1、14二次函数与一元二次方程一、选择题1、（2009 年台湾）下列哪一个函数，其图形与 x 轴有两个交点？Ay17( x83)22274 By17(x83) 22274Cy 17(x83)22274 D y17(x83) 22274。【关键词】二次函数与一元二次方程的关系【答案】D2、（2009 年台州市）已知二次函数 cbxay2的 y与 x的部分对应值如下表：x 10 1 3 y 31 3 1 则下列判断中正确的是（ ）A抛物线开口向上 B抛物线与 y轴交于负半轴C当 x4 时， y0 D方程 02cbxa的正根在 3 与 4 之间【关键词】二次函数与一元二次方程根之间的内在联系【答案】D二
2、、填空题1、（2009 年包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2【答案】 或251.【解析】本题考查的二次函数求最值或配方法求最值。设其中一段铁丝的长为 x cm，则另一段为(20x) cm;则这两个正方形的面积之和为，当 x10 时，222 10002488xxx有小值 ；所以这两个正方形的面积之和最小值为2215.或 12.5。52、（2009 年甘肃白银）抛物线 2yxbc的部分图象如图 8 所示，请写出与其关系式、图象相关的 2 个正确结论： ， （对称轴方程，图象与 x 正半轴、y 轴交点坐标例
3、外）【关键词】二次函数和抛物线有关概念【答案】 答案不唯一如：c3；bc1； c3b9；b2； 抛物线的顶点为（1，4），或二次函数的最大值为 4；方程x 2bxc0 的两个根为3，1； y0 时，31；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小；或当 x0， 4k2 0 此抛物线与 x 轴总有两个交点 （2）解：方程 2230xk的解为 32x或 13ONM，OM ON k 0，M (,)k，N 1(,0)k，OM 2k，ON 1 1123ONk，解得，k 211、（2009 年新疆）（1）用配方法把二次函数 变成 的形243yx2()yxhk成（2）在直角坐标系中画出 的图象243yx（3）若
4、 是函数 图象上的两点，且 ，请比12()()AxB， ， ， 2x12x较 的大小关系（直接写结果）12y，（4）把方程 的根在函数 的图象上表示出来43x243yx【关键词】描点法画出二次函数的图象、增减性、二次函数与一元二次方程根之间的内在联系【答案】（1） 2yx2()x2()1x（2）对称轴 ，顶点坐标1，x 0 1 2 3 4 y 3 0 10 3 12-2 -1-3 1 2 31230 xyDCx1 x224yx（3） 12y（4）如图点 的横坐标 CD， 34x，12、（2009 年天津市）已知函数 为方程 的两21yxbc， ， ， 120y个根，点 在函数 的图象上1MT，
5、 2（）若 ，求函数 的解析式；3， y（）在（）的条件下，若函数 与 的图象的两个交点为 ，当 的面积12AB， M为 时，求 的值；12t（）若 ，当 时，试确定 三者之间的大小关系，并说明010tT， ，理由【关键词】二次函数、方程、不等式【答案】（） ， .将21 120yxbxcy， ， 210xbc分别代入 ，得132， ，解得 . 函数 的解2 2010bcbc， 16bc， 2y析式为 2y516x（）由已知，得 ，设 的高为 ，2ABABM h，即 .根据题意， ，由3121ABMSh 124h2tTh，得 .当 时，解得 ；当26Tt256t25164t125t时，解得 .
