1、 哈尔滨市第六中学 2015 届高三适应性训练（一） 文科数学试卷 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟 （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚； （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无 效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀 第卷（选择题 共60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 6
2、0 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是 符合题目要求的 1在复平面内，复数 z 满足 (3 4 ) | 4 3 | i z i （ i 为虚数单位），则 z 的虚部为 （ ） A 4 B 4 5 C4 D 4 52设集合 2 ( 3) 3 0 A x x a x a ， 2 5 4 0 B x x x ，集合 AB 中所有元素之和为 8， 则实数 a 的取值集合为 （ ） A 0B 0 3 ，C 1 3,4 ，D 0 1 3,4 ， ，3阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 i =（ ） A 3 B 4 C. 5 D 6 4 函数 3 sin( ) cos( ) 2 2 6
3、y x x 的最大值为 （ ） A 2 13B 4 13C 4 13D 135 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图 所示， 则该四棱锥的侧面积和体积分别是 （ ） A 4 5,8 B 8 4 5, 3 C 8 4( 5 1), 3 D8，8 6已知双曲线 22 22 1( 0, 0) xy ab ab 的两条渐近线与抛物线 2 2 y px （ 0 p ）的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐 标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为 3，则 p （ ） A2 B 3 2 C1 D3 7已知函数 3 2 2 1 ( ) 1 3 f x x ax b x ，若 a
4、是从 1，2，3 三个数中任取的一个数， b是从 0，1，2 三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（ ） A. 7 9B. 1 3C. 5 9D. 2 38在平行四边形 ABCD 中，AD=1， 60 BAD ，E 为 CD 的中点若 1 BE AC ，则 AB 的长为 （ ） A 1 4 B 1 2 C1 D 2 9在数列 n a 中，若对任意的 n 均有 12 n n n a a a 为定值（ * nN ），且 7 9 98 2, 3, 4 a a a ，则数 列 n a 的前100 项的和 100 S （ ） A132 B299 C68 D99 10 已知实数 , xy 满
5、足 22 1 1 xy xy ，则 2xy 的取值范围是（ ） A 1, 2B 1, ) C (0, 5D 1, 511已知函数 2 ( ) cos f x x x ，则 31 ( ), (0), ( ) 52 f f f 的大小关系是（ ） A 31 (0) ( ) ( ) 52 f f f B 13 (0) ( ) ( ) 25 f f f C 31 ( ) ( ) (0) 52 f f f D 13 ( ) (0) ( ) 25 f f f 12已知椭圆 22 22 1( 0) xy ab ab 的半焦距为 ( 0) cc ，左焦点为 F，右顶点为 A，抛物线 2 15 () 8 y a
6、 c x 与椭圆交于 B，C两点，若四边形 ABFC 是菱形，则椭圆的离心率是（ ） A. 8 15B. 4 15C. 2 3D. 1 2二.填空题：本大题共 4小题，每小题5 分，共 20分。把答案填在答题卡的相应位置。 13如下图，在矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形 ABCD 内，则粒子落在 ABE 内的概率等于 _ _ 14四棱锥 ABCD P 的五个顶点都在一个球面上，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形， PA 平面 ABCD， 2 PA ，则该球的体积为 _ _ 15在锐角三角形 ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对
7、边，且 3 2 sin 0 a c A 若 2 c ，则 a b 的最大值为 _ . 16 已 知 函 数 ( ) 4 1, ( ) 4 xx f x g x ，若偶函数 () hx 满足 ( ) ( ) ( ) h x mf x ng x (其中 m，n 为常 数)，且最小值为 1，则 mn _. 三、解答题：本大题共6小题，共70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本题满分12 分） 已知数列 n a 前 n 项和为 n S ，首项为 1 a ，且 1 , 2 nn aS 成等差数列 （）求数列 n a 的通项公式； （）数列 n b 满足 2 2 1 2 2 3 (log
