1、3.4 力矩的空间累积效应刚体的机械能守恒定律,3.4.1力矩的功,设,质点在合外力作用下所作的功,积分形式,微分形式,讨论： A. 内力矩所作功之和为零,C. 力矩作功的功率,B. 如果力矩方向与刚体转动方向一致，则力矩做正功，反之做负功。,3.4.2. 刚体的功能原理,1. 刚体的动能与动能定理,(1) 刚体的转动动能,刚体的转动动能,mi的动能:,=刚体上各质点动能之和,(2) 刚体的动能定理,绕固定转轴转动的刚体:,积分形式,微分形式,合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。定轴转动动能定理,2. 刚体的势能与势能定理,刚体的势能，等于将刚体质量全部集中于其质心所得到的质点的势能。,例：重
2、力势能,保守力对刚体所作的功，等于刚体势能增量的负值:,(1) 刚体的势能,(2) 刚体的势能定理,3.刚体的功能原理与机械能守恒定律,刚体的机械能 :,考虑到刚体内力不做功，无非保守内力（一般刚体与地球间），可得,刚体系机械能守恒条件：刚体系运动过程中只有保守力做功,例如： 系统- 刚体 + 地球,由质点系的功能原理,功能原理：外力矩对刚体所做的功，等于刚体系机械能的增量,思考：如果系统包括多个刚体、质点和场源，功能原理和机械能守恒条件是什么？,时， 守恒,由此得,讨论：本题也可先由 求出，再用 积分求,解： 棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有,
3、例3.4.1 均匀细直棒(m、长l)从竖直位置由静止开始绕轴o转动。求转到与水平面成角时的角速度和角加速度。,3.4.3. 刚体功能原理的应用,1. 刚体功能原理的简单应用,解: (1)棒的转动，机械能守恒：,(2)碰撞过程，角动量守恒：,例3.4.2 一匀质细棒(长为l、m)自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体m相碰，碰后物体m滑行距离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为，求刚碰后棒的角速度。,(3)物体的滑行，由功能原理：,解得,讨论：当l 6S时， 0, 表示碰后棒向右摆；当l 6S时， 0, 表示碰后棒向左摆。,解：(1).碰撞过程 杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产
4、生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：,解得,(2)杆在转动过程中显然机械能守恒,由此得,例3.4.3：长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂，如图。有一质量为m的子弹以水平速度射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3 求：(1)子弹射入后瞬间杆的角速度, (2)杆能转过的最大角度,解：,（1）系统（环和小球）运动过程中，只受到重力作用，该重力对AC轴不产生力矩，故对轴AC角动量守恒:,环的角速度为：,例3.4.4：空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动，转动惯量为Io ,半径为R，初始角速度为o 。质量为m的小球静止在环的最高处A点，由于某种扰动，小球沿
5、环向下滑动， 求：小球滑到与环心O在同一高度的B点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为多少。(设环的内壁和小球都是光滑的，环截面很小),由相对运动，对小球有,B表示小球在B点时相对于环的速度 (即相对于地面的竖直分速度)。,环、小球和地球为系统，系统只有重力做功，机械能守恒:,(2) 小球相对于环的速度为多少?,其中v是小球相对于地的速度。,2.刚体的平面平行运动问题,平面平行运动：是指刚体内所有质点都平行于某一平面的运动,结论：刚体做平面平行运动时，在惯性参考系中观察，其总动能应等于质心平动的动能与刚体绕质心转动动能之和,例3.4.5：质量、半径相同的a.圆柱、b.薄球壳、c. 球体从相同
6、斜面的相同高度由静止无相对滑动滚下。 求：质心所获得的速度,解：将地球、斜面、m看作为系统，因为是无滑滚动，静摩擦力f 不做功，只有重力W做功，故机械能守恒.,无滑动的条件,对a,对b,对c,质心获得的速度分别为,例3.4.5：在光滑的桌面上，有一质量为M、长2l的细杆，质量为 m、速度为v0的小球沿桌面垂直撞在杆上，设碰撞是完全弹性 求：碰撞后球和杆的运动状况，以及什么条件下细杆运行半圈后又与小球相撞？,解：设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为v1、v2，杆绕质心的角速度为，选择小球、杆为系统。,动量守恒,角动量守恒(以杆的质心为参考点),动能守恒,细杆绕质心转动的转动惯量,联立求解上述方程组
7、,欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰，须使,(即两者运动一样快)，条件为：M=2m,刚体力学小结,一、运动学,描写刚体转动的物理量,1. 角量：,线量：,微积分关系,2. 角量与线量的关系,3. 方向： 右手螺旋法,4. 匀角加速转动公式,二、动力学,1. 基本概念：,力矩：,转动惯量：,转动动能：,转动角动量：,定轴转动：,（定点、定轴）,（定点）,2. 基本定理：,转动定律：,（定轴转动中力矩的瞬时作用规律）,转动动能定理：,角动量定理：,力矩的持续作用规律,功能原理：,守恒定律：,时， 守恒,时， 守恒,3. 解题思路：,平动部分： 分析外力,转动部分： 分析力矩,平动与转动的联系： 角量和线量的关系,（隔离分析方法）,作业 习题册：习题十 角动量守恒（一） 习题十一 角动量守恒（二）习题十二 角动量守恒（三） 周三交作业,