6、 的值为 .2514t3411tt， t5， ，（）由已知，得 .222bcbcTtbc， ， ，TtTt，化简得 .22bcc10，得 ， .有01010b.又 ， ， ， 当， ttbtb时， ；当 时， ；当 时， .ta T T 1T12、（2009 年广西梧州）如图（9）1，抛物线 23yax经过 A（ ，0），C（3， ）两点，与 y轴交于点 D，与 x轴交于另一点 B2（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线 )0(1kx将四边形 ABCD 面积二等分，求 k的值；（ 3） 如 图 （ 9） 2， 过 点 E（ 1， 1） 作 EF x轴 于 点 F， 将 AEF 绕 平 面 内
7、某 点 旋 转 180得MNQ（点 M、N 、Q 分别与点 A、E、F 对应），使点 M、N 在抛物线上，作 MGx轴于点 G，若线段 MG AG1 2，求点 M，N 的坐标EFMNGO BA xy图（9）-2QDO BA xyCy=kx+1图（9）-1【关键词】二次函数、一元二次方程、四边形.【答案】（1）解：把 A（ ，0），C（3， ）代入抛物线 得1223yaxb290)1(3)(2ba整理得解得204b21ba抛物线的解析式为 32xy（2）令 解得 0312x124x， B 点坐标为（4，0） 又D 点坐标为（0， ） ABCD 四边形 ABCD 是梯DO BA xyCBCy=kx
8、+1图(9) -1HT 2形S 梯形 ABCD 82)35(设直线 与 x 轴的交点为 H， 0kxy与 CD 的交点为 T，则 H（ ，0）， T（ ， ）1直线 将四边形 ABCD 面积二等分)(kxyS 梯形 AHTD S 梯形 ABCDEFMNGO BA xy图(9) -2Q21 4)31(k 4k（3）MG 轴于点 G，线段 MGAG12x设 M（m， ）， 2点 M 在抛物线上 2321m解得 （舍去） 1231m，M 点坐标为（3， ）根据中心对称图形性质知，MQAF，MQAF，NQEF，N 点坐标为（1， ） 13、2009 年包头）某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规
9、定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 （件）与销售单价 （元）符yx合一次函数 ，且 时， ； 时， ykxb65y75x4（1）求一次函数 的表达式；（2）若该商场获得利润为 元，试写出利润 与销售单价 之间的关系式；销售单价定W为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于 500 元，试确定销售单价 的范围x【关键词】一次函数、二次函数、最大值解：（1）根据题意得 解得 所求一次函数的表达式为6574.kb， 120kb，（2） ，0yx(0)WxA87x2(90)x抛物线的开口向下， 当 时， 随 的增大而增大，而
10、 ， 当9687 时， 当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大87x2(87)81利润，最大利润是 891 元（3）由 ，得 ，整理得， ，解得，50W207x21807x1271x，由图象可知，要使该商场获得利润不低于 500 元，销售单价应在 70 元到 110 元之间，而，所以，销售单价 的范围是 608 x708x 14、（2009 年北京市）已知关于 的一元二次方程 有2410k实数根， 为正整数.k（1）求 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于 的二次函数x的图象向下平移 8 个单位，求平移后的图象的解析式；41yx（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在
11、 轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时， 的取值范围. 12yxbkb【关键词】一元二次方程 二次函数【答案】15、（09 湖南怀化）如图 11，已知二次函数 22)(mkxy的图象与 x轴相交于两个不同的点 1(0)Ax， 、 2()B， ，与 轴的交点为 C设 AB 的外接圆的圆心为点 P（1）求 与 y轴的另一个交点 D 的坐标；（2）如果 AB恰好为 的直径，且 AB 的面积等于 5，求m和 k的值 【关键词】分式方程、一元二次方程解法及应用、阅读理解题、一次函数的实际问题【答案】解 （1）易求得点 的