8、) (log ) n n n b a a ，求证： 1 2 3 1 1 1 1 1 2 n b b b b 18（本题满分 12 分） 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化某机构随机调查了 n 个人，其中男性占调 查人数的 2 5 ，已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有 1 3 的人的休闲方式是运动 （）完成下列22 列联表： 运动 非运动 总计 男性 女性 总计 n （）若在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，可认为“性别与休闲方式有关”，那么本次被调查 的人数至少有多少？ （）根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？ 参考公式：K 2 ，
9、其中 nabcd. 参考数据： P(K 2 k 0 ) 0.050 0.010 0.001 k 03.841 6.635 10.828 19（本小题满分12 分） 斜三棱柱 ABC C B A 1 1 1 中，侧面 C C AA 1 1 底面 ABC，侧面 C C AA 1 1 是菱形， 1 60 A AC ， 3 AC ， 2 BC AB ，E、F 分别是 11 AC ，AB的中点 （1）求证：EF平面 11 BB C C ； （2）求证：CE面 ABC （3）求四棱锥 1 1 B BCC E 的体积 20（本题满分12 分） 如图，设抛物线 C ： 2 2 ( 0) y px p 的焦点为
10、 F ，过点 F 的直线 1 l 交抛物线 C 于 , AB 两点，且 | | 8 AB ，线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 3 . （）求抛物线 C 的方程； （）若直线 2 l 与圆 22 1 2 xy 切于点 P ，与抛物线 C 切于点 Q ,求 FPQ 的面积. 21（本题满分12 分） 已知函数 x x x f 3 ) ( 3 （1）讨论 ) (x f 的单调区间； （2）若函数 m x f x g ) ( ) ( 在 2 3 ，3上有三个零点，求实数 m 的取值范围； C 1 B 1 A 1 F E C B A（3）设函数 n n ex e x h x 2 4 ) ( 2 （e
11、 为自然对数的底数），如果对任意的 2 , 2 1 , 2 1 x x ，都有 ) ( ) ( 2 1 x h x f 恒成立，求实数n的取值范围 请考生在第(2 2), (23), (24）三题中任 选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22(本小题满分 10分)选修4-1几何证明选讲 如图，圆 O 的直径AB、BE为圆 O 的切线，点C 为圆 O 上不同于 A、B 的 一点，AD为 BAC 的平分线，且分别与BC 交于 H，与圆 O 交于 D， 与BE 交于 E，连结 BD、CD. （）求证： DBE DBC ； （）若 2 HE
12、a ， 求 ED 23(本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos 以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是： 2 2 2 2 x m t yt （ t 是参数）. （）求曲线 C的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （）若直线 l 与曲线 C相交于 A 、B 两点，且 14 AB ，求实数 m 值 24(本小题满分 10 分)选修45:不等式选讲 已知函数 () fx 和 () gx 的图象关于原点对称，且 2 ( ) 2 f x x x . （）解关于 x 的不等式 ( ) ( ) |
13、 1| g x f x x ； （）如果对任意的 xR ，不等式 ( ) ( ) | 1| g x c f x x 恒成立，求实数 c 的取值范围 1-12 DDCAB ADBBD BD 3 C a=10, i =1,a 4,a a= 2 10 =5, i =2; a 4,a a=3 5+1 16 i 3 a 4,a a= 2 16 8 i 4 a 4,a a= 2 8 4 i 5 a=4 i 5 4、 A 3 3 3 1 ( ) cos( ) cos cos sin 2 2 6 2 2 2 y sin x x x x x 1 = 3 cos sin 2 xx , 22 1 1 13 13 (
14、 3) ( ) 3 2 4 4 2 5 B 2 2 V 3 1 2 2 2 3 8 2 5 S 4 2 1 2 5 4 56、 A a c 2 2 2 2 a b a 4 a b 3 3 yx 2 p x A 2 3 , 2 , 2 3 , 2 p p B p p S AOB 2 1 p 3 2 , 3 2 p p 7 D 2 2 / 2 ) ( b ax x x f 0 2 2 2 b ax x 0 ) ( 4 2 2 b a b a b a, 9 3 3 b a 1,0 2,0 2,1 3,0 3,1 3,2 6 3 2 9 6 P 8 B AB ) 0 ( a a , AB AD CE
