1、 四边形 平行四边形的性质第一课时 平行四边形的概念与性质定理 两组对边分别 平行 的四边形叫做平行四边形 平行四边形是 中心 对称图形,它的对称中心是 两条对角线的交点 平行四边形的对边 相等 ,对角 相等 下列性质中,平行四边形不一定具有的是(A)A 对角互补B 邻角互补C 对边相等D 对角相等 如图,已知ABEFDC,ADGHBC,EF与GH交于点P,则图中平行四边形的个数是(C)A 个B 个C 个D 个第题图第题图第题图 已知ABCD中, B A,则C (B)A B C D 在ABCD中, A C ,则A的度数是 ( 年梅州市)如图,在ABCD中,BE平分ABC,BC ,DE ,则AB
2、CD的周长等于 如图,在ABCD中,BCBD, C ,则ADB的度数是 如图,在平行四边形ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD的延长线于点F( )证明:FDAB;( )当平行四边形ABCD的面积为时,求FED的面积第题图证明: () ABCD中,ABCD,ABEDFE,E是AD中点,AEDE,在ABE和DFE中,ABEDFE,BEAFED,AEDE,ABEDFE,ABDF()在ABCD中,E是AD中点,SABESABCD,ABEDFE,SDFE如图已知在ABCD中,F是BC边的中点,连结DF并延长交AB的延长线于点E,求证:ABBE分析:由平行四边形的性质知ABDC,然后
3、再证出DCF EBF得到DCBE,从而证得ABBE解:四边形ABCD是平行四边形, DCAB, CFBE, F是BC中点, CFFB,在DCF和EBF中,DFC EFB,C FBE,CFFB,DCF EBF, DCBE, ABBE 平行四边形的定义既是平行四边形的性质也是平行四边形的判定 在平行四边形中证明线段或角相等和求线段长,角的度数主要利用平行四边形对边平行且相等,对角相等这一性质没有把问题考虑全面在ABCD中,ABC的平分线BE将AD分为 c m和 c m两部分,求ABCD的周长学生解答:解:如图,在ABCD中,ADBC,AEBEBC,ADBC,BE平分ABC,ABEEBC,ABEAE
4、B,ABAE,当AEcm时,ABDCcm,此时ABCD周长为cm,当AEcm时,ABDCcm,此时ABCD周长为cm,ABCD周长为cm或cm 如图,在平行四边形ABCD中,AB ,BC ,AC的垂直平分线交AD于点E,则CDE的周长是(B)A B C D 第题图第题图 如图,在平面直角坐标系中, ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为( , ) , ( , ) , ( , ) ,则顶点C的坐标是(C)A ( , ) B ( , ) C ( , ) D ( , ) 如图,将ABCD折叠,使顶点D恰落在AB边上的点M处,折痕为AN,那么对于结论: MNBC; MNAM下列说法正确的是(A)A 都对
5、B 都错C 对错D 错对第 题图第 题图 ( 年江西省)如图, ABCD和DCFE的周长相等且BAD , F ,则DAE的度数为 平行四边形的一组邻边长分别为和 ,其中一边上的高为 ,则此平行四边形的面积为 或 如图在ABCD中,将ABC沿AC对折,使点B落在B处,AB和CD相交于点O求证:OAOC第 题图证明:在ABCD中,ABDC,BACDCA,由折叠知:BACCAO,DCACAO,OAOC 如图,在ABCD中,AECF求证: ABECDF第 题图证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,BD,ADBCDAEBEA又AECF,DFCDAEDFCBEA在ABE和CDF中,BEADFC,BD
6、,ABCD,ABECDF(AAS) ( 年广西省)如图,在ABCD中,E、F为对角线AC上的两点,且AECF,连接DE、BF( )写出图中所有的全等三角形;( )求证:DEBF第 题图解: ()AEDCFB,ABFCDE,ABCCDA()在ABCD中,ABCD,BAFDCE,AECF,AFCE,在ABF和CDE中,ABCD,BAFDCE,AFCE,ABFCDE,BFADEC,DEBF 综合拓展四边形ABCD是平行四边形,P是CD上一点,且AP和BP分别平分DAB和CBA( )求APB的度数;( )如果AD c m ,AP c m ,求APB的周长第 题图解: ()在ABCD中,ADBC,DAB
