1、常微分方程第一次作业解析1指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1） （2） （3）解：（1）1 阶，是； （2）4 阶，是； （3）3 阶，不是。2用分离变量法求解下列方：（1） （2） （3） （4） 解：（1）通积分为：（2）当 时分离变量，两端取积分得即 通积分为 另外， 是常数解，注：在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）方法一：当 时，方程变为,积分得在通解中代入初值 ，有 . 所求特解为： 。 方法二：所求特解为,即 ，所求特解为： 。（4) 当 时, 方程可变为通积分为或 ,上式代入初值条件 ，得 。 于是初值问题解为： 。3解下列齐次线性微
2、分方程（1） （2）（3） （4）解：（1）显然 是方程的解。当 时，原方程可化为 。令 ， 则原方程可化为 ，即易于看出， ， 是上面方程的解，从而 ， 是原方程的解。当 时，分离变量得，.两端积分得： (C )。将 换成 ，便得到原方程的解 ，( C )。故原方程的通解为 （ 为任意常数）及 。（2） 显然 是方程的解。当 时，原方程可化为： 。令 ，则原方程可化为 ，即 易于看出， 是上式的解，从而 是原方程的解. 当 时，分离变量得 . 两端积分得 (C ). 将 换成 ，便得到原方程的解 (C ). 故原方程的通解为 . （3）显然 是方程的解. 当 时，原方程可化为令 ，则原方程可
3、化为 ，即分离变量得， .两端积分得 .将 换成 ，便得到原方程的解 (C ). （4）将方程变形为: . 因为 ，方程组 有解 ，令 . 代入原方程，得到新方程令 ，代入上式，又得到新方程 或当 时，有积分得原方程通积分为另外，由 解得 也是原方程解。4解下列一阶线性微分方程：（1） （2）解：（1）先解齐次方程 。其通解为 . 用常数变易法，令非齐次方程通解为 . 代入原方程，化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . （2）先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法，令非齐次方程通解为 . 代入原方程，化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5解下列伯努
4、利方程（1） （2）解：（1）显然 是方程解. 当 时，两端同除 ，得.令 ，代入有 ，它的解为 。于是原方程的解为 ，及 。（4）显然 是方程解。 当 时，两端同除 ，得. 令 ，代入有 它的解为 于是原方程的解 及 。6设函数 ， 在 上连续，且 ， （ a, b为常数）求证：方程 的一切解在 上有界证：设 y = y(x) 是方程任一解，且满足 y(x0)=y0，则由于 ，所以对任意 0,存在 x0，使得 x 时有令 ，则于是得到又在 x0， x1上 y(x)有界设为 M2，现取则 。7解下列全微分方程：（1） （2）解：（1） 因为 ，所以这方程是全微分方程，且及 在整个 平面都连续可
5、微。不妨选取 ，故方程的通积分为 , 即 . （2）因为 ，所以这方程是全微分方程，且 及在整个 平面都连续可微。不妨选取 ，故方程的通积分为 , 即 . 8求下列方程的积分因子和积分：（1） （2）解：因为 ，与 y无关，故原方程存在只含 x的积分因子. 由公式（1.58）得积分因子 即于是方程 为全微分方程。取 .于是方程的通积分为 . 即 . （2）因为 ，与 y无关，故原方程存在只含 x的积分因子。由公式（1.58）得积分因子 即于是方程 为全微分方程. 取 ， . 于是方程的通积分为 . 即 . 9求解下列一阶隐式微分方程（1） （2）解：（1）将方程改写为即 ，或解方程 ，得通积分
6、为,又 是常数解 .（2） 显然是方程的解 . 当 时，方程可变为令 , 则上面的式子可变为.解出 u得， . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为. 10求解下列方程（1） （2） （3） （4） 解：（1）令 ，则 . 代入原式得.解出 得.这是克莱洛方程，通解为.即.解之得（ 为任意常数）.（2）令 ，则 , 原方程化为再令 ，则 即 从而即 积分得通积分： . （3）化简得即 求积分得： ，或 .（4）方程两边同乘以非零的数 , 化简得.即 积分得再积分得11求曲线族 的正交轨线，其中 为参数解：由 解该曲线所满足的微分方程是： 。于是正交轨线满足的方程是： 即 积分得 为所求正交轨
7、线： 。12人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比（1）如果过 4小时的细菌数即为原细菌数的 2倍，那么经过 12小时应有多少？（2）如果在 3小时的时候，有细菌数 个，在 5小时的时候有 个，那么在开始时有多少细菌？解：设 时刻细菌数为 ，再设初值时刻 时，细菌数为 ，则细菌繁殖满足下列初值问题其中 为正常数，初值问题为（1）由题意有即 12小时后，细菌数为原来的 8倍。（2）由题意有解得 。13重为 100kg的物体，在与水平面成 30的斜面上由静止状态下滑，如果不计磨擦，试求：（1）物体运动的微分方程；（2）求 5 s后物体下滑的距离，以及此时的速度和加速度解：取初始下滑点为原点， 轴正向垂直向下，设 时刻速度为 ，距离为 ，由题意 满足初值问题 解得 再由 , ，解得 。于是得到 5秒后， ， ， 。