15、BC BE AD AB AC 2 1 , , AC AD AB BE 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 a a AD AB AD AB AB AD 1 4 1 2 1 - 2 a a 1( 0 a ) 2 1 a AB 2 1 9、 B 1 2 1 2 +3 ,+ n n n n n n a a a T a a a T 同理： 3 nn aa n a 3 1 7 3 9 2 98 2, 3, 4 a a a a a a 100 1 2 3 1 33 299 S a a a a 10、 D 2x y b 2x y b y (0,1) 1 2x y 1 11、 B f(x)
16、x 2 cosx f( 0.5) f(0.5) f(x) 2x sinx 00 f(0)f(0.5)f(0.6) f(0)f( 0.5)f(0.6) B. 12、 D ABFC B C AF x x 1 1 1 e e D. 13、 1 214 4 3 1,1 2 2 2 2, 1 RR 3 44 1 33 V 15 4 3 2 sin 0 a c A 3 sin 2sin sin 0 A C A sin 0 A 3 sin 2 C ABC 3 C 2 c 3 C 22 2 cos 4 3 a b ab 22 4 a b ab 22 ( ) 4 3 4 3 ( ) 2 ab a b ab 2
17、( ) 16 ab 4 ab 2 ab “=” ab 4 16 h( x) h(x) (m n) 4 x (n m) 4 x 0 m n h(x) m (4 x 1) m4 x m(4 x 4 x ) mm2 m 3m 4 x 4 x x 0 h(x) 1 3m 1 m m n . 17 (1) 1 2 nn aS ， ， 1 2 2 nn aS 1 1 n 11 1 2 2 aS 1 1 2 a 2 2 n 1 2 2 nn Sa 11 1 2 2 nn Sa 11 22 n n n n n a S S a a 1 2 n n a a 4 n a 1 2 2 12 1 22 nn n aa
18、. 6 2 2 1 2 2 3 2 2 1 2 3 22 2 2 2 2 log log log log (2 1)(2 1) nn nn aa n b n n 1 1 1 1 1 1 () 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n b n n n n 10 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + - + + ) 2 3 3 5 2 1 2 1 n b b b b n n （ ）（ ） （= 1 1 1 (1 ) 2 2 1 2 n . 12 18 (1) 2 2 -4 (2) K 2 0.05 “ ” K 2 3.841 3.841 n138.276. n N * N *
19、n140 140. -10 (3)由(2)可知：14056，即本次被调查的人中，至少有 56 人的休闲方式是运动 - -12分 19（1）见解析（2）见解析（3） 3 21 8试题解析：（1）证明：取 BC 中点 M，连结 FM， 1 CM 在ABC 中， F，M 分别为 BA，BC的中点， FM 1 2 ACE为 11 AC 的中点，AC 11 AC FM 1 EC 四边形 1 EFMC 为平行四边形 1 EF C M 1 CM 平面 11 BB C C ， EF 平面 11 BB C C ， EF平面 11 BB C C 4 分； （2）证明： 连接 C A 1 ，四边形 C C AA 1
20、 1 是菱形， 1 60 A AC C C A 1 1 为等边三角形E是 11 AC 的中点 CE 1 1 C A四边形 C C AA 1 1 是菱形 , 1 1 C A AC CE AC 侧面 11 AA C C 底面 ABC, 且交线为 AC， CE 面 11 AA C C CE面 ABC 8 分； （3）连接 C B 1 ，四边形 1 1 B BCC 是平行四边形，所以四棱锥 1 1 B BCC E V1 1 2 B EC C V 由第（2）小问的证明过程可知 EC 面ABC 斜三棱柱 ABC C B A 1 1 1 中， 面ABC 面 1 1 1 C B A EC 面 1 1 C EB
21、在直角 1 CEC 中 3 1 CC ， 2 3 1 EC ， 2 3 3 EC 8 7 3 ) 2 3 ( 2 2 3 2 1 2 2 1 1 EC B S 四棱锥 1 1 B BCC E V1 1 2 B EC C V = 2 8 21 3 2 3 3 8 7 3 3 1 12分； 考点：1线面平行的判定 2线面垂直的判定 3面面垂直的性质 4体积公式 20 （） 2 4 yx ；（） 3 2 PQF S 试题解析：（）设 11 ( , ) A x y ， 22 ( , ) B x y ，则 AB 中点坐标为 1 2 1 2 ( , ) 22 x x y y ， 由题意知 12 3 2 x
