1、专题30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。江苏高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是 1 道小题和 1 道大题，平均分值 19 分，实际情况与理论权重基本吻合；涉及知识点广虽然解析几何的题量不多，分值仅占总分的 13%，但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他内容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，范围问题都是考查学生综合能力的载体俗话说：他山之石可以攻玉在研究这几年外省新课程卷解析几何试题时，就很有启发性比如 2010 年安徽卷理科 19 题，该题入题口宽，既可用传统的
2、联立直线与曲线，从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解再比如 2011 年上海卷理科 23 题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组） ，通过解不等式组得出参数的变化范围；（3
3、）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；【激活思维】1已知双曲线 (a0,b0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲12yx线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 2,)2 P 是双曲线 的右支上一点， M、 N 分别是圆( x5) 2 y24 和( x5) 2 y2196上的点，则 |PM| |PN|的最大值为 7 3抛物线 y=-x2上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是 34已
4、知抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物 线相交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 32 . 5已知点 M(-2，0)， N(2,0)，动点 P 满足条件 .记动点 的轨迹为 W.|PNP（）求 W 的方程；（）若 A， B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点，求 的最小值.AOB解：（）依题意，点 P 的轨迹是以 M， N 为焦点的双曲线的右支，所求方程为： （ x0）2y1 （）当直线 AB 的斜率不存在时，设直线 AB 的方程为 x x0，此时 A（ x0， ） ， B（ x0， ） ， 2 2 20 AB当直线 AB 的斜率存在时，设
5、直线 AB 的方程为 y kx b，代入双曲线方程 中，得：(1 k2)x22 kbx b2202xy1 依题意可知方程 1有两个不相等的正数根，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则解得| k|1，22124()()00kbbxk又 x1x2 y1y2 x1x2（ kx1 b） （ kx2 b）OAB（1 k2） x1x2 kb（ x1 x2） b2 2k41 综上可知 的最小值为 2【典型示例】求抛物线 上的点到直线 距离的最小值?2yx4380xy分析一：设抛物线上任一点坐标为 P( ,- )，2由点到直线的距离公式得 P 到直线的距离 d( )= = ，0x5|834|205320
6、)(0x4当 = 时，d( )取得最大值 ,0x320x34分析二：设抛物线上点 P( ,- )到直线 4x+3y-8=0 距离最小，02则过 P 且与抛物线相切的直线与 4x+3y-8=0 平行，故 y ( )=-2 =- , = ,P( ,- ),0x0340x394此时 d= = ，.5|892| ）（分析三：设直线方程为 4x+3y+C=0则当 l 与抛物线相切时 l 与 4x+3y-8=0 间的距离为所求最小，由 得 4x-3x +C=0，=16+12C=0, c=- ,此时0342Cyx2 34d= 45|8|）（【分类解析】例 1:已知椭圆 ，A（4，0） ，B（2，2）是椭圆内
7、的两点，P 是椭圆上任一点，求：2159xy（1）求 的最小值；（2）求 的最小值和最大值|4PB|A分析：（1）A 为椭圆的右焦点。作 PQ右准线于点 Q，则由椭圆的第二定义 ，|45eQ ，5|4PBP显然点 P 应是过 B 向右准线作垂线与椭圆的交点，最 小值为 。17（2）由椭圆的第一定义，设 C 为椭圆的左焦点，则 ，|Aa|2|10(|)APaPCBPC根据三角形中两边之差小于第三边，当 P 运动到与 B、C 成一条直线时，便可取得最大和最小值。当 P 到 P“位置时， ， 有最大值，最大值为|B|A；当 P 到 位置时， ， 有最小值，最10|210C |PAB小值为 .|（数形
8、结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式:点 A（3，2）为定点，点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点P 在抛物线 y2=4x 上移动，若 |PA|+|PF|取得最小值，求点 P 的坐标。解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1，设 P 到准线的距离为 d，则 |PA|+|PF|=|PA|+d。要使 |PA|+|PF|取得最小值，由图 3 可知过 A 点的直线与准线垂直时， |PA|+|PF|取得最小值，把 y=2代入 y2=4x，得 P（1，2） 。例 2: 已知椭圆的中心在 O,右焦点为 F，右准线为 L，若在 L 上存在点 M，使线段 OM 的垂直平分线经过点 F，求椭圆的离心