12、坐标为 (0)k，C由题设可知 是方程 )(22mx即 02kx 的2x，两根，所以212()4mkx，所 1212xmxk，如图 3， P 与 y轴的另一个交点为 D，由于 AB、CD 是 P 的两条相交弦，设它们的交点为点 O，连结 DB，AOC DOC，则 .21kOCBA由题意知点 在 y轴的负半轴上，从而点 D 在 y轴的正半轴上，C所以点 D 的坐标为（0，1）（2）因为 ABCD， AB 又恰好为 P 的直径，则 C、D 关于点 O 对称，所以点 的坐标为 (01)， ，即 k）又 22222114()41ABxxmkkm，所以 5CSO 解得 .16、23、(2009 年达州)
13、如图 11，抛物线 与 轴相交于 A、B 两点)1(3xay（点 A 在点 B 右侧），过点 A 的直线交抛物线于另一点 C，点 C 的坐标为（2，6）.(1)求 a 的值及直线 AC 的函数关系式；(2)P 是线段 AC 上一动点，过点 P 作 y 轴的平行线，交抛物线于点 M，交 x 轴于点 N.求线段 PM 长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点 M，使得CMP 与 APN 相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点 M 的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 【关键词】一次函数与二次函数的综合题目【答案】解：（1）由题意得 6a(23)(21) a2 抛物线的函数解析式为
14、 y2(x3)(x 1)与 x 轴交于 B（3，0）、A（1，0）设直线 AC 为 ykxb，则有 0kb62kb 解得 k2b2直线 AC 为 y2x2 （2）设 P 的横坐标为 a( 2a1) ，则 P（a,2a 2），M（a,2a24a6）4 分PM 2a24a6( 2a2)2a22a42a2a14922a12292当 a12 时，PM 的最大值为 92 M1（0，6）M214，678 17、（2009 年邵阳市）如图（十二）直线 l 的解析式为 yx4, 它与 x 轴、y 轴分相交于 A、B 两点，平行于直线 l 的直线 m 从原点 O 出发，沿 x 轴的正方向以每秒 1 个单位长度的
15、速度运动，它与 x 轴、y 轴分别相交于 M、N 两点，运动时间为 t 秒（0t4）（1）求 A、B 两点的坐标；（2）用含 t 的代数式表示 MON 的面积 S1；（3）以 MN 为对角线作矩形 OMPN,记 MPN 和OAB 重合部分的面积为 S2 ；当 2t4 时，试探究 S2 与之间的函数关系；在直线 m 的运动过程中，当 t 为何值时，S 2 为OAB 的面积的 165？ xylmO AMNBPxylmO AMNBPEF【关键词】一次函数的几何应用；矩形的性质；与二次函数有关的面积问题【答案】（1）当 0x时， 4y；当 0时， 4x (0)4B， ， （ ， ） ；（2） 1ANB
16、O ， ， 2112ONtSONt， ；（3）当 t 时，易知点 P在 B 的外面，则点 P的坐标为 ()t， ,F点的坐标满足 4xyt， ， 即 ()Ft， ，同理 (4)Et， ，则 24Ett-，所以 2MPNEFOMNPEFSSS 2 2113428ttttt()；当 0 时， 25156， ，解得 15tt， ， 两个都不合题意，舍去；当 24 时， 2238St，解得 347tt， ，综上得，当 7t或 t时， 2为 OAB 的面积的 516注：解答题用其它方法解答，请参照评分18、(2009 年肇庆市)已知一元二次方程 的一根为 2 2 0xpq（1）求 关于 的关系式； qp
17、（2）求证：抛物线 与 轴有两个交点； 2yxpq（3）设抛物线 的顶点为 M，且与 x 轴相交于 A（ ，0）、B（ ，0） 1x2x两点，求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式 【关键词】一元二次方程与二次函数【答案】（1）解：由题意，得 ，即 210pq(25)p（2）证明：一元二次方程 的判别式 ， x4q由（1）得 ， 2224(5)8()0p一元二次方程 有两个不相等的实根 0xq抛物线 与 轴有两个交点2y（3）解：抛物线顶点的坐标为 ，24pqM， 是方程 的两个根，12x， 20xpq12.xp， 221211|()44ABxpq ，22| ()8MqpSA要使 最小，只须使 最小而由（2）得 ，AB 4224()4pq所以当 时，有最小值 4，此时 4pAMBS 13q，故抛物线的解析式为 23yx学优中 考*，网
