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常微分方程第一次作业解析.doc

1、常微分方程第一次作业解析1指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(1) (2) (3)解:(1)1 阶,是; (2)4 阶,是; (3)3 阶,不是。2用分离变量法求解下列方:(1) (2) (3) (4) 解:(1)通积分为:(2)当 时分离变量,两端取积分得即 通积分为 另外, 是常数解,注:在方程求解时,求出显式通解或隐式通解(通积分)即可,常数解可以不求。(3)方法一:当 时,方程变为,积分得在通解中代入初值 ,有 . 所求特解为: 。 方法二:所求特解为,即 ,所求特解为: 。(4) 当 时, 方程可变为通积分为或 ,上式代入初值条件 ,得 。 于是初值问题解为: 。3解下列齐次线性微

2、分方程(1) (2)(3) (4)解:(1)显然 是方程的解。当 时,原方程可化为 。令 , 则原方程可化为 ,即易于看出, , 是上面方程的解,从而 , 是原方程的解。当 时,分离变量得,.两端积分得: (C )。将 换成 ,便得到原方程的解 ,( C )。故原方程的通解为 ( 为任意常数)及 。(2) 显然 是方程的解。当 时,原方程可化为: 。令 ,则原方程可化为 ,即 易于看出, 是上式的解,从而 是原方程的解. 当 时,分离变量得 . 两端积分得 (C ). 将 换成 ,便得到原方程的解 (C ). 故原方程的通解为 . (3)显然 是方程的解. 当 时,原方程可化为令 ,则原方程可

3、化为 ,即分离变量得, .两端积分得 .将 换成 ,便得到原方程的解 (C ). (4)将方程变形为: . 因为 ,方程组 有解 ,令 . 代入原方程,得到新方程令 ,代入上式,又得到新方程 或当 时,有积分得原方程通积分为另外,由 解得 也是原方程解。4解下列一阶线性微分方程:(1) (2)解:(1)先解齐次方程 。其通解为 . 用常数变易法,令非齐次方程通解为 . 代入原方程,化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . (2)先解齐次方程 . 其通解为 . 用常数变易法,令非齐次方程通解为 . 代入原方程,化简后可得 . 积分得到 . 代回后即得原方程通解为 . 5解下列伯努

4、利方程(1) (2)解:(1)显然 是方程解. 当 时,两端同除 ,得.令 ,代入有 ,它的解为 。于是原方程的解为 ,及 。(4)显然 是方程解。 当 时,两端同除 ,得. 令 ,代入有 它的解为 于是原方程的解 及 。6设函数 , 在 上连续,且 , ( a, b为常数)求证:方程 的一切解在 上有界证:设 y = y(x) 是方程任一解,且满足 y(x0)=y0,则由于 ,所以对任意 0,存在 x0,使得 x 时有令 ,则于是得到又在 x0, x1上 y(x)有界设为 M2,现取则 。7解下列全微分方程:(1) (2)解:(1) 因为 ,所以这方程是全微分方程,且及 在整个 平面都连续可

5、微。不妨选取 ,故方程的通积分为 , 即 . (2)因为 ,所以这方程是全微分方程,且 及在整个 平面都连续可微。不妨选取 ,故方程的通积分为 , 即 . 8求下列方程的积分因子和积分:(1) (2)解:因为 ,与 y无关,故原方程存在只含 x的积分因子. 由公式(1.58)得积分因子 即于是方程 为全微分方程。取 .于是方程的通积分为 . 即 . (2)因为 ,与 y无关,故原方程存在只含 x的积分因子。由公式(1.58)得积分因子 即于是方程 为全微分方程. 取 , . 于是方程的通积分为 . 即 . 9求解下列一阶隐式微分方程(1) (2)解:(1)将方程改写为即 ,或解方程 ,得通积分

6、为,又 是常数解 .(2) 显然是方程的解 . 当 时,方程可变为令 , 则上面的式子可变为.解出 u得, . 即 . 对上式两端积分得到方程的通解为. 10求解下列方程(1) (2) (3) (4) 解:(1)令 ,则 . 代入原式得.解出 得.这是克莱洛方程,通解为.即.解之得( 为任意常数).(2)令 ,则 , 原方程化为再令 ,则 即 从而即 积分得通积分: . (3)化简得即 求积分得: ,或 .(4)方程两边同乘以非零的数 , 化简得.即 积分得再积分得11求曲线族 的正交轨线,其中 为参数解:由 解该曲线所满足的微分方程是: 。于是正交轨线满足的方程是: 即 积分得 为所求正交轨

7、线: 。12人工繁殖细菌,其增长速度和当时的细菌数成正比(1)如果过 4小时的细菌数即为原细菌数的 2倍,那么经过 12小时应有多少?(2)如果在 3小时的时候,有细菌数 个,在 5小时的时候有 个,那么在开始时有多少细菌?解:设 时刻细菌数为 ,再设初值时刻 时,细菌数为 ,则细菌繁殖满足下列初值问题其中 为正常数,初值问题为(1)由题意有即 12小时后,细菌数为原来的 8倍。(2)由题意有解得 。13重为 100kg的物体,在与水平面成 30的斜面上由静止状态下滑,如果不计磨擦,试求:(1)物体运动的微分方程;(2)求 5 s后物体下滑的距离,以及此时的速度和加速度解:取初始下滑点为原点, 轴正向垂直向下,设 时刻速度为 ,距离为 ,由题意 满足初值问题 解得 再由 , ,解得 。于是得到 5秒后, , , 。

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