7、CBA,AP、BP分别平分DAB、CBA,PABDAB,PBACBA,PABPBA,APB()在ABCD中,DCAB,DCAB,PABDPA,AP平分DAB,DAPPAB,DAPDPA,ADDP,同理:CPCB,ABDC,在RtAPB中,PBABAP,APB周长为(cm) 第二课时 平行四边形的性质定理 平行四边形的对角线 互相平分 已知在ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AC ,则AO ( 年常州市)如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,则下列说法一定正确的是(C)A AOODB AOODC AOCOD AOAB第题图第题图第题图 如图所示,在ABCD中,EF过对角线的交点O
8、,AB ,AD ,OF ,则四边形BCEF的周长为(B)A B C D 如图, ABCD的对角线相交于点O且AB , OCD的周长为 ,则ABCD的两条对角线的和是(C)A B C D 平行四边形的对角线AC,BD相交于点O,如果SABCD c m ,则SAOBcm 第题图 如图, ABCD的周长为 c m ,AC、BD相交于点O,OEAC交AD于E,则DCE的周长为 cm ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且ABCD的周长为 , AOD的周长比AOB的周长大 ,则AB的长为 如图, ABCD与EBFD的顶点A、E、F、C在一条直线上,求证:AFCE第题图证明:连结BD交AC于点O在ABC
9、D中,AOCO,在EBFD中,EOFO,AOOFCOEO,AFCE如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O,且与BC、AD分别相交于点E、F,OE与OF相等吗?为什么?分析:要说明OEOF,只要说明AOF COE即可利用平行四边形的性质,即可得到相等的边和相等的角解:OEOF理由如下: 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,OAOC CADACB(或AFO CEO)又 AOF COE, AOFCOE, OEOF 平行四边形被两条对角线分得的四个三角形面积相等相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边的差 利用平行四边形的性质可以证明线段相等,线段平行和角相等在利用平行四
10、边形的性质时易错误认为平行四边形的邻边相等或对角线相等已知,如图所示,点O是ABCD中对角线的交点下列结论: ADBC, OBOD; ACBD; ABC ADC; ADCD,其中正确的有(B)A 个 B 个C 个D 个 如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC,若AB ,AC ,则BD的长是(C)A B C D 第题图第题图 ( 年河南省)如图,在ABCD中,用直尺和圆规作BAD的平分线AG交BC于点E若BF ,AB ,则AE的长为(C)A B C D 第 题图 ( 年无锡市)如图,ABCD中,AEBD于E, EAC ,AE ,则AC的长等于 ABCD中,两条对角线AC,BD的长
11、分别是 和 ,则AB的取值范围是 AB 如图, ABCD的对角线AC、BD相交于点O,EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F求证:OEOF第 题图证明:在ABCD中,OAOC,ABCD,BAODCO,在AEO和CFO中,EAOFCO,AOCO,AOECOF,AEOCFO,OEOF 如图所示,已知在ABCD中,对角线AC,BD相交于O点,E,F分别是CO,AO的中点,那么BE与DF有什么关系?说明你的理由第 题图解:BE与DF的关系是平行且相等理由:在ABCD中,AOCO,BODO,F、E分别是AO、CO中点，FOOE,在FOD和EOB中,FOOE,FODEOB,ODOB,FODEOB,DF
