABC 中，AB AC，A120，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，交 AB 于点 E.如果 DE1，求 BC 的长命题点 2 直角三角形的判定【例 2】 如图，已知 ABCD，PA，PC 分别平分BAC 和ACD.试判断APC 的形状，并说明理由【思路点拨】 由 ABCD 可得BACACD180.又由 PA，PC 两条平分线，可证明1290，从而得到APC 的形状【解答】 【方法归纳】 由角来判断一个三角形是直角三角形，只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可3一个三角形的三个角的角度之比是 336，则这个三角形是_4已知：如图，在ABC 中，ADBC，1B.求证：ABC 是直
3、角三角形命题点 3 勾股定理及逆定理【例 3】 如图，四边形 ABCD，ABAD2，BC3，CD1，A90，求ADC 的度数【思路点拨】 首先在 Rt BAD 中，利用勾股定理求出 BD 的长，而由题意可知，ABD 为等腰直角三角形，则ADB45，再根据勾股定理逆定理，证明BCD 是直角三角形，即可求出答案【解答】 【方法归纳】 当不能直接求一个角的度数时，可通过作辅助线，求几个角的和或差5已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1， ，2.分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角3三角形的有（ ）A B C D6如图，已知ABC，ACB90，AB 5 cm.BC3 cm，CDAB 于
4、点 D，求 CD 的长命题点 4 直角三角形全等的判定【例 4】 如图，已知 ABBD，CDBD，ADCB，求证：AD BC.【思路点拨】 要证 ADBC，可证ADB CBD ，这由 RtADBRtCBD(HL)可以得到【解答】 【方法归纳】 用 HL 证明三角形全等时，需指明直角三角形7如图，在四边形 ABCD 中，CBCD，ABCADC90，BAC 35，则BCD 的度数为（ ）A145B130C110D708如图：ABAD，ABCADC90，EF 过点 C，BEEF 于 E，DFEF 于 F，BEDF.求证：Rt BCERtDCF.命题点 5 角平分线的性质与判定【例 5】 如图，在AB
5、C 中，B 的平分线与C 的外角的平分线交于 P 点，PDAC 于 D，PHBA 于 H，求证：AP 平分HAD.【思路点拨】 过 P 作 PFBE 于 F，根据角平分线的性质可得 PHPF ，PFPD，有 PDPH，再根据角平分线的判定可得结论【解答】 【方法归纳】 此题主要考查角平分线定理及逆定理；准确作出辅助线是解答本题的关键，解决与角平分线有关的问题常常用到作垂线之类的辅助线9如图，OC 是AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PDOA 于点 D，PE OB 于点 E，若点 Q 是 OC 上与点O，P 不重合的另一点，则以下结论中，不一定成立的是（ ）APD PEBOCDE 且 OC
6、 平分 DECQO 平分DQEDDEQ 是等边三角形10如图，ABC60，点 D 在 AC 上，BD16，DEBC，DFAB，且 DEDF，求：(1)CBD 的度数；(2)DF 的长度02 整合集训一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)1如图，l 1l 2，l 3l 4，142，那么2 的度数为（ ）A48B42来源:gkstk.ComC38D212在 RtABC 中，C90，一个锐角为 30，最短边长为 5 cm，则最长边上的中线是（ ）A5 cm B15 cmC10 cm D2.5 cm3下列说法中：如果A BC，那么ABC 是直角三角形； 如果AB C123，那么三角形是直角三角形；
7、如果三角形的三边长分别为 4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形正确的有（ ）A1 个 B2 个C3 个 D4 个4(毕节中考)下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）A. ， ， B1， ，3 4 5 2 3C6，7，8 D2，3， 45如图，为了测得湖两岸 A 点和 B 点之间的距离，一个观测者在 C 点设桩，使ABC90，并测得 AC 长 20米，BC 长 16 米，则 A 点和 B 点之间的距离为（ ）A25 米 B12 米C13 米 D4 米36如图，在ABC 中，C90，AP 是角平分线，AP10，CP5，则B 的
8、度数是（ ）A45 B30C60 D157如图所示，BEAC，CFAB ，垂足分别是 E、F ，若 BECF ，则图中全等三角形有（ ）A1 对 B2 对C3 对 D4 对8如图，ABC 中B 的外角平分线 BD 与C 的外角平分线 CE 相交于点 P，若点 P 到 AC 的距离为 2，则点P 到 AB 的距离为（ ）A1 B2 C3 D49如图，ABC 中，ACB90，AE AC8，BF BC15，则 EF 长为（ ）A3 B4 C5 D610如图，由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标，如果大正方形的面积为 16，小正方形的面积为 3，直角三角形的
9、两直角边分别为 a 和 b，那么(a b) 2 的值为（ ）A256 B169 C29 D48二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)11如图，在 RtABC 中，ACB90，AC3，AB6，点 D 是 AB 的中点，则ACD_.12如图，在 RtABC 中，C90，一条线段 PQAB，点 P，Q 两点分别在 AC 和 AC 的垂线 AX 上移动，当 AP_时，才能使ABCQPA.来源:学优高考网 gkstk13在 RtABC 中，C90，A 30，AB 上的中线 CD 的长 2 cm，那么 BC_cm.14如图，在 RtABC 中，A90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，S BDC
