机械制图 第3章 立体表面基本元素及基本体的投影.doc

1、1第 3 章 立 体 表 面 基 本 元 素 及 基 本 体 的 投 影点 、 线 、 面 是 构 成 自 然 界 中 一 切 有 形 物 体 （ 简 称 形 体 ） 的 基 本 几 何 元 素 ， 它 们 是不 能 脱 离 形 体 而 孤 立 存 在 的 。 基 本 体 是 指 形 状 简 单 且 规 则 的 形 体 ， 任 何 机 件 都 可 以 看成 是 由 若 干 个 基 本 体 组 合 而 成 的 。 因 此 ， 学 习 和 掌 握 其 投 影 特 性 和 规 律 ， 能 够 为 正 确理 解 和 表 达 形 体 打 下 坚 实 的 基 础 。3 1 点 的 投 影点 是 最 最 基

2、 本 的 几 何 元 素 ， 为 进 一 步 研 究 正 投 影 的 规 律 ， 首 先 就 要 从 点 的 投 影 开始 谈 起 。3 1 1 点 的 三 面 投 影 及 其 规 律将 空 间 点 A 放 置 在 三 投 影 面 体 系 中 ， 过 点 A 分 别 作 垂 直 于 H 面 、 V 面 、 W 面 的投 影 线 ， 投 影 线 与 H 面 的 交 点 （ 即 垂 足 点 ） a 称 为 A 点 的 水 平 投 影 （ H 投 影 ） ； 投 影线 与 V 面 的 交 点 a 称 为 A 点 的 正 面 投 影 （ V 投 影 ） ； 投 影 线 与 W 面 的 交 点 a 称

3、为A 点 的 侧 面 投 影 （ W 投 影 ） 。在 投 影 图 中 ， 统 一 规 定 ： 空 间 点 用 大 写 字 母 表 示 ， 其 在 H 面 的 投 影 用 相 应 的 小 写字 母 表 示 ； 在 V 面 的 投 影 用 相 应 的 小 写 字 母 右 上 角 加 一 撇 表 示 ； 在 W 面 投 影 用 相 应的 小 写 字 母 右 上 角 加 两 撇 表 示 。 如 图 3-1a 中 ， 空 间 点 A 的 三 面 投 影 分 别 用a、 a 、 a 表 示 。ZX YVH WVX Z ZXHWaaaxazaya a“aa a“aOO OYH YWA axazayhayw

4、azax aywayha“a) b) c)图 3-1 点 的 三 面 投 影按 前 述 规 定 将 三 投 影 面 展 开 ， 就 得 到 点 A 的 三 面 投 影 图 ， 如 图 3-1b 所 示 。 在 点的 投 影 图 中 一 般 只 画 出 投 影 轴 ， 不 画 投 影 面 的 边 框 ， 如 图 3-1c 所 示 。在 图 3-1a 中 ， 过 空 间 点 A 的 两 条 投 影 线 Aa 和 Aa 所 构 成 的 矩 形 平 面 Aaaxa与 V 面 和 H 面 互 相 垂 直 并 相 交 ， 因 而 它 们 的 交 线 aax 、 a ax、 OX 轴 必 然 互 相 垂 直

5、 且相 交 于 一 点 ax。 当 V 面 不 动 ， 将 H 面 绕 OX 轴 向 下 旋 转 90而 与 V 面 在 同 一 平 面 时 ，a 、 ax、 a 三 点 共 线 ， 即 a axa 成 为 一 条 垂 直 于 OX 轴 的 直 线 ， 见 图 3-1b。 同 理 可 证 ，连 线 a aza 垂 直 于 OZ 轴 。2在 图 3-1a 中 ， Aaaxa 是 一 个 矩 形 平 面 ， 线 段 Aa 表 示 A 点 到 H 面 的 距 离 ，Aa=a ax。 线 段 A a 表 示 A 点 到 V 面 的 距 离 ， A a =aax； 同 理 可 得 ， 线 段 A a 表

6、示 A 点 到 W 面 的 距 离 ， A a =aay。 ay在 投 影 面 展 开 后 ， 被 分 为 ayH和 ayw两 个 部 分 ，所 以 aaYh OYH, a ayw OYW。通 过 以 上 的 分 析 ， 可 得 出 点 的 投 影 特 性 如 下 ：（ 1） 点 的 两 面 投 影 的 连 线 垂 直 于 相 应 的 投 影 轴 。a a OX， 即 A 点 的 V 和 H 投 影 连 线 垂 直 于 X 轴 ；a a OZ， 即 A 点 的 V 和 W 投 影 连 线 垂 直 于 Z 轴 ；aaYh OYH， a ayw OYW， oaYh=oayw（ 2） 点 的 投 影