12、BE,OFDOEB,DFBE,DFBE ( 年武汉市)如图,已知点A( , ) ,B( , ) ,平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O第 题图( )请直接写出点C、D的坐标;( )写出从线段AB到线段CD的变换过程;( )直接写出平行四边形ABCD的面积解: ()四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是中心对称图形,A(,) ,B(,) ,C(,) ,D(,) ;()线段AB向右平移个单位,得到线段CD;()SABCD 综合拓展在ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若OA c m ,OB c m ,且ACBD,求ABCD的周长与面积解:四边形ABCD是平行四边形,BODOACBD,
13、AC是线段BD的垂直平分线ABAD又ABCD,BCAD,ABBCCDAD在直角AOB中,ABOAOB(cm)ABCD的周长是(cm)BDOB(cm) ,ABCD的面积:SSABDBDOA(cm) 平行四边形的判定第一课时 平行四边形的判定定理 两组对边分别 平行 的四边形是平行四边形 一组对边 平行且相等 的四边形是平行四边形 平行线间的距离处处 相等 如图,两张等宽的纸条交叉重叠在一起,则重叠部分ABCD一定是(B)A 正方形B 平行四边形C 三角形D 以上均不正确第题图第题图第题图 如图,直线ABCD,P是AB上的动点,当点P的位置变化时,三角形PCD的面积将(C)A 变大B 变小C 不变
14、D 不能确定 如图,在ABCD中,E,F分别为边AB,DC的中点,则图中共有平行四边形的个数是(B)A 个B 个C 个D 个第题图 ( 年淮安市)如图,在四边形ABCD中,ABCD,要使得四边形ABCD是平行四边形,应添加的条件是BCAD (只填写一个条件) 在四边形ABCD中,ABCD, B D,BC ,AB ,则四边形ABCD的周长是 过ABC的BC边上一点D,作DEAC交AB于点E,作DFAB交AC于点F,且CDF , BDE ,则A 如图,已知:ABCD,BEAD,垂足为点E,CFAD,垂足为点F,并且AEDF求证:四边形BECF是平行四边形第题图证明:ABCD,AD,BEAD,CFA
15、D,AEBCFD,BECF,在AEB和DFC中,AD,AEDF,AEBCFD,AEBDFC,BECF,又BECF,四边形BECF是平行四边形如图,在ABCD中,已知AE、CF分别是DAB、 BCD的角平分线,求证:四边形AFCE是平行四边形分析:由ABCD易知AFEC,可证AFCE或FCAE利用一组对边平行且相等或两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得四边形AFCE是平行四边形证明:四边形ABCD是平行四边形, ADBC,即AFEC, ,又CF平分BCD, ,DFCD,同理可证ABBE, DFBE, ADDFBCBE,即AFEC, 四边形AFCE是平行四边形已知一个四边形的一组对边平行可以通
16、过证明这组对边相等或证明另一组对边平行得到这个四边形是平行四边形不能清晰地利用平行四边形的判定证明一个四边形是平行四边形下面条件能判断四边形是平行四边形的是(C)A 一组对边平行,另一组对边相等B 一组对边平行,一组邻角互补C 一组对边平行,一组对角相等D 一组对边平行,一组对角互补 第题图 如图,在ABC中,ABAC ,D是BC上的点,DEAB交AC于点E,DFAC交AB于点F,那么四边形AFDE的周长是(B)A B C D 如图,在ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,且BEDF,若EBF ,则EDF的度数是 第题图第 题图 如图,在ABCD中, B ,AB ,BC ,P是对角线AC上
17、任一点(点P不与点A、C重合) ,且PEBC交AB于E,PFCD交AD于F,则阴影部分的面积是 ( 年毕节市)如图,将ABCD的边AD延长至点E,使DE AD,连结CE,F是BC边中点,连接FD,求证:四边形CEDF是平行四边形第 题图证明:四边形ABCD是平行四边形,ADBC,DEAD,F是BC边中点，DECF，四边形CEDF是平行四边形 如图,在四边形ABCD中,ADBC且ADBC,AD c m ,点P、Q分别从B、D两点同时出发,点P以 c m / s的速度由B向C运动,Q以同样的速度由D向A运动,问几秒后四边形ABPQ是平行四边形?第 题图解:设运动t秒后四边形ABPQ是平行四边形,A