9、率 e 的取值范围?解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段 OM 的垂直平分线经过点 F，则 利用平面几何折线段大于或等于直线段（中心到准线之间的,cOM A P F O d X=1 x y 距离） ，则有 2 ，ca2e椭圆的离心率 e 的取值范围椭圆的离心率 e 的取值范围为 1,2变式 1: 已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P 在双曲线的右支21,(0,)xyabb上，且| PF1|=4|PF2|,求此双曲线的离心率 e 的最大值?解：双曲线的离心率 e 的最大值为 53变式 2: 已知椭圆方程为 ， （ ）的左、右焦点分别为 F1
10、、 F2，点 P 在为椭12byaxba0圆上的任意一点，且| PF1|=4|PF2|,求此椭圆的离心率 e 的最小值?解：椭圆的离心率 e 的最小值为 53例 3: 已知 P 点在圆 x2+(y-2)2=1 上移动， Q 点在椭圆 上移动,试求 |PQ|的最大值。219xy解：故先让 Q 点在椭圆上固定，显然当 PQ 通过圆心 O1时| PQ|最大，因此要求| PQ|的最大值，只要求| O1Q|的最大值.设 Q(x， y)，则| O1Q|2= x2+(y-4)2 因 Q 在椭圆上,则 x2=9(1-y2) 将代入得| O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 87因为 Q 在椭圆上移动，所
11、以 -1y1，故当 时， 1max3此时 max3P【点晴】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。变式 1: 设 P 是椭圆 + = 1 ( a 1 ) 短轴的一个端点, Q 为椭圆上的一个动点,2xay求| PQ | 的最大值.解法 1: 依题意可设 P (0, 1 ), Q (x , y ), 则| PQ | = .22(1)xy又因为 Q 在椭圆上, 所以 = (1 ) . 2a2= (1 ) + 2 y + 12| y= (1 ) 2 y + 1 +
12、a2a= (1 ) + 1 + .()22a因为 | y | 1, a 1,若 a , 则 1, 当 y = 时, | PQ | 取最大值 ;22121a21a若 1 1. 以下的讨论与解法 1 相同.sin变式 2:已知 OFQ 的面积为 ，6OFQm（1）设 ，求 OFQ 正切值的取值范围；64m（2）设以 O 为中心， F 为焦点的双曲线经过点 Q（如图） ， 当 26|,(1)4OFcmc取得最小值时，求此双曲线的方程。|Q解析：（1）设 OFQ =|cos()|in262F46tanm64mt1（2）设所求的双曲线方程为 111(0,),(),(,)xyabQxyFxcy则 ，1|2
13、62OFQS46又 ，m 2116(,0),)()(14cxyxcc2211693,| .48xcxy当且仅当 c=4 时， 最小，此时 Q 的坐标是 或|O(6,)(,6)，所求方程为 226141aabb 21.4xy【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；（2）范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例 2 中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程，认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。（3）.函数法是我们探求解析几何最值问题
14、的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。（4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。【课后训练】1已知 P 是椭圆 在第一象限内的点，A（2，0） ，B（0，1） ，O 为原点，求四边形214xyOAPB 的面积的最大值 2给定点 A(-2,2)，已知 B 是椭圆 上的动点， F 是右焦点，当 取得2156xy53ABF最小值时，则 B 点的坐标为 。 3(,)3抛物线 y2=2x 上到直线 x-y+3=0 距离最短的点的坐标为_ ，1）2(4如图，已知 A、 B 是椭圆 的两个顶点，2169xyC、 D 是椭圆上两
15、点，且分别在 AB 两侧，则四边形 ABCD面积的最大值是_ 15如图所示，设点 ， 是 的两个焦点，过 的直线与椭圆相交于 两点，F2213xy2FA、 B求 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。1FAB解： ，设 ， ，则12112FBASS1(,)xy2(,)B1|FAByc设直线 的方程为 代入椭圆方程得xk2(3)40kyk121244,33kyyk即 12222()| 1kk令 ， ， （ ）利用均值不等式不能区取“”2t143FABtSt利用 （ ）的单调性易得在 时取最小值()ftt 1t在 即 时取最大值为 ，此时直线 的方程为1FABSt0k43AB1x6 P、Q、M、N
16、 四点都在椭圆 上，F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。已知 与xy21 PF共线， 与 共线，且 。求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值。FFPM0分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1） ，且 PQMN，直线PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k，又 PQ 过点 F（0，1） ，故 PQ 方程为。代入椭圆方程得ykx1212kx设 P、Q 两点的坐标分别为 ，则：y12， ， ，xkxk1222，从而 PQykPQk212122281，当 时，MN 的斜率为 ，同上可推得k0kMNk2122故四边形面积SPQMNkk124124215222令 ，得uk2uu4515因为 ，此时 ，且 S 是以 u 为自变量的增函数，所21k269， ，以 。169S当 时，MN 为椭圆长轴，k0MNPQ22，PQ22综合知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为 。169
