1、2016-2017 年上海市育才中学高三 数学试卷 （满分 150 分，考试时间 120 分钟） 一、填空题（本大题共有 12 题， 1-6 题每题 4 分， 7-12 题每题 5 分，满分 54 分） 1. 函数 13 1 0xyx 的反函数是 _ 2. 若复数 12,1z a i z i （ i 为虚数单位 ）且 12,zz为纯虚数 ， 则实数 a _ 3. 抛物线 2 16yx 与双曲线 2218xym有一个相同的焦点 ， 则 m _ 4. 方程 2sin 2 1 0x的解为 _ 5. P 是双曲线 2 2 14x y上任一点 ， O 为坐标原点 ， 则 OP 中点 M 轨迹方程是 _
2、6. 若点 ,Pxy 在曲线 2 cossinxy ，（ 为参数 ）上，则 yx 的取值范围是 _ 7. 若向量 3,1a ， sin , co sbm ， 且 a /b ， 则 m 的最小值为 _ 8. 若二次项 6sin xx展开式中的常数项为 20，则 sin2 的值为 _ 9. 设 ,Rxy ， 若不等式组 3 2 02 2 010xyxyax y ， 所表示的平面区域是一个锐角三角形 ， 则 a 的取值范围是 _ 10. 某微信群中四人同时抢 3 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为 _ 11. 已知等差数列 na 的前 n
3、项和为 nS ， 并且 252, 15aS， 数列 nb 满足 *22 2n nnb n N ，记集合 *22|,2nnSbM n n Nn ， 若 M 的子集个数为 16，则实数 的取值范围为 _ 12. 非零向量 ,mn的夹角为 3 ， 且满足 0nm， 向量组 1 2 3,x x x 由一个 m 和两个 n 排列而成 ，向量组 1 2 3,y y y 由两个 m 和一个 n 排列而成 ， 若 1 1 2 2 3 3x y x y x y 所有可能的最小值为 24m ， 则 _ 二 、 选择题 （本大题共有 4 题，满分 20 分） 13. 用反证法证明命题“若 ,ab为实数 ， 则方程
4、2 0x ax b 至少有一个实根 ”时，要做的假设是（ ） A. 方程 2 0x ax b 至多有一个实根方程 B. 方程 2 0x ax b 恰好有两个实根 C. 方程 2 0x ax b 至多有两个实根 D. 2 0x ax b 没有实根 14. 已知 s in , c o s22f x x g x x ， 则下列结论中正确的是 （ ） A. 函数 y f x g x的周期为 2 B. 函数 y f x g x的最大值为 1 C. 将 fx的图像向右平移 2 单位得 gx的图像 D. 将 fx的图像向左平移 2 单位得 gx的图像 15. 在空间中，下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
5、如果平面 内的一条直线 a 垂直平面 内的任意一条直线 ， 则 如果直线 a 与平面 内的一条直线平行 ， 则 a / 如果直线 a 与平面 内的两条直线都垂直 ， 则 a 如果平面 内的两条直线都平行于 平面 ， 则 / A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 为了竖一块广告牌 ，要制造如图所示的三角形支架，要求 60ACB ， 已知 BC 的长度大于 1 米，且 AC 比 AB 长 0.5 米，为了稳固广告牌，要求 AC 越短越好 ， 则 AC 最短为 （ ）米 A. 312B. 23 C. 13 D. 2 三、解答题（本大题满分 76 分） 17.（本题满分 14 分）本题共有
6、2 个小题，第 1 小题分 6 分，第 2 小题满分 8 分 在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中 ， 2AB BC， 1 4AA ， 过 1A 、 1C 、 B 三点的平面截去长方体的一个角后 ， 得到如图所示的几何体 1 1 1ABCD AC D . （ 1）求几何体 1 1 1ABCD AC D 的体积 ； （ 2）求直线 1BD 与面 11ABC 所成角的大小 （用反三角表示） 18.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题， 第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 四边形 ABCD 如图所示 ， 已知 2AB BC CD ， 23AD . （ 1）求 3
7、 cos cosAC 的值 ； （ 2） 记 ABD 与 BCD 的面积分别是 1S 与 2S ， 求 2212SS 的最大值 . 19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知椭圆 22: 1 0yxC a bab 的上下两个焦点分别为 1F ， 2F ， 过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭圆 C于 M 、 N 两点 ， 2MNF 的面积为 3 ， 椭圆 C 的长轴长是 短轴长的 2 倍 . （ 1）求椭圆 C 的标准方程 ； （ 2）已知 O 为坐标原点 ， 直线 :l y kx m与 y 轴交于点 P ， 与椭圆 C 交于 A
8、 ， B 两个不同的点 ， 若存在实数 ， 使得 4OA OB OP， 求 m 的取值范围 . 20.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分， 第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分 若函数 y f x 与 y g x 在给定的区间上恒有 0f x g x 成立 ， 则称这两个函数是该区间上的 “同步函数” . （ 1）判断函数 arcsinf x x 与 1 12xgx 是否为公共定义域上的 “同步函数”？并说明理由； （ 2）已知函数 2 1 2 2f x x a x a 与 222g x x ax a 是公共定义域上的 “同步函数”，求实数 a
9、的取值范围 ； （ 3）若 20f x ax与 lg xgxa 在 *xN 上是 “同步函数”，求实数 a 的取值范围 . 21.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分，第 3 小题满分 7 分 已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 且 3 3 42 13, 16a a S . （ 1）求数列 na 的前 n 项和 nS ； （ 2）设 1 2 3 1 nnnT a a a a ， 若对一切正整数 n ， 不等式 1 11 12n nn n nT a a 恒成立 ， 求实数 的取值范围 ； （ 3）是否存在正整数 ,2m n n m， 使得 22,m n mS S S S S成等比数列 ？ 若存在 ， 求出所有的,mn； 若不存在 ， 说明理由 .