18、Qt,BPt,ADBC,当AQBP时,四边形ABPQ为平行四边形,即tt,解得t ( 年桂林市)如图,在ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点( )求证:四边形EBFD为平行四边形;( )对角线AC分别与DE、BF交于点M、N,求证: ABN CDM第 题图证明: ()在ABCD中,ABCD,E,F分别是AB,CD中点,BEDF,四边形BEDF为平行四边形()在BEDF中,DEBF,CDMCFN,在ABCD中,ABCD,BACDCA,ABNCFN,ABNCDM,在ABN和CDM中,BANDCM,ABCD,ABNCDM,ABNCDM 综合拓展已知四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,给出
19、下列个条件: ADBC; ABCD; ABC ADC; ABCD; OBOD( )从以上个条件中任意选取个条件,能推出四边形ABCD是平行四边形的,除“ 与 ”外,还有哪几种? (请用序号表示)( )除“ 与 ”外,选择你写的其中的一种,写出已知,求证和证明解: ()还有与,与,与,与,与()已知:在四边形ABCD中,ABCD,ABCADC,求证:四边形ABCD是平行四边形证明:ABCD,ABCBCD又ABCADC,BCDADC,BCAD四边形ABCD是平行四边形 第二课时 平行四边形的判定定理、 两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形 两条对角线 互相平分 的四边形是平行四边形 两个一模一
20、样的含 角的三角板拼成形状不同的平行四边形,最多可拼成(C)A 个B 个C 个D 个 已知在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且OAOC,OBOD,下列结论不一定成立的是(A)A ABACB ABCDC A CD ADBC 下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(D)A OAOC,OBODB ABDC,ADBCC ADBC,ABDCD ABDC,ADBC第题图 ( 年牡丹江市)如图,四边形ABCD的对角线相交于O,AOCO,请添加一个条件 BODO (只添一个即可) ,使四边形ABCD是平行四边形 在四边形ABCD中,ABCD,ADBC,若A ,则C 第题图 如图,点A是直线l外
21、一点,在l上取两点B、C分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连接AB、AD、CD,则四边形ABCD是 平行 四边形 ( 年遂宁市)如图, ABCD中,点E,F在对角线BD上,且BEDF,求证:( )AECF;( )四边形AECF是平行四边形第题图证明: ()四边形ABCD是平行四边形ABCD,ABECDF,在ABE和CDF中,ABCD,ABECDF,BEDF,ABECDF,AECF()连结AC交BD于O,在ABCD中,AOCO,BODO,又BEDF,EOFO,四边形AECF是平行四边形如图所示, ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,已知点E,F分别是OA,OC的中
22、点,试说明四边形BFDE是平行四边形分析:由平行四边形的性质可知ODOB,OAOC由中点易证得OEOF从而可证得四边形BFDE是平行四边形证明:四边形ABCD是平行四边形OAOC,OBOD,E、F分别是OA、OC的中点, OE OA,OFOC, OEOF, 四边形BFDE是平行四边形 两个四边形有公共对角线时常利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明 灵活选择合适的方法识别平行四边形没有理解对角线互相平分如图ABCD中,E,F分别在BA与DC延长线上OEOF,求证:四边形BEDF是平行四边形学生解答:证明:在ABCD中,ABCDABOODC,又BOEDOF,OEOFBOEDOF,OB
23、OD,又OEOF,四边形BEDF是平行四边形 如图,在平面直角坐标系中,以O( , ) ,A( , ) ,B( , )为顶点,构造平行四边形,下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(A)A ( , ) B ( , )C ( , ) D ( , )第题图第题图 ( 年绵阳市)如图在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点E, CBD ,BC ,BEED ,AC ,则四边形ABCD的面积为(D)A B C D 四边形的四边长度依次是a,b,c,d,且满足(ac) (bd) ,此四边形是 平行四边形 第 题图 如图,E,F分别是ABCD的对边的中点,G是AF与BE的交点,H是CE、DF的交点,则
