1、北师大版七年级数学上册前三章知识点总结前言：七年级上知识点很简单，主要是衔接作用，很多知识点在六年级涉及过，现在是对六年级的加深与拓展。重点难点章节有三个：第二章有理数及其运算、第三章整式及其加减、第五章一元一次方程。第 1 章 丰富的图形世界备注：本单元两个易错点： 1、图形的展开与折叠 2、 “ 三视图”判断图形个数1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。2、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形 球 棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体
2、） 、五棱柱、(按名称分) 锥 圆锥棱锥3、点、线、面、体（1）几何图形的组成点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。面：包围着体的是面，分为平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）点动成线，线动成面，面动成体。4、常见的几何体及其特点长方体： 有 8 个顶点，12 条棱，6 个面，且各面都是长方形。（正方形是特殊的长方形） ，正方体是特殊的长方体。棱柱： 上下两个面称为棱柱的底面，其它各面称为侧面，长方体是四棱柱。棱锥： 一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形。圆柱： 有上下两个底面和一个侧面（曲面） ，两个底面是半径相等的圆。
3、圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成。 圆锥： 有一个底面和一个侧面（曲面） 。侧面展开图是扇形，底面是圆。球： 由一个面（曲面）围成的几何体。5、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。n 棱柱有两个底面，n 个侧面，共（n+2）个面；3n 条棱，n 条侧棱；2n 个顶点。6、正方体的平面展开图：11 种7、截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。可能出现的：锐角三角型、等边、等腰三角形， 正方形、矩形、非矩形的平行四边形、 非等腰梯形、 等腰梯形、五边形、六边形、正六边形不
4、可能出现：钝角三角形、直角三角形、直角梯形、正五边形、七边形或更多边形其他几何体的截面形状：正方体：三角形、正方形、长方形、梯形、五边形、六边形圆柱： 圆、长方形、 （正方形） 、圆锥： 圆、三角形、球： 圆8、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：从正面看到的图，叫做主视图。左视图：从左面看到的图，叫做左视图。俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。第 2 章 有理数及其运算备注： 1*、数轴是新知识很多地方用到2*、去绝对值与绝对值的几何意义很重要，有些学生在去绝对值和利用绝对值几何意义做题时比较容易出错（去绝对值的主要数学思想是“分情况讨论” 这也是贯穿初高中的一个重要数学思想
5、）3*、有理数混合运算中去去括号变号很多同学容易在这块丢分。1、有理数的分类整数和分数统称为有理数。因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数。正有理数 整数有理数 零 有限小数和无限循环小数 或 有理数负有理数 分数2、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数。3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要
6、真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。4、倒数：如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和-1。零没有倒数。5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 （|a|0） 。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则 a0；若|a|=-a ，则 a0。绝对值的有关性质对任意有理数 a，都有 |a|0； 若|a|=0，则 a=0； 若|a|=|b|，则 a=b 或 a=b ； 若|a|=b（b0），则 a=b； 若|a|b|=0，则 a=0 且 b=0； 对任意有理数 a，都有 |a|=|a|. 6、有理数比较大小：正数
7、大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；两个负数，绝对值大的反而小。7、有理数的运算 ：（1）五种运算：加、减、乘、除、乘方 多个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正。只要有一个数为零，积就为零。有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值值相等时和为 0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数。互为相反数的两个数相加和为 0。有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数！有理
8、数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0 除以任何非 0 的数都得 0。注意：0 不能作除数。有理数的乘方：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方。a 2 是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 则 a=0,b=0；据规律 底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位.注意：一个数可以看作是本身的一次方，如 5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 任
9、何数的偶数次幂都是非负数；（除 0 以外任何数的 0 次方都得 1） 1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂（除 0 次）都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得-1；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。（2）有理数的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的。（3）运算律加法交换律 ab加法结合律 )()(cbac乘法交换律 乘法结合律 ab乘法对加法的分配律 cab)( 变形公式 ()cabc8、科学记数法一般地，一个大于 10 的数可以表示成 的形式，其中 ，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。 （n=整数位数-1 ）第三章 整式
