1、.龙文教育 数学 学科导学案（第 次课）教师: 学生: 年级: 日期: 2012. . 星期: 时段: 课 题 函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析学情分析 高中函数总复习，作为重点章节需要重点掌握教学目标与考点分析理解函数的综合性质函数性质与知识点的结合教学重点 函数性质的应用教学方法 导入法、讲授法、归纳总结法学习内容与过程函数单调性、奇偶性、对称性、周期性解析一、函数的单调性1单调函数与严格单调函数设 为定义在 上的函数，若对任何 ，当 时，总有 ，则称 为 上的增函数，()fxI12,xI12x)(21xff()fxI特别当且仅当严格不等式 成立时称 为 上的严格单调递增函数。(递减
2、时？)1()fffI2函数单调的充要条件若 为区间 上的单调递增函数， 、 为区间内两任意值，那么有：()fxI1x2或 （递减时？）1201212)()0ff（3函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法 ) (2)作商法 （3）导数4 复合函数的单调性的判定对于函数 和 ，如果函数 在区间 上具有单调性，当 时 ，且函数(yfu(gx()ugx(,)ab,xab,umn在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。)f,)mnyfx,1.函数 的单调增区间是_26(log1.0xy2.已知 在 是减函数，则 的取值范围是_)a,a.3.若函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值
3、范围是_)3(log)(2kxxfk 2,kk4.已知 是 上的减函数，那么 的取值范围是 （ ）31)4,laf (,)a（A） （B） （C） （D）(0,)0,)31,)731,)75.已知函数 的图象与函数 （ 且 ）的图象关于直线 对称，记)(xfyxay01axy若 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）12)(xg )(g2,aA B C D),2,)0()21,0(6.设函数 ，给出下述命题：)1lg()2axxf 有最小值；当 时， 的值域为 ；当 时， 在区间 上有反函数；(0)(xfR0a)(xf),2若 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是 ,则其中正确的命
4、题是_)xf),247. 函数 对任意的 ，都有 ，并且当 时， ，)(fRnm, 1)()(nfmfnf 0x1)(xf（1）证： 在 上是增函数； 若 ，解不等式 x432)52a二、函数的奇偶性1. 奇偶性的定义如果对于函数 的定义域内的任意一个 ，都有 ，则称函数 为偶函数；如果对于函数 的()fxx()fx()fx()fx定义域内的任意一个 ，都有 ，则称函数 为奇函数。()ff2.奇偶性的几何意义具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 轴对称。y3.函数奇偶性的判断(证明)(1)比较 与 的关系；(2) （ ）与 的关系；(3) 与 的关系
5、fx()f()fx)0f1()fx04.常用性质.1 是既奇又偶函数； 0)(xf2奇函数若在 处有定义，则必有 ； 0)(f3偶函数满足 ； )()xfxf4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于 y 轴对称；5 除外的所有函数奇偶性满足：0)(xf奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数6任何函数 可以写成一个奇函数 和一个偶函数 的和。)(xf 2)()(xfx 2)()(xfx1.已知函数 是定义在 R 上的偶函数. 当 时， ，则当 时， )(xf )0,(x4)(xf),0()(xf2.已知
6、定义域为 的函数 是奇函数12()xbfa（）求 的值；（ ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围；,abtR22()()0ftftkk3.已知函数 ，若 为奇函数，则 _。1().2xfafxa5. 已知 在（1，1）上有定义，且满足)(xf ),1()()1, xyfxfyx有证明： 在（1，1）上为奇函数；6.若奇函数 满足 ， ，则 _)(Rxf1)2(f )2()2(fxf)5(f.三、函数的对称性1.函数自对称（1）关于 轴对称的函数（偶函数）的充要条件是y )(xff（2）关于原点 对称的函数（奇函数）的充要条件是0, 0（3）如果函数 对于一切 xR,都有 ( ),)(
7、f )(aff)(2xfaf那么函数 y=f(x)的图像关于直线 对称 是偶函数axy（4）如果函数 对于一切 xR, 都有 f(a+x)=f(b-x)成立，那么函数 的图像关于直线 x= 对)(xfy )(xfy2ba称（5）如果函数 对于一切 xR, 都有 成立, 则函数 图像关于点 对)(f bxaff2)()()(f),(称2.两个函数的图象对称性（1） )(xfy与 )(xf关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)(xgf0y（2） )(f与 )(f关于 轴对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。x)(f x（3） )(fy与 )2(af关于直线 a