24、EF与GH的关系是 互相平分 ( 年郴州市)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,B,D,F在同一直线上,且BEDF求证:AECF第 题图证明:连接AC交EF于点O,在ABCD中,AOCO,BOOD,又BEDF,OEOF,连接AF、CE,四边形AECF为平行四边形,AECF ( 年河北省)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证已知:如图 ,在四边形ABCD中,BCAD,AB CD 求证:四边形ABCD是 平行 四边形( )在方框中填空,以补全已知求证;( )按嘉淇的想法写出证明;( )用文字
25、叙述所证命题的逆命题为 平行四边行两组对边相等 解: ()连结BD,在ABD和CDB中,ABCD,ADBC,BDDB,ABDCDB,ADBDBC,ABDCDB,ABCD,ADBC,四边形ABCD是平行四边形第 题图 在四边形ABCD中,M是BC的中点,AM与BD交于点O,且AOOM,BOOD求证:AMDC证明:连结DM,M是BC中点,BMMC,AOOM,BOOD,四边形ABMD为平行四边形,ADBM,ADBM,ADMC,四边形AMCD为平行四边形AMDC第 题图 综合拓展如图,在R t ABC中, C ,以AC为一边向外作等边三角形ACD,点E为AB的中点,连接DE( )证明:DECB;( )
26、探索AC与AB满足怎样的数量关系时,四边形DCBE是平行四边形证明: ()连结CE在RtABC中,E为AB中点,CEAE,又在等边ADC中,ADDC,DEAC,ACB,DECB()当ACAB时,四边形DCBE是平行四边形证明:在RtACB中,ACAB,B,等边ACD中,ACD,DCB,DCBB,DCBE,又DECB,四边形DCBE是平行四边形 滚动专题训练(四) 平行四边形的性质与判定一、平行四边形的性质 如图,在平行四边形ABCD中,CEAB,E为垂足,如果A ,那么BCE的度数是(D)A B C D 第题图第题图 ( 年大连市)如图,在ABCD中,AC,BD相交于点O,AB c m ,AD
27、 c m ,ACBC,则OB c m第题图 ( 年自贡市)在ABCD中, BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BHEC于点H,求证:CHEH证明：在ABCD中，ABCD，E，CE平分BCD，E，BEBC，又BHCE，EHHC第题图 如图,在ABCD中,点E,F分别在边DC,AB上,DEBF,把平行四边形沿直线EF折叠,使得点B,C分别落在B,C处,线段EC与线段AF交于点G,连接DG,BG求证:( ) ;( )DGBG证明: ()由折叠知CEF,在ABCD中,DCAB,CEF,;()在ABCD中，DCAB，DEFEFB，由折叠知：EFBEFB,DEFEFB,DEFDEG,EFBGFB,又,
28、DEGGFB,EGFG,DEBF,BFBF,DEBF,在DEG和BFG中,DEBF,DEGGFB,EGFG,DEGBFG,DGBG二、平行四边形的判定已知四边形ABCD,有以下四个条件: ABCD;ABCD; BCAD; BCAD从这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有(C)A 种B 种C 种D 种第题图 如图,ABCD,ADCB,AC、BD交于点O,图中全等的三角形有(C)A 对B 对C 对D 对第题图 ( 年扬州市)如图,将ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D处,折痕l交CD边于点E,连接BE( )求证:四边形BCED是平行四边形;( )若B
29、E平分ABC,求证:AB AE BE证明: ()由折叠知DAEDAE,DEADEA,DADE,DEAD,DEAEAD,DAEEADDEADEA,DADDED,四边形DADE是平行四边行,DEAD,四边形ABCD为平行四边形,ABDCCEDB,四边形BCED是平行四边形()BE平分ABC,CBEEBA,ADBC,DABCBA,DAEBAE,EABEBAAEB,ABAEBE第题图 如图,分别以R t ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD和等边ABE,已知: BAC ,EF AB,垂足为F,连接DF( )试说明ACEF;( )求证:四边形ADFE是平行四边形证明：（）在等边ABE中，AEAB
