1、第 1 页（共 11 页）2016 年 02 月 12 日高中数学组卷一选择题（共 4 小题）1 （2015天津校级一模）在 ABC 中，E ，F 分别为 AB，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x，y 满足 ，设ABC， PBC， PCA，PAB 的面积分别为S，S 1，S 2，S 3，记 ，则 23 取到最大值时，2x+y 的值为（ ）A1 B1 C D2 （2015哈尔滨校级三模）已知 O 为正三角形 ABC 内一点，且满足，若OAB 的面积与OAC 的面积比值为 3，则 的值为（ ）A B1 C2 D33 （2014安庆三模）如图所示，设 P 为ABC 所在平面内的一点，并
2、且 = + ，则ABP 与 ABC 的面积之比等于（ ）A B C D4 （2013重庆）在平面上， ，| |=| |=1， = + 若| | ，则| |的取值范围是（ ）A （0， B （ ， C （ ， D （ ， 二填空题（共 6 小题）5 （2011天津）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1 ，P 是腰DC 上的动点，则 的最小值为 第 2 页（共 11 页）6 （2012湖南）如图，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP=3，则= 7 （2014余杭区校级模拟）如图，ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 在以 AB 为直径的
3、圆弧 APB 上，则 的取值范围是 8 （2014韶关模拟）已知 AD 是 ABC 的中线，若 A=120， ，则 的最小值是 9 （2010武昌区模拟） ABC 的面积为 1， ，P 为 ABC 内一点，且，则BCP 的面积为 10 （2014江苏）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB=8，AD=5， =3 ， =2，则 的值是 第 3 页（共 11 页）2016 年 02 月 12 日 MISAYA 的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共 4 小题）1 （2015天津校级一模）在 ABC 中，E ，F 分别为 AB，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x，y 满足 ，
4、设ABC， PBC， PCA，PAB 的面积分别为S，S 1，S 2，S 3，记 ，则 23 取到最大值时，2x+y 的值为（ ）A1 B1 C D【考点】平面向量的基本定理及其意义；三角形的面积公式菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题；不等式的解法及应用；平面向量及应用【分析】根据三角形中位线的性质，可得 P 到 BC 的距离等于 ABC 的 BC 边上高的一半，从而得到 S1= S=S2+S3由此结合基本不等式求最值，得到当 23 取最大值时点 P 在 EF的中点再由向量的加法的四边形法则，算出 ，结合已知条件的等式，可求出 x、y 的值，从而算出 2x+y 的值【解答】解：由题意，可得E
5、F 是ABC 的中位线，P 到 BC 的距离等于ABC 的 BC 边上高的一半，可得 S1= S=S2+S3由此可得 23= =当且仅当 S2=S3 时，即 P 为 EF 的中点时，等号成立 + =由向量的加法的四边形法则可得， ，两式相加，得由已知得根据平面向量基本定理，得 x=y= ，从而得到 2x+y=综上所述，可得当 23 取到最大值时，2x+y 的值为故选：D第 4 页（共 11 页）【点评】本题给出三角形中的向量等式，在已知面积比 2、 3 的积达到最大值的情况下求参数 x、y 的值，着重考查了运用基本不等式求最值、平面向量的加法法则和平面向量基本定理等知识，属于中档题2 （201
6、5哈尔滨校级三模）已知 O 为正三角形 ABC 内一点，且满足，若OAB 的面积与OAC 的面积比值为 3，则 的值为（ ）A B1 C2 D3【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】如图 D，E 分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到 ；由于正三角形 ABC，结合题目中的面积关系得到= ， 由 可得 O 分 DE 所成的比，从而得出 的值【解答】解： ，变为 如图，D，E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知故 在正三角形 ABC 中， = = ，且三角形 AOC 与三角形 ADC 同底边 AC，故 O
7、点到底边 AC 的距离等于 D 到底边 AC 的距离的三分之一，故 = ， = 由得 = 故选 A第 5 页（共 11 页）【点评】本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题3 （2014安庆三模）如图所示，设 P 为ABC 所在平面内的一点，并且 = + ，则ABP 与 ABC 的面积之比等于（ ）A B C D【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，及三角形面积的性质，由ABP 与ABC 为同底不等高的三角形，故高之比即为两个三角面积之间，连
8、接 CP 并延长后，我们易得到 CP 与 CD 长度的关系，进行得到 ABP 的面积与ABC 面积之比【解答】解：连接 CP 并延长交 AB 于 D，P、 C、D 三点共线， = + ，且 +=1设 =k ，结合 = + ，得 = +由平面向量基本定理解之，得 = ，k=3 且 = ， = + ，可得 = ，ABP 的面积与ABC 有相同的底边 AB高的比等于| |与| |之比ABP 的面积与ABC 面积之比为 ，故选：C第 6 页（共 11 页）【点评】三角形面积性质：同（等）底同（等）高的三角形面积相等；同（等）底三角形面积这比等于高之比；同（等）高三角形面积之比等于底之比4 （2013重
9、庆）在平面上， ，| |=| |=1， = + 若| | ，则| |的取值范围是（ ）A （0， B （ ， C （ ， D （ ， 【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义菁优网版权所有【专题】压轴题；平面向量及应用【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论【解答】解：根据条件知 A， B1，P，B 2 构成一个矩形 AB1PB2，以 AB1，AB 2 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB 1|=a，|AB 2|=b，点 O 的坐标为（x，y） ，则点 P 的坐标为（a，b） ，由 =1，得 ，则| | ，（ xa） 2+y2=1，