22、x ， 12 6 xx ， 2 分 又 12 8 AB x x p ， 2 p ， 4 分 n 故抛物线 C 的方程为 2 4 yx ； 5 分 （）设 2 : l y kx m ，由 2 l 与 O 相切得 22 2 2 21 2 1 m mk k 6 分 由 2 4 y kx m yx 2 2 2 (2 4) 0 k x km x m （ ） 直线 2 l 与抛物线相切， 2 2 2 (2 4) 4 0 km k m 1 km 7 分 由 ，得 1 km ， 方程（ ）为 2 2 1 0 xx ，解得 1 x ， (1, 1) Q ， -9 分 2 2 2 1 3 6 11 2 2 2 Q
23、Q PQ x y r ； 10分 此时直线 2 l 方程为 1 yx 或 1 yx ， 令 (1, 0) F 到的距离为 2 d ， -11 分 1 1 6 3 2 2 2 2 2 PQF S PQ d . 12分 考点：直线与圆锥曲线. 21（1） ) (x f 的单调递增区间为（-，-1）和（1，+），单调递减区间为（-1，1） （2） 2 , 8 9；（3） , 1 2 1 , 试题解析：（1） ) (x f 的定义域为 R， ) 1 )( 1 ( 3 3 3 ) ( 2 x x x x f （1分） 因为当 1 x 或 1 x 时， 0 ) ( x f ；当 1 1 x 时， 0 )
24、( x f ；（2 分） 所以 ) (x f 的单调递增区间为（-，-1）和（1，+），单调递减区间为（-1，1）（2分） （2）法1： 由（1）知， ) (x g 在（-，-1）和（1，+）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以 ) (x g 在 1 x 处取得极大值 m g 2 ) 1 ( ，在 1 x 处取得极小值 m g 2 ) 1 ( （5分） 因为 ) (x g 在 2 3 ，3上有三个零点，所以有： 0 ) 3 ( 0 ) 1 ( 0 ) 1 ( 0 ) 2 3 ( g g g g ，（4 分） 即 0 18 0 2 0 2 0 8 9 m m m m ，解得 2 8 9
25、m ，故实数 m 的取值范围为 2 , 8 9 （6分） 法 2：要函数 m x f x g ) ( ) ( 在 2 3 ，3上有三个零点，就是要方程 ( ) ( ) 0 g x f x m 在 2 3 ，3 上有三个实根，也就是只要函数 () y f x 和函数 ym 的图象在 2 3 ，3上有三个不同的交点 由（1）知， () fx 在（-，-1）和（1，+）上单调递增，在（-1，1）上单调递减； 所以 () fx 在 1 x 处取得极大值 ( 1) 2 f ，在 1 x 处取得极小值 (1) 2 f 又 39 () 28 f ， (3) 18 f （4 分） 故实数m的取值范围为 2 ,
26、 8 9 （6分） （3）对任意的 2 , 2 1 , 2 1 x x ，都有 ) ( ) ( 2 1 x h x f 恒成立， 等价于当 2 , 2 1 x 时， min max ) ( ) ( x h x f 成立 （7 分） 由（1）知， ) (x f 在 2 1 ，1上单调递减，在1，2上单调递增，且 8 11 ) 2 1 ( f ， 2 ) 2 ( f ，所以 ) (x f 在 2 1 ，2上的最大值 2 ) ( max x f （9 分） e e x h x ) ( ，令 0 ) ( x h ，得 1 x 因为当 1 x 时， 0 ) ( x h ；当 1 x 时， 0 ) ( x
27、 h ；所以 ) (x h 在 2 1 ，1上单调递减，在 2 , 1 上单调递 增；故 ) (x h 在 2 1 ，2上的最小值 2 min ( ) (1) 4 2 h x h n n （11分） 所以 2 2 4 2 n n ，解得 2 1 n 或 1 n ，故实数n的取值范围是 , 1 2 1 , （12 分） 22 10 4-1 () BE 0 BD 0 DAB DBE 2 AD BAC DAC DAB DAC DBC DBC DAB DBC DBE 5 () O AB BE 0 90 o ABE ACH DAC DAB AHC AEB , , , . 8 , 1 . 10 2 AHC
28、 BEH AHC BHE BHE BEH BH BE HBD EBD D HE DE HE a 又因为 （ 分） 又因为 为 的中点 （ 分） , 2 3. 1 C C . l .5 2 1 2 0 R=2 l 2 2 ) 2 14 ( 2 2 2 d . 10 24 (1) f(x) g(x) ,g(x)=-f(-x)=-(x 2 -2x), g(x)=-x 2 +2x,xR. 2x 2 -|x-1|0. 0 1 2 1 2 x x x 0 1 2 1 2 x x x 2 1 1 x , , 2 1 , 1 . . (5 ) (2) cf(x)-g(x)-|x-1|=2x 2 -|x-1| , c2x 2 -|x-1| , h(x)=2x 2 -|x-1|= 1 , 1 2 1 , 1 2 2 2 x x x x x x h(x) min = 8 9 ) 4 1 ( h . c 8 9 . c 8 9 , ( . .(10 )