8、x对称。换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。gy)2()xgfa（4） 与 关于直线 对称。)(xf)(fy换种说法： 与 若满足 ，即它们关于 对称。xaxf)(y（5） 关于点 对称。)2()(afbyf与 ,b换种说法： 与 若满足 ，即它们关于点 对称。gbxgf2)(,ab（6） 与 关于直线 对称。)(xafy)(yax若 ,则函数 的图象关于点 对称;)ff(f )0,2(3.几个常见的函数方程（1）正比例函数 , .()fxc),1fyfxyfc（2）指数函数 , .a()(a（3）对数函数 , .log,)(0,1)（4）幂函数 , .()f),fff.四、函数的周期
9、性定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 ，则)(xf )(xfTf的最小正周期为 T，T 为这个函数的一个周期（说明：nT 也是 的周期）)(xf )(xf注意：关于函数的周期性的几个重要性质：1.如果函数 是 R 上的奇函数，且最小正周期为 T，那么)(f 0)2()Tff2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期，如果函数x (xf的最小正周期为 T 则函数 的最小正周期为 ，如果 是周期函数，那么 的定义域无界)(f )(axfa)(fy)(xfy3.若 是周期函数，T 是它的一个周期，说明：nT 也
10、是 的周期0)(xff f )(f推广：若 ，则 是周期函数， 是它的一个周期)bfaf)(xfab4.定义在 R 上的函数 图象关于直线 和 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期(xa)()(xf )(2ab推论：若定义在 R 上的偶函数 的图象关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期)(fx05.定义在 R 上的函数 图象关于点 和点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期)(xf0,),(b)(xf )(推论：若定义在 R 上的奇函数 的图象关于点 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期)(fa)(a26.定义在 R 上的函数 图象关于直线 和点 对称，则 是周期函数， 是它一
11、个周期)(xfx), )(xf )(4b推论：若定义在 R 上的奇函数 的图象关于直线 对称，则 是周期函数， 是它的一个周期)(fx)0(7.若 ； ； ；则 是周期函数，2 是它的一个周期)()(xfaxf)(1xfaf)(1)faf(xfa8. ，则 的周期 T=3a)(,)1)(fxf )(f9. 则 的周期 T=4a；)()(faxff1. 函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _。fxx12fxf5,ff.2. 是定义在 R 上的偶函数，图象关于 对称，对任意 ，有 ，且)(xf 1x21,0,1x)(21xf)(21xf求 ； 证明： 是周期函数；01a)21(f4f)(f3.
12、 是定义在 R 上的奇函数，且对一切 ，恒有)(xf Rx)23()(xfxf求证： 是周期函数；若 ，求 的值。2)1(f)f34.已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)= f(x),则,f(6)的值为( )5.若存在常数 ，使得函数 满足 ( )，则 的一个正周期为_0p)(xf 2()(pxfpfR)(xf6.已知定义在 R 上，最小正周期为 5 的函数 满足 ，且 ，则在区间 内，方程()fx()()fxfx(3)0f0,1的解的个数至少为_个()0fx7.定义在 R 上的偶函数 ，满足 ，在区间-2,0上单调递减，设 ，()fx(2)()fxf(1.5),(2),(5
13、afbfcf则 的大小顺序为_,abc8.定义在 R 上的函数 满足 ，则当 的最小值是)(xf xfxff 2)(2,0)(32( 时当 )(,24xf时_9.已知函数 是一个以 4 为最小正周期的奇函数，则 （ ）)(xfy )2(f.10.已知 f (x)是定义在实数集上的函数，且 则 f (2005)= .,32)1(,1)2( fxfxf若11.已知 是(- )上的奇函数， ，当 0 1 时，f(x)=x，则 f(7.5)=_)(xf， )()2(xff12.设 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 ，当 时)(xf )()2(xff2,02)(xf1 求证： 是周期函数；当 时，求 的解析式；(3)算：4,2x)f )1(f)05(f13.设 是定义在 上的偶函数，它的图象关于直线 对称，已知 时，函数 ，)(xfR2x2，x1)(2xf则 时， _26， )(xf14.已知 是周期为 2 的奇函数，当 时， 设 则()fx01x()lg.fx63(),(),52afbf5(),cf（A） （B） （C ） （D）abcbaccbc.学生对本次课的小结及评价1、本次课你学到了什么知识 2、你对老师下次上课的建议 特别满意 满意 一般 差 学生签字：课后小结教师签字： 审阅签字: 时 间: 教务主任签字: 时 间: 龙文教育教务处