10、及其加减备注：这章算是这册比较难的一个知识点。一是对单项式、多项式的理解，其次是对同类项的理解和计算。容易出错的地方大多在化简计算，有几点：1、是化简计算过程中去括号变号。2、化简求值中“整体思想”的运用。3、化简计算中一个字母表示另个字母代入换算。知识点一、字母表示数A.字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；加法交换律 ab ba 加法结合律 abca（bc）1乘法交换律 abba 乘法结合律（ab）ca（bc ） 乘法分配律 a（bc ）ab ac2用字母表示计算公式：长方形的周长 2（a b）,面积 ab （a 、 b 分别为长、宽）1正方形的周长 4a，面积 a2（a 表
11、示边长）2长方体的体积 abc，表面积 2ab2bc2ac（a 、 b、 c 分别为长、宽、高）3正方体的体积 a3,表面积 6a2（a 表示棱长）4圆的周长 2r,面积 r2（r 为半径）5三角形的面积 ah（a 表示底边长，h 表示底边上的高）6 1B.在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。C.用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。4、注意书写格式的规范：(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2) 数和字母相乘时，数字应写在字母前面； (3) 带分数与
12、字母相乘时，应把带分数化成假分数； (4) 除法运算写成分数形式 ，分数线具 “ ”号和“ 括号 ”的双重作用。 (5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题：例题 1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为 m 千克，再从中截取 5 米长的钢筋，称出它的质量为 n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（ ）米A、 B、 C、 D、( 5)mnmn55m55mn例题 2.用代数式表示“ 2a 与 3 的差”为（ ）A2a3 B32a C2 （a 3 ）D 2（3a）例题 3.如图 131，轴上点 A 所表示的是实数 a，
13、则到原点的距离是（ ）A、a Ba Ca D|a|例题 4.已知 a= x+20， b= x+19，c= x+21，那么代数式 a2+b2+c2abbc ac 的值为（ ）120120120A、4 B、3 C、2 D、1练习：1、温度由 t下降 3后是_.2、 飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是火车速度的_ 倍.3、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ）A. 、 B. C. D. 1a112a12a4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（ ）A. B. C. D. 23a)23(a23)(a5、
14、轮船在 A、 B 两地间航行，水流速度为 千米时，船在静水中的速度为 千米时，则轮船逆流航行的速度mn为_千米时6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为 元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价x40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（ ）（A）甲 （B）乙 （C ）丙 （D）乙或丙7、下列说法中： 一定是负数； 一定是正数； 若 ，则 三个有理数中负因数的个数a|a0abccb、是 0 或 2，其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是 ,则它们三个数的和是 n9、设三个连续奇数的中间一个数是 ,则它们三个数
15、的和是 x10、设 为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为 n二、代数式1、代数式：用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac （单独一个数或一个字母也是代数式）注意：代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；代数式中不含有“=、”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。代数式的书写格式：代数式中出
16、现乘号，通常省略不写，如 vt；数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如 4a；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如 应写作 ；a3127数字与数字相乘，一般仍用“”号，即“”号不省略；在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如 4（a-4）应写作 ；注意：分数线具有“”号4a和括号的双重作用。在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。)(2ba例：下列不是代数式的是（ ）0.A.sBt1.Cx20.1Dxy2、单项式：表示数与字母的积的形式的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单
17、项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是 0；3. 书写时，当单项式的系数为 1 或-1 时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，ab 的系数是 1。4. 是数字，不是字母。例： 的系数是 ；如 的系数是 ；如 的系数是 ；2ab2x21x3、多项式：几个单项式的和叫多项式。多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。例：代数式 有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是 251xy4、单项式多项式统称为整式。整式是代数式的一部分，在代数式中可以包含加，减，乘，除
18、四种运算，但在整式中除数不能含有字母。练习：1、 某商品售价为 元，打八折后又降价 20 元，则现价为 _元a2、橘子每千克 元，买 10 以上可享受九折优惠，则买 20 千克应付_元钱.kg3、如图，图 1 需 4 根火柴，图 2 需_根火柴，图 3 需_根火柴，图 需_根火柴。n（图 1） （图 2） （图 n）4、温度由 t下降 3后是_ .5、飞机每小时飞行 a 千米，火车每小时行驶 b 千米，飞机的速度是火车速度的_ 倍.6、无论 a 取什么数，下列算式中有意义的是（ ）A. B. C. D. 112a12a7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为 a，排数比每排同学数的 3 倍还