7、 到 投 影 轴 的 距 离 ， 反 映 该 点 到 相 应 的 投 影 面 的 距 离 。aax= a az= A a ,反 映 A 点 到 V 面 的 距 离 ；a ax= a ayw=Aa, 反 映 A 点 到 H 面 的 距 离 ；a az= aaYh=Aa , 反 映 A 点 到 W 面 的 距 离 ；根 据 上 述 投 影 特 性 可 知 ： 由 点 的 两 面 投 影 就 可 确 定 点 的 空 间 位 置 ， 故 只 要 已 知 点的 任 意 两 个 投 影 ， 就 可 以 运 用 投 影 规 律 求 出 该 点 的 第 三 个 投 影 。【 例 3-1】 已 知 点 A 的

8、水 平 投 影 a 和 正 面 投 影 a ， 求 其 侧 面 投 影 a ， 如 图 3-2a 所 示 。解 : 作 图 步 骤 如 下（ 1） 过 a 引 OZ 轴 的 垂 线 a az， 所 求 a 必 在 这 条 延 长 线 上 。（ 2） 在 a az的 延 长 线 上 截 取 az a = aax， a 即 为 所 求 。 或 以 原 点 O 为 圆 心 ，以 aax 为 半 径 作 弧 ， 在 向 上 引 线 ， 如 图 3-2d 箭 头 所 示 ； 也 可 以 过 原 点 O 作 45辅 助线 ， 过 a 作 aaYH OYH并 延 长 交 所 作 辅 助 线 于 一 点 ，

9、过 此 点 作 OYW轴 垂 线 交 a az于 一点 ， 此 点 即 为 a ， 如 图 3-2e 箭 头 所 示 。X Zaa OYWax YH YHaywazax YWOaa ZX X Za a“a OYWax azYHYHaywayhazax YWOaa“a ZXXa a“a OYWaxazayhaywYHa) b) c)d) e)图 3-2 求 点 的 第 三 投 影33 1 2 点 的 投 影 与 其 直 角 坐 标 的 关 系若 将 三 面 投 影 体 系 中 的 三 个 投 影 面 看 作 是 直 角 坐 标 系 中 的 三 个 坐 标 面 ， 则 三 条 投影 轴 相 当 于

10、 坐 标 轴 ， 原 点 相 当 于 坐 标 原 点 。 如 图 3-3 所 示 ： 空 间 点 （ ， ， ）到 三 个 投 影 面 的 距 离 可 以 用 直 角 坐 标 来 表 示 ， 即 ：空 间 点 到 面 的 距 离 ， 等 于 点 的 轴 坐 标 ， 即空 间 点 到 面 的 距 离 ， 等 于 点 的 轴 坐 标 ， 即空 间 点 到 面 的 距 离 ， 等 于 点 的 轴 坐 标 ， 即ZX YVH WZXa aax az ay a a“aO OYHYWazax aywayha“A(x,y,z) xxz zy yyy侧A侧W侧侧侧A侧H侧侧侧A侧V侧侧a) b)图 3-3 点

11、 的 投 影 与 其 直 角 坐 标 的 关 系由 此 可 见 ， 若 已 知 点 的 直 角 坐 标 ， 就 可 以 作 出 点 的 三 面 投 影 。 而 点 的 任 何 一 面 投影 都 反 映 了 点 的 两 个 坐 标 ， 点 的 两 面 投 影 即 可 反 映 点 的 三 个 坐 标 ， 也 就 确 定 了 点 的 空间 位 置 。 因 而 ， 若 已 知 点 的 任 意 两 个 投 影 ， 就 可 以 作 出 点 的 第 三 个 投 影 。【 例 3-2】 已 知 点 A(50,40， 45)， 作 其 三 面 投 影 图 。解 :作 图 步 骤 如 下 ：（ 1） 方 法 一

12、如 图 3-4a 所 示 。1) 在 投 影 轴 OX、 OYH和 OYW、 OZ 上 ， 分 别 从 原 点 O 截 取 50、 40、 45mm,得 点ax、 ayH和 ayW、 az。2) 过 ax、 ayH、 ayW、 az点 ， 分 别 做 投 影 轴 OX、 OYH、 OYW、 OZ 的 垂 线 ， 就 交 得 A点 的 三 面 投 影 a、 a 、 a 。（ 2） 方 法 二 如 图 3-4b 所 示 。1） 在 OX 轴 上 ， 从 O 点 截 取 50mm,得 ax点 。2） 过 ax点 作 OX 轴 的 垂 线 ， 在 此 垂 线 上 ， 从 ax点 向 下 截 取 40m

