1、2016 年 沈 阳 市 高 三 教 学 质 量 监 测 （ 三 ） 数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一选择题1.C 2.C 3. C 4.B 5.C 6.C 7
2、.B 8. C 9.D 10. C 11.D 12.A一选择题1.因为 ，又 ，所以选 C.i1i32. 化简集合 ，集合 ，所以 ，故选 C.,2A2|xA3,23. 利用点到直线的距离公式，可以求出圆心 到直线 的距离为 ，结合圆的半径 ，(0,)0xya|2aa以及弦长的一半 ，利用勾股定理可以求出 .21a4.因为 是在 上的偶函数，所以 ，故选 B.)(xfR64log)32()2ff5.因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即 , .12p 6.一法：用单位圆中三角函数线的知识可以知道 ，从而 故选(,0)4tan(1,
3、0).C二法：由 平方可得 ，由 及 ，有acosin 22sinco1a）（ ,）（ 2且 , 从而 故选si0i,()t().7.有三视图可知定义可知，侧棱 ，因为底面边长为 ，所以斜高为 ，则正三棱锥的侧面积4VA3213为 .3913218. 根据题意，由 可知 ，前 项和 .482a5a9195()62aSa9.由题 ，其中的整数共有 32 个，故选 D.54332 200P10. 根据题意，可以画出可行域为阴影区域 ，目标函数OCAB对应的直线方程为 ，当 取得最大值 时，zaxbyazyxb12直线 一定经过点 ，即 ，其中z(4,3). 问题转化为已知 ，其中 ，求0,120,
4、ab的最小值.可以再次利用数形结合思想，如图所示，点 在2ab H线段 （不包括端点）上运动，求 的最小值. 直接利用点到直线MNOH距离公式即可求出.11.直接取 点为双曲线的右焦点 ，则AF.542caMFN12.令 ， ，axxg2ln)(2 )(22)( axxaaxg 令 ， ， ， ， ，0 004当 时， ， 在 上单调递减，),(x)()(),当 时， ， 在 上单调递增，0xgxg0又 有唯一解， ，即 ，)(g)(020lnax两式相减得： ， 故选 A.1lln2 000 axa 2a二.填空题13.8 14. 15. 16.123413.由 ， 列出关于 的方程即可求解
5、.604Sq2a14.由题可知， ， ， ， .|abA22|410babA|10ab15.不等式解为 ，解得 ，所以21x5x5.3PMNAFO16.如图所示，当 垂直平面 时，三棱锥 的高最大，等于球的半径. 当 是正三角OPABCPABCABC形时， 的面积最大 . 故三棱锥 的最大体积为 .ABC3434三. 解答题17. （） 中 由正弦定理可得：sini. -2 分3cb，-4 分2222937o1648caAc又 ，所以 ， . -5 分4c3（） （）设等差数列 公差为 ，由题有 ，nad12a从而 . -6 分1n（） （法一）：当 为偶数时:.-8 分(23)(45)(1)
6、2n nTL当 为奇数时:13()()()()().2n n-10 分所以 .22345(1) ()31nn nkT NL-12 分（法二）：23234 1(1)(1)(),(),nn nT L-8 分两式相减得： 23112()()()()13()().2nnnnnT L-11 分3(1)(1).4nnnT-12 分18.（）证明：设线段 的中点为 ，AD F连接 ， . 在 中， 为中位线，故 . 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 在底面直角梯形 中， ，且 ,故四边形 为平行四边形， BC =BC 即 .又 平面 ， 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ， 平面 ，且 ，所以平面
7、 平面 . = 又 平面 ，所以有 平面 . 6 分 （）由（）可知，点 到平面 的距离与点 到 平面 的距离相等 .连接 AC，设点 到平面 的距离为 ， 因为 PA平面 ABCD，AC 平面 ABCD，所以PA AC.根据题意，在 RtPAD 中， ，=22在 RtADC 中， ，=22在 RtPAC 中， ，由于 ，=23 2+2=2所以 PCD 为直角三角形， . =22.又=13 =223，所以 .=13 =23 = 22即点 到平面 的距离为 . 12 分 2219.（）设初赛成绩的中位数为 ，则：x.4 分0.1.40.9.070.5解得 ，所以初赛成绩的中位数为 ；. .6 分
