1、第五、六课时 一次函数表达式的方法解法（23 招）安徽省池州市贵池区梅龙初级中学 黄老师（ QQ：495014580）四、求一次函数的表达式基本解法1、待定系数法（1）图象过原点：函数为正比例函数，可设表达式为 y=kx，再找图象上除原点外的一个点的坐标代入表达式，即可求出 k.（2）图象不过原点：函数为一般的一次函数，可设表达式为 y=kx+b ，再找图象上的两个点的坐标代入表达式，即可求出 k，b。例：（中考常州）已知一次函数 y=kx+b（k，b 为常数且 ）的图象经过点0kA（0，2）和点 B（1，0） ，则 k=_，b=_.答案：k=2，b=2例：（中考重庆）已知正比例函数 的图象经
2、过点（1，2） ，则这个正比例)0(xy函数的表达式为_答案：y=2x常见解法：1、定义式例，已知函数 是一次函数，求其解析式。3)(82mxy解析： 该函数是一次函数182解得，m=3,又 m3m= 3故解析式为：y=6x +32、点斜式要点：如何求 k？（1）公式： 12xyk（2）图象（比值）：| |= (两直角边的比）BCA（3）增量：V（速度） 、P（电功率）（4）每每（美美题）：（5）平移变换：k 值相等（6）垂直变换： 12k（7）对称变换：|k |、| b|不变（8）相似比：(略)（9）正切值：tan（斜率）（10）旋转变换：（略）例，已知一次函数 y=kx3 的图象过点（2，
3、1） ，求这个函数解析式。解析：方法一：（代入法）将点（2,1）代入 y=kx3 得，1=2k3，解得，k =1故解析式为：y=x 3方法二：（一点式）解析： 一次函数 y=kx3 的图象过点（2，1）可令 y=k(x2)1=kx2k12k1=3,解得，k =1这个函数解析式为 y=x33、两点式例，一次函数经过（2，0)、(0 ，4),求此函数的解析式。解析：方法一：（构建方程组）令解析式为 y=kx+b,过（2,0) 、(0,4)，则解得，k=2，b=4420故解析为 y=2x+4方法二：由点斜式得： =2)2(0412xyk再一点式得：y=2(x +2)+0=2x+4方法三：由斜截式得，
4、y=2x +4方法四：由数形结合得，y=2x+4(k=直角边的比）方法五：（纯一点式）y=k (x+2)=k(x+0)+4k=24、一点式：例，过（2,5）的一次函数解析式为_。解析：y=k( x2)+5kx2k +5例，若 a,b 为定值，关于 x 的方程 ,无论 k 为何值，解总是 x=1,则2)6(32bkxak2a+3b=_。解析：化简得， （4x+b)k=12 2a+xb=4,2a=132a+3b=15、图象式：例，如图，则函数解析式为_. yx21O解析：方法一：易知，b=2（截距）,k=2( 两直角边的比）,则 y=2x+2方法二：两点式：（略）方法三：一点式：y=k (x1)+
5、0=k(x+0)+2k=26、平移式：例，直线 y=kx+b 与直线 y=2x 平行，且截距为 2,则直线解析式为 _。解析：易知，k=2,b=2,解析式为 y=2x+2技巧：上下平移：K 值不变，上加下减；左右平移：K 值不变，左加右减；如：y=kx+b 向左平移 m 个单位，则平移后的解析式为 _.解：y=k( x+m)+b实质：上下平移横坐标不变；纵坐标上加下减。左右平移纵坐标不变；横坐标左减右加。例，将 y=2x+3 向下平移 2 个单位，则 y=_；再向左平移 2 个单位，则 y=_.解析：方法一：结论归纳法由上加下减得，y=2x +1;由左加右减得，y=2(x+2)+1=2 x+5
6、方法二：数形结合法（点值法）详细过程：（1）求出 y=2x+1 与 x 轴的交点坐标（ ,0）;21（2）求出平移后的点坐标（ ,0）5（3）求平移后的解析式 y=2(x+ )+0（一点式）=2x+5。方法三：逆向思维法具体过程：设平移后的点坐标为 P（x,y ）由逆向思维得，原来该点的坐标为 P（x+2,y+2）在 y=2x+3 上，y+2=2(x+2)+3,y=2x+5练习1、将 y=2x 3 向上平移 2 个单位，则 y=_；（y=2x1）再向右平移 2 个单位，则 y=_。(y=2( x2) 1=2x+3)2、将 y= x+1 向下平移 2 个单位，则 y=_;再向左平移 个单位，则
7、y=_。7、斜截式例，将 y=2x+b 向左平移 2 个单位后，与 y 轴的交点坐标为（0，3） ，则 b=_。解析：由题意知，平移后的解析为 y=2(x+2)+b=2x+3b=1具体过程：（1）由平移得，y=2(x+2)+b（左加右减） ；（2）由斜截式得，k=2,b=3,即 y=2x+3（3）联立得，2(x+2)+b2x+3 b=18、应用式：要点：k 表示：速度、单位量、斜率、比值、每每、增量的比b 表示：起始位置例 1，某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间 t（分）的函数关系式为_。解析：当 t=0 时， Q=20,即 b
8、=20;又流速为 0.2 升/分，即 k=0.2（放油）故解析式为 Q=0.2t+20 （0t100）例 2，已知 A、B 两地相距 30km，B、C 两地相距 48km。某人骑自行车以每小时 12km 的速度从 A 地出发，经过 B 地到达 C 地。设此人骑车的时间为 x（h） ，离 B 地的距离为y（km） 。（1）当此人在 A、B 两地之间时，求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围。（2）当此人在 B、C 两地之间时，求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围。解析：（1）当 x=0 时，y =30,即 b=30又速度为 12km/h,则 k=12(y 随 x 增