19、多 2，那么全班同学数为（ ）A. B. C. D. 23a)3(a3)(8、填空 的系数为_ ，次数为_ ： 的次数为_ ； 的系数是 ； 2xy 2ab2ab2x的系数是 ； 的系数是 ；代数式 有 项，第二项的系数是 21x 251xy，第三项的系数是 ，第四项的系数是 9、下列不是代数式的是（ ）0.A.sBt1.Cx20.1Dxy三、合并同类项1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意：同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；几个常数项也是同类项。如：100a 和 200a，240b 和 60b
20、，-2ab 和 10ba2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。合并同类项法则：（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数 ,字母和字母的指数不变.（3）不同种的同类项间，用“+”号连接（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄如：合并同类项 3x2y 和 5x2y，字母 x、y 及 x、y 的指数都不变， 只要将它们的系数 3 和 5 相加，即3x2y+5x2y=（3+5）x 2y=8x2y3合并同类项的步骤：（1 ）准确的找出同类项（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（ 3）利用法则，
21、把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果4. 注意: （1）不是同类项不能合并（ 2） 求代数式的值时, 如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.例 1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：（1） a2b 和- a2 b （2）2m 2 np 和 -pm2n (3) 0 和-1357例 2. 下列各组中： ； ； ； ； 与 ；xy51与 51yx与2251yxa与 38x与 221x 与 与 ，同类项有 （填序号）23x2例 3. 如果 xky 与 x2y 是同类项，则 k=_， xky+（- x2y）=_1 13例 4直接写出下列各式的结果：（1）
22、 - xy+ xy=_；（2）7a 2b+2a2b=_；（3）-x-3x+2x=_；2（4）x 2y- x2y- x2y=_； （5）3xy 2-7xy2=_13例 5合并下列多项式中的同类项（1） 4x2y-8xy2+7-4x2y+10xy2-4； （2 ）a 2-2ab+b2+a2+2ab+b2（3） （4）22561x222645xyxyx例 6.若 ， ，则 0,xy210xaya练习：1、单项式 与 是同类项，则 ， 2baxy3xy2、下列各组中： ； ； ； ； 与 ；512与 2251与2251yxa与 38x与 221x与 与 ，同类项有 （填序号）23xx3、合并同类项：
23、226122264xyxyx4、若 ， ，则 0,xy210xaya四、去括号法则1、 根据去括号法则去括号：（1）括号前是“+” 号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各项的符号都不改变。（2）括号前是“” 号，把括号和前面的“ ”号去掉，括号里的各项都要改变符号。2、 根据去括号法则中乘法分配律的应用去括号：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。3、 多重括号的化简原则：（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号注意：1、添括号法则添“”号和括号，添到括号里的各项符号都不改变；添“”号和括号，添到括号里的各项符号都要改变。2、整式的运算：整式的
24、加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。例 1、一个两位数，十位数字是 ，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 x例 2、去括号，合并同类项（1）3（2s 5 ）+6s (2)3x5x（ x4）12（3）6a 24ab4(2a 2+ ab) （4）1 )6()(322xyxy（5） （6）()xy 2()()2mnx（7） （8） )35(122xx )21(4)321(aa（9） （10 ）)2()(baa mnnm22263练习：1、化简： ()xy2()3()2mnx2、一个两位数，十位数字是 ，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 x3、化简：(1) (2) )35
25、(122xx )21(4)21(aa(3) (4) )(baa mnnm63五、代数式求值先化简，再求值代数式求值：1、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。2、求代数式的值时应注意以下问题:（1）严格按求值的步骤和格式去做（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母， 代入时要注意对应关系，千万不能混淆（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变（4）字母取负数代入时要添括号（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号例 1 当 x= ，y=-3 时，求下列代数式的值:（1）3x 2-2y2+1；
26、 （2）32()1xy例 2 当 时，求代数式 的值x5(41)x例 3 已知 互为倒数， 互为相反数，求代数式 的值ba， nm， 2(23)mnab例 4 化简，求值： ，其中 ， 1)32(692bab2a1b ,其中)312()31(22yxyx 32,yx经典例题例题 1.若 abx 与 ayb2 是同类项，下列结论正确的是（ ）AX2，y=1 BX=0 ，y=0 CX2，y=0 D、X=1，y=1例题 2. 2xx 等于（ ）Ax Bx C3x D3x例题 3.x（2xy ）的运算结果是（ ）Ax+y Bxy Cxy D3xy练习：1、当 时，求代数式 的值2x5(41)x2、已知
27、 互为倒数， 互为相反数，求代数式 的值ba， nm， 2(23)mnab3、已知 ,求 的值。32n734、化简，求值： ，其中 ， 1)32(692bab2a1b ,其中)32()31(22yxyx 3,yx5、已知 ， ，求221Axy211,2,BxyxyAB六、探索规律列代数式例题 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）例题 2.观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的_ ；如果等号左边的第一个实数用 x 表示，第二个实数用 y 表示，那么这些等式的共同特征可用含 x，y 的等式表示为_.（2）将以上等式变形，用含 y 的代数式表示 x 为_；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：_例题 3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图 133所示，则这串珠子被盒子遮住的部分有_颗