8、8x81（）该校学生的初赛分数在 有 4 人，分别记为 ，分数在 有 2 人，分别,3,ABCD130,5记为 ，则在 6 人中随机选取 2 人，总的基本事件有:,ab， ，,ABCDAab,BCab， 共 15 个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有 8 个，,.10 分故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为.12 分8.15P20.()2a4， a2，c ae ，b1，所以椭圆方程： . .4 分3142yx（）由题可知， ，设点 ， ，则km,yxP2,yQ由 ，消 ,得 ，214yxy24180kkx因为直线与椭圆交于不同的两点，所以 ，42261()410k解
9、得 ， .6 分Rk由韦达定理得， ， . .8 分212841kx24kx由题意知， ，2OPQk即 ，2222211111()()ykkxkxx所以 ， 即 ，.10 分2121()0k42所以直线 的方程为 或 .12 分lxy10xy（） ，1 分()sincos(incos)xxfee令 ，ic2i)4y当 ， 时 ，3(2,4xkZk0y所以 ， 单调递增，3 分)0f()fx当 ， ， ，7(,所以 ， 单调递减；5 分)f()f（）令 ，即 恒成立，sinxgxkek()0gx而 ，(sincoe令 ，则 ，)hhcos2)( ， 在 上单调递增，0,2x(0x,所以 ，7 分
10、1)e当 时， ， 在 上单调递增，k(gx(),2，符合题意；9 分()0x当 时， 在 上单调递减，2e()()gx0,，与题意不合；10 分()g当 时， 为一个单调递增的函数，21k()而 ， ，(0)1gk2()0gek由零点存在性定理，必存在一个零点 ，使得 ，x0()gx当 时， ，0,x0x从而 在 上单调递减，11 分(),)从而 ，与题意不合，g综上所述： 的取值范围为 12 分k(,122.（）证法（一）取 DN 延长线上一点 T,连接 BN.因为 DN 为圆 O 的切线，所以 TNA ABN，又因为 AB 为圆 O 的直径，BN AC，又因为 ABC90 ，所以 ABN
11、 ACB，又 TNA CND，所以 CND ACB，所以 DNDC，又知 DB 为圆 O 的切线，DN 也是圆 O 的切线，所以 DNDB，所以 BDDC ，在 ABC 中 D 是 BC 的中点，又 O 是 AB 的中点，所以 OD/AC. 5 分证法（二）取 DN 延长线上一点 T,连接 ON，BN.因为 DN 为圆 O 的切线，所以 TNA ABN，ON DN.又 ABC90 ，ONOB， ODOD，所以 OND 与 OBD 全等，可知 BN OD，知 ABN BDO ODN，所以 TNA ODN，所以 OD/AC. 5 分（）由（1）知 2ODAC，BC2DN，又 CB2CN CA，所以
12、 4DN2CN2OD，即 4DN2CN(2DM+AB) ，又 DN2DM(DM+AB),所以 4DM(DM+AB)CN (2DM+AB)，即 . 10 分41DMCNAB23.（）依题 的直角坐标方程为： ，圆心为 ，半径为 1，12(1)xy(1,0)直线 的普通方程为： ，由题 与 相切，则 ，l tan(3)yl1C2tan解得， 或 .3 分tan04t所以，直线 的普通方程为： 或 ，l1y390xyAB CDMNO所以，直线 的极坐标方程为： 或 .5 分lsin14cos3in90（）因为直线 与曲线 交于不同两点 、 ，由（1）可知 .6 分l1CD4ta3令两点 、 对应参数
13、分别为 、 ，联立 与 得， ，Dt2lC22(cos)(1sin)1tt即， ，可见 ，2(4cosin)40t124it又 的直角坐标方程为：2C2(xy令两点 、 对应参数分别为 、 ，联立 与 得， ，AB3t4l2C22(cos)(1sin)4tt即， ，可见 ，8 分2(cosin)20t34it而 ，CD314(tt12()()cos所以 的取值范围是 .10 分AB6,2524.（）由题 ()2)fx1(2)1ax，1a可见， ，即 或 5 分22a（）由 知 ，11()()()4abcfff4abc而 ，7 分222()()()fffaa22因为 ，216bcbcacb又 ， ， ，222所以， ，即 ，等号成立当且仅当 .22163()abc22163abcabc因此， 的最小值是 .10 分22211()()()abcfffa163