9、大而减小）故解析式为：y=12x +30（0x(5/2) ）（2）由速度为 12km/h，则 k=12(y 随 x 增大而增大）可令解析式为：y=12x +b又当 x= 时，y =0,解得，b=305故解析式为：y=12x 30方法二：（点斜式）y=12(x )=12x3025例 3，在弹性限度内，弹簧的长度 y（cm）是所挂物体的质量 x（kg）的一次函数，当所挂物体的质量为 1kg 时，弹簧长 10cm；当所挂物体的质量为 3kg 时，弹簧长为 12cm。写出y 与 x 之间的函数关系式_。解析：增加量为(1210/31)=1，即 k=1当 x=0 时，y=9，即 b=9故解析式为 y=x
10、+9方法二：令解析式为 y=kx+b，过点（1，10） （3，12）解二元一次方程组也可求出此解析式。9、面积式例，y=kx+b 是由 y=2x 平移得到的，且与坐标轴围成的面积为 4，求此函数的解析式_.解析：如图， yxABOy=kx+b 是由 y=2x 平移得到的k=2由图可知，A（(b/2),0 ）,B(0,b)又 SAOB =4,即 AO BO=4, | | |b|=4212解得，b=4故，解析式为 y=2x+4 或 y=2x4巩固y=kx+3 的图象与坐标轴围成的面积为 9，求此函数的解析式_。解析：如图， yxABO由图可知，A（ ,0）,B(0,3)k3又 S AOB=9,即
11、AO BO=4, =9213|k解得，k=故，解析式为 y= x+3 或 y= x+32110、列表式：k：增量11、规律式：k：增量12、开放式：例，请写出一次函数的解析式。要求：（1）过（3,1） ；（2）y 随 x 增大而减小；（3）当 x=2 时，y 1又 y 随 x 增大而减小，得，k 0 时，x =2,则 y=5;x=6,则 y=9.2k+b=56k+b=9 解得，k=1,b=3故，解析式为 y=x+3（2）当 k0 时，x =2，则 y=9;x=6,则 y=5.2k+b=96k+b=5 解得，k=1,b=11故，解析式为 y=x +1114、动点式（略）15、待定系数式（略）16
12、、分类讨论式（略）17、成比例式例，y1 与 x+3 成正比例，当 x=2 时，y =6，求 y 关于 x 的函数解析式。解析：令 y1=k (x+3),得61=k(2+3),解得，k=1故，解析式为 y=x+418、对称式：例：y=kx+b1）关于 x 轴对称：P （x ,y）P(x,y): y=kx+ b,即 y=kx b（全变） ；2）关于 y 轴对称：P （x ,y）P(x,y): y=kx+ b,即 y=kx b（k 变 b 不变） ；3）关于原点对称：P（x ,y） P(x,y):y =kx+b,即 y=kxb（b 变 k 不变） ；例，y=2x+1 的图象(1)关于 x 轴对称的
13、解析式为_;(2)关于 y 轴对称的解析式为_;(3)关于原点对称或关于某一点对称（了解）归纳：（1）对称|k |不变，| b|不变；（2）关于 x 轴对称：k 、b 都变号；关于 y 轴对称：k 变号，b 不变号。实质：（1）直线的对称其本质是点的对称。（2）再对称后的直线上任取一点 P(x,y)则关于 x 轴对称 P(x,y):y=2x+1y=2x1关于 y 轴对称 P(x ,y):y=2x+1关于原点对称 P(x ,y ): y=2x+1y=2x119、垂直式例，y=2x+1 与 y= x+2 在位置上的关系是_.1由此你得出的结论是。 （ =1)21k20、旋转式（关于某一直线对称）例
14、，将直线 y=2x+1 关于 y=x 对称，求对称后的解析式_。总结:有关一次函数的解法：1、定义式；2、两点式；3、待定系数式；4、直线方程式；5、点斜式；6、一点式；7、斜截式；8、图象式；9、比例式；10、平移变换式；11、对称变换式；12、垂直变换式；14、旋转变换式；15、面积式；16、列表式；17、规律式；18、开放式；19、值域式；20、成比例式；21、分类讨论式；22、应用式；23、动点式。练习1、y 与 x 成正比例，且当 x=1 时，y=2，那么当 x=3 时， y=_。2、写出同时具备下列两个条件的一次函数表达式_（1）y 随着 x 的增大而增大；（2）图象经过点（0，3
15、） 。3、直线 y=3x 3 向左平移 4 个单位后，则直线解析式为_。4、某一次函数的图象与 y=x+1 平行，且过点（8，2） ，则一次函数解析式为_。5、一次函数 y=kx+b 的图象如图。（1）写出 A、B 的坐标；（2）求出 k，b 的值。 yxA(2)B(4)O6、一次函数的图象过 M（3， 2） ， （1，6）两点，求函数的解析式。7、直线 y=2x+1.（1）求直线与 y 轴交点 A 的坐标；（2）若直线 y=kx+b 与已知直线关于 y 轴对称，求 k 与 b 的值。8、已知直线 y=kx+b 经过点（ ,0） ，且与坐标轴围成的三角形的面积为 ，求该直线的25 425表达式。