10、4，BC8，则 AD_.15利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_，该定理的结论其数学表达式是_16(南昌中考)如图，在ABC 中，ABBC4，AO BO，P 是射线 CO 上的一个动点，AOC 60，则当PAB 为直角三角形时，AP 的长为 _三、解答题(共 52 分)17(8 分) 已知：如图，Rt ABC 和 RtADC，ABCADC90，点 E 是 AC 的中点求证：EBDEDB.18(8 分) 已知：如图，BC 、AD 分别垂直 OA、OB ，BC 和 AD 相交于点 E，且 OE 平分AOB，已知 CE3 cm，A30 ，
11、试求 EB 的长来源:学优高考网 gkstk19(10 分) 小明拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高 1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？20(12 分) 如图，在ABC 中，ABAC，DE 是过点 A 的直线，BDDE 于点 D，CEDE 于点 E.(1)若点 B，C 在 DE 的同侧( 如图 1 所示) ，且 ADCE.求证：ABAC；图 1(2)若点 B，C 在 DE 的两侧( 如图 2 所示) ，其他条件不变，AB 与 AC 仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由图 221(14 分) 如图，ACB
12、 和ECD 都是等腰直角三角形， ACBECD90，D 为 AB 边上一点，求证：(1)ACEBCD ；来源:学优高考网(2)AD2DB 2 DE2.参考答案例 1 BF，CE 分别是 AC，AB 两边上的高，BECBFC90.又 D 为 BC 中点，DE BC，DF BC.12 12DEDF.DEF 是等腰三角形例 2 APC 是直角三角形PA，PC 分别平分BAC 和ACD，BAC21，ACD22.ABCD，BACACD180.2122180.1290.APC90.APC 是直角三角形例 3 连接 BD.在 RtBAD 中，ABAD2，ADB45，BD 2 .在BCD 中，DB 2CD 2
13、(2 )21 29CB 2，AD2 AB2 2 2BCD 是直角三角形BDC90.ADCADBBDC4590135.例 4 ABBD，CDBD，ABDCDB90.在 RtADB 和 RtCBD 中，ADCB，BDDB，RtADBRtCBD(HL)ADBCBD.ADBC.例 5 过 P 作 PFBE 于 F.BP 平分ABC，PHBA，PFBE，PHPF.又CP 平分ACE，PDAC，PFBE，PFPD.PDPH.又 PHBA，PDAC，AP 平分HAD.题组训练1D 2.连接 AD.DE 垂直平分 AB，ADBD，DEB90.ABAC，BAC120，BC30.在 RtBDE 中，B30，DE
14、BD.12BD2.ADBD，BADB.DACBACBAD1203090.又C30，AD CD.12CD2AD2BD4.BCCDBD426. 3.等腰直角三角形 4.证明：ADBC，BADB90.1B，1BADBAC90.ABC 是直角三角形 5.D 6.ABC 是直角三角形，AC 2BC 2AB 2，即 AC25 23 2.AC4 cm.又 SABC BCAC ABCD，12 12CD 2.4(cm) BCACAB 3457.C 8.证明：连接 BD，ABAD，ABDADB.ABCADC90，CBDCDB.BCDC.BEEF，DFEF，EF90.在 RtBCE 和 RtDCF 中， BC DC
15、，BE DF.)RtBCERtDCF(HL) 9.D 来源:gkstk.Com10.(1)DEBC，DFAB，且 DEDF，BD 平分ABC.ABC60，DBC30.(2)BD 平分ABC，ABDDBC30.BD16，DF BD 168.12 12整合集训1A 2.A 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 8.B 9.D 10.C 11.60 12.CB 13.2 14.1 15.勾股定理 a 2b 2c 2 16.2 或 2 或 2 3 717.证明：ABC90，且点 E 是 AC 的中点，EB AC.同理：ED AC.12 12EBED.EBDEDB. 18.BC、AD 分别垂直 OA、
16、OB，OE 平分AOB，CEDE.在ACE 和BDE 中， AEC BED，CE DE， ACE BDE 90， )ACEBDE(ASA)AEBE.CE3 cm，A30，AE2CE236(cm)EB6 cm. 19.设竹竿长 x 米，则城门高(x1)米，根据题意得 x2(x1) 23 2.解得 x5.答：竹竿长 5 米 20.(1)证明：BDDE，CEDE，ADBAEC90.又ABAC，ADCE，RtABDRtCAE(HL)DABECA，DBAEAC.DABDBA90，BADCAE90.BAC180(BADCAE)90.ABAC.(2)ABAC.理由如下：同(1)一样可证得 RtABDRtCAE.DABECA，DBAEAC.CAEECA90，CAEBAD90，即BAC90.ABAC. 21.证明：(1)ACBECD，ACDBCDACDACE.BCDACE.BCAC，DCEC，BCDACE(SAS)(2)ACB 是等腰直角三角形，BBAC45.ACEBCD，BCAE45.DAECAEBAC454590.AD 2AE 2DE 2.由(1)知 AEDB，AD 2DB 2DE 2.