30、,AEBE,又EFAB，AEF,在AEF和BAC中,AFEACB,FEABAC,AEAB,AEFBAC，EFAC；（）在等边ACD中，ACAD，DAC，又EFAC,BAC,EFAD,BAD,ADEF,四边形ADFE是平行四边形 ( 年怀化市)如图,在平行四边形ABCD中,B AFE,EA是BEF的平分线,求证:( ) ABE AFE;( ) FAD CDE第题图证明: ()EA平分BEF,BEAFEA,又BAFE,AEAEABEAFE()BAFE,在ABCD中,BADC,AFEADC,AFEFADADF,ADCADFEDC,FADEDC三、平行四边形的性质与判定的综合 ( 年哈尔滨市)如图 ,
31、 ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD,BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接EG,FG,FH,EH第 题图( )求证:四边形EGFH是平行四边形( )如图 ,若EFAB,GHBC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中与四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四边形AGHD除外)证明: ()在ABCD中,ADBC,EAOFCO,在OAE和OCF中,EAOFCO,AOECOF,OAOC,OAEOCF,OEOF,同理OGOH,四边形EGFH是平行四边形() GBCHABFE, EFCD, EGFH 在BAC中,ABAC,点D在边BC所在的直
32、线上,过点D作DEAC交直线AB于点E,DFAB交直线AC于点F( )当点D在边BC上时,如图 ,求证:DEDFAC;( )当点D在边BC的延长线上时,如图 ;当点D在边BC的反向延长线上时,如图请分别写出图 中DE、DF、AC之间的数量关系,不需要证明第 题图( )若AC ,DE ,则DF 或 证明: ()DEAC,DFAB,四边形AEDF为平行四边形,DEAF,ABAC,BC,ABDF,BFDC,CFDC,FDFC,ACAFFC,DEDFAC()图中DEDFAC图中DFDEAC 三角形中位线 连接三角形 两边中点 的线段,叫三角形的中位线,一个三角形有 条中位线 三角形的中位线 平行 于第
33、三边,并且等于第三边的 一半 在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,若DE ,则BC的长为 ( 年泸州市)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别为边AB,AC的中点,则DEC的度数为(C)A B C D 第题图第题图第题图 如图,在ABC中,点D,E分别是边AB,BC中点,若DBE的周长是 ,则ABC的周长是(C)A B C D 如图,P、R分别是矩形ABCD的边BC、CD上的点,E、F分别是PA、PR的中点,点P从B点沿BC向C移动,点R不动时,那么下列结论成立的是(C)A 线段EF逐渐增大B 线段EF逐渐减小C 线段EF的长不变D 无法确定 ( 年宿迁市)如图,在R t ABC中,
34、ACB 点D,E,F分别为AB,AC,BC的中点,若CD ,则EF的长为 第题图第题图 如图,在ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是AB边的中点,OE c m ,则AD的长是 c m 如图,在ABC中,中线BD、CE相交于O,F、G分别为OB、OC的中点第题图求证:四边形DEFG为平行四边形证明:E,D分别是AB,AC中点,DEBC,F,G分别是OB,OC中点,FGBC,DEFG,四边形EFGD为平行四边形如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点,且CEDC,连结AE,交BC于点F,连结AC交BD于点O,连结OF,试说明AB OF分析:由ABCD知O是AC中点故只须证出F是BC中点即可得到AB OF证明:连结BE,因为四边形ABCD为平行四边形所以ABCD,AOOC因为CECD,所以ABCE所以四边形ABEC为平行四边形所以BFFC所以OF AB,即AB OF 当三角形的