10、y 2=1（xa） 21，y21同理 x21x2+y22由知 ，| |= ， | |故选 D第 7 页（共 11 页）【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题二填空题（共 6 小题）5 （2011天津）已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ADC=90，AD=2，BC=1 ，P 是腰DC 上的动点，则 的最小值为 5 【考点】向量的模菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B（1，a） ，C （0，a） ，D（0，0） ，设 P（0，b） （0
11、ba） ，求出，根据向量模的计算公式，即可求得 ，利用完全平方式非负，即可求得其最小值【解答】解：如图，以直线 DA，DC 分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A（2，0） ，B（1，a） ，C （0，a） ，D（0，0）设 P（0，b） （0b a）则 =（2， b） ， =（1，a b） ， =（5，3a 4b） = 5故答案为 5【点评】此题是个基础题考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力6 （2012湖南）如图，在平行四边形 ABCD 中，APBD，垂足为 P，且 AP=3，则= 18 第 8 页（共 11 页）【考点】平面向量数量积
12、的运算菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】设 AC 与 BD 交于 O，则 AC=2AO，在 RtAPO 中，由三角函数可得 AO 与 AP 的关系，代入向量的数量积 =| | |cosPAO 可求【解答】解：设 AC 与 BD 交于点 O，则 AC=2AOAPBD，AP=3，在 RtAPO 中，AOcos OAP=AP=3| |cosOAP=2| |cosOAP=2| |=6，由向量的数量积的定义可知， =| | |cosPAO=36=18故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：ACcosOAP=2AOcosOAP=2AP7 （2014
13、余杭区校级模拟）如图，ABCD 是边长为 4 的正方形，动点 P 在以 AB 为直径的圆弧 APB 上，则 的取值范围是 0 ，16 【考点】平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】计算题；综合题；压轴题【分析】以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系，可得 C（2，4） ，D（2， 4） ，P（2cos，2sin ） ，得到 、 坐标，用向量数量积的坐标公式化简，得=1616sin，再结合 0， ，不难得到 的取值范围【解答】解：以 AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立如图坐标系则圆弧 APB 方程为 x2+y2=4， （y 0） ，C（2，4） ，D
14、 （ 2，4）第 9 页（共 11 页）因此设 P（2cos，2sin） ， 0， =（2 2cos，42sin） ， =（2 2cos，42sin ） ，由此可得 =（2 2cos） （ 22cos）+（42sin ） （42sin）=4cos24+1616sin+4sin2=1616sin化简得 =1616sin0，sin0，1当 =0 或 时， 取最大值为 16；当 = 时， 取最小值为 0由此可得 的取值范围是0，16故答案为：0，16【点评】本题给出正方形内半圆上一个动点，求向量数量积的取值范围，着重考查了平面向量数量积的运算性质和圆的参数方程等知识，属于中档题8 （2014韶关模拟
15、）已知 AD 是 ABC 的中线，若 A=120， ，则 的最小值是 1 【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；平面向量及应用【分析】利用向量的数量积公式，及三角形中线向量的表示，利用基本不等式，即可求的最小值【解答】解： =| | |cosA， A=120，（7 分）| | |=4（8 分） = （ + ） ，| |2= （| |2+| |2+2 ）= （| |2+| |24） （2| | |4）=1 （10 分） min=1（12 分）第 10 页（共 11 页）故答案为：1【点评】本题考查向量的数量积，基本不等式，考查学生的计算能力，属于中档题9 （2010武昌区模拟）
16、 ABC 的面积为 1， ，P 为 ABC 内一点，且，则BCP 的面积为 【考点】向量在几何中的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】在ABC 中，作出向量 ，由向量的几何意义，三角形的面积公式，且ABC 的面积为 1，可以求出 BCP 的面积【解答】解：如图，在ABC 中，作出 ，平移 ，其中 ，ABC 的面积为：S= = sinA=1，而ADE ， CEP，平行四边形 BDEP 的面积和为：=| | sinA+ + = = ，所以BCP 的面积为：1 = 本题也可以通过左移点 P： 个单位，下移 个单位，到点 A知BCP 边BC 上的高 h2 是ABC 边 BC 上的高 h1
17、的 ，即BCP 的面积是ABC 的 故答案为： 【点评】本题通过作图得出向量的关系，从而求出三角形的面积10 （2014江苏）如图，在平行四边形 ABCD 中，已知AB=8，AD=5， =3 ， =2，则 的值是 22 第 11 页（共 11 页）【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】由 =3 ，可得 = + ， = ，进而由 AB=8，AD=5， =3 ， =2，构造方程，进而可得答案【解答】解： =3 ， = + ， = ，又 AB=8，AD=5， =（ + ）（ ）=| |2 | |2=25 12=2，故 =22，故答案为：22【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到 = + ， = ，是解答的关键