13、m,得 a 点 ， 从 ax点 向 上 截 取 45mm， 得 a 点 。3） 在 OYH和 OYW轴 之 间 作 45辅 助 线 ， 从 a 点 作 OYH的 垂 线 与 45线 交 得 ao点 ，过 ao作 OYW轴 垂 线 ， 过 a 作 OZ 轴 垂 线 ， 与 过 ao点 作 出 的 OYW的 垂 线 交 得 a 点 。4ZXa a“a OYHYWazax aywayhayhaywax az YWYHOa a“aXZa) b)图 3-4 已 知 点 的 坐 标 及 其 三 面 投 影3 1 3 特 殊 位 置 点 的 投 影1 投 影 面 上 的 点 当 点 的 三 个 坐 标 中

14、有 一 个 坐 标 为 零 时 ， 则 该 点 在 某 一 投 影 面 上 。 如 图 3-5a 所 示 ，A 点 在 H 面 上 ， B 点 在 V 面 上 ， C 点 在 W 面 上 。 对 于 A 点 而 言 ， 其 H 投 影 a 与 A 重 合 ，V 投 影 a 在 OX 轴 上 ， W 投 影 a 在 OYW轴 上 。 同 样 可 得 出 B、 C 两 点 的 投 影 ， 如 图 3-5b 所 示 。 ZX YVH WZXa a a“aO OYHYWA a“abb b“c cc“CB bb b“cc“ca) b)5图 3-5 投 影 面 上 的 点2 投 影 轴 上 的 点 当 点

15、 的 三 个 坐 标 中 有 两 个 坐 标 为 零 时 ， 则 该 点 在 某 一 投 影 轴 上 。 如 图 3-6a 所 示 ，D 点 在 X 轴 上 ， E 点 在 Y 轴 上 ， F 点 在 Z 轴 上 。 对 于 D 点 而 言 ， 其 H 投 影 d、 V 投 影d 都 与 D 点 重 合 ， 并 在 OX 轴 上 ； 其 W 投 影 d 与 原 点 O 重 合 。 同 样 可 得 出 E、 F 两 点的 投 影 ， 如 图 3-6b 所 示 。 ZX YVH WZXaYHYWA a“a b bb“ccc“CB c“caa b“bcba“a) b)图 3-6 投 影 轴 上 的

16、点3 1 4 两 点 的 相 对 位 置空 间 两 点 的 相 对 位 置 ， 是 以 其 中 一 个 点 为 基 准 ， 来 判 断 另 一 个 点 在 该 点 的 前 或 后 、左 或 右 、 上 或 下 。空 间 两 点 的 相 对 位 置 可 以 根 据 其 坐 标 关 系 来 确 定 ： x 坐 标 大 者 在 左 ， 小 者 在 右 ； y坐 标 大 者 在 前 ， 小 者 在 后 ； z 坐 标 大 者 在 上 ， 小 者 在 下 。 也 可 以 根 据 它 们 的 同 面 投 影来 确 定 ： V 投 影 反 映 它 们 的 上 下 、 左 右 关 系 ， H 投 影 反 映

17、它 们 的 左 右 、 前 后 关 系 ， W 投影 反 映 它 们 的 上 下 、 前 后 关 系 。若 要 知 道 空 间 两 点 的 确 切 位 置 ， 则 可 利 用 两 点 的 坐 标 差 来 确 定 。如 图 3-7a 所 示 ， 已 知 A、 B 两 点 的 三 面 投 影 。 xA xB表 示 A 点 在 B 点 之 左 ，yA yB表 示 A 点 在 B 点 之 前 ， zAzB表 示 A 点 在 B 点 之 下 ， 即 A 点 在 B 点 的 左 、 前 、下 方 , 如 图 3-7b 所 示 。 若 已 知 A、 B 两 点 的 坐 标 ， 就 可 知 道 A 点 在 B

18、 点 左 （ 右 ） 方xA-xB处 (负 数 为 反 方 向 )， A 点 在 B 点 前 （ 后 ） 方 yA-yB处 (负 数 为 反 方 向 )， A 点 在 B点 上 （ 下 ） 方 zA-zB处 (负 数 为 反 方 向 )。 反 之 如 果 已 知 两 点 的 相 对 位 置 ， 以 及 其 中 一点 的 投 影 ， 也 可 以 作 出 另 一 点 的 投 影 。6ZX YVH WZXaYHYWAa“abbb“B aab“bb a“a) b)图 3-7 根 据 两 点 的 投 影 判 断 其 相 对 位 置当 两 个 点 处 于 某 一 投 影 面 的 同 一 投 影 线 上 ，

19、 则 两 个 点 在 这 个 投 影 面 上 的 投 影 便 互相 重 合 ， 这 个 重 合 的 投 影 称 为 重 影 ， 空 间 的 两 点 称 为 重 影 点 。表 3-1 在 投 影 面 的 重 影 点ZX YVHW WHV YX Z ZX YVHWX Z YY YYZX X Z YYab a“b“a(b) c(d)dcd“c“ e fefe“(f“)AB CD EFOOOwh w wh hO O O侧侧侧侧侧侧H侧侧 V侧侧 W侧侧aba(b) a“b“c(d)dcc“d“ e fefe“(f“)在 表 3-1 中 ， 当 A 点 位 于 B 点 的 正 上 方 时 ， 即 它 们

20、 在 同 一 条 垂 直 于 H 面 的 投 影 线上 ， 其 H 投 影 a 和 b 重 合 ， A、 B 两 点 是 H 面 的 重 影 点 。 由 于 A 点 在 上 ， B 点 在 下 ， 向H 面 投 影 时 ， 投 影 线 先 遇 点 A， 后 遇 点 B,所 以 点 A 的 投 影 a 可 见 ， 点 B 的 投 影 b 不 可7见 。 为 了 区 别 重 影 点 的 可 见 性 ， 将 不 可 见 点 的 投 影 用 字 母 加 括 号 表 示 ， 如 重 影 点 a(b)。点 A 和 点 B 为 H 面 的 重 影 点 时 ， 它 们 的 x、 y 坐 标 相 同 ， z 坐

21、 标 不 同 。同 理 ， 当 C 点 位 于 D 点 的 正 前 方 时 ， 它 们 是 相 对 于 V 面 的 重 影 点 ， 其 V 投 影 为c (d )。 当 E 点 位 于 F 点 的 正 左 方 时 ， 它 们 是 相 对 于 W 面 的 重 影 点 ， 其 W 投 影 为e (f )。3 2 直 线 的 投 影两 点 可 以 决 定 一 直 线 ， 直 线 的 长 度 是 无 限 延 伸 的 。 直 线 上 两 点 之 间 的 部 分 （ 一 段直 线 ） 称 为 线 段 ， 线 段 有 一 定 的 长 度 。 本 书 所 讲 的 直 线 实 质 上 是 指 线 段 。3 2

22、1 直 线 的 三 面 投 影直 线 的 投 影 在 一 般 情 况 下 仍 是 直 线 ， 在 特 殊 情 况 下 ， 其 投 影 可 积 聚 为 一 个 点 。 直线 在 某 一 投 影 面 上 的 投 影 是 通 过 该 直 线 上 各 点 的 投 射 线 所 形 成 的 平 面 与 该 投 影 面 的 交线 。 作 某 一 直 线 的 投 影 ， 只 要 作 出 这 条 直 线 两 个 端 点 的 三 面 投 影 ， 然 后 将 两 端 点 的 同面 投 影 相 连 ， 即 得 直 线 的 三 面 投 影 。 如 图 3-8 所 示 ：ZX YVH WZXaYHYWAa“abbb“B

23、aab“bb a“a) b)图 3-8 直 线 的 三 面 投 影3 2 2 直 线 上 点 的 投 影如 果 点 在 直 线 上 ， 则 点 的 三 面 投 影 就 必 定 在 直 线 的 三 面 投 影 之 上 。 这 一 性 质 称 之点 的 从 属 性 。一 直 线 上 的 两 线 段 之 比 ， 等 于 其 同 面 投 影 之 比 。 这 一 性 质 称 之 点 的 定 比 性 。如 图 3-9 所 示 ， 已 知 AB 的 两 投 影 ， C 点 在 AB 上 且 分 AB 为 AC： CB=2： 5， 求 N 点的 两 投 影 。8ZX YVH WZXaYHYWA a“abbb“

24、B aab“bb a“ccc“cc c“Ca) b)图 3-9 求 直 线 上 点 的 投 影3 2 3 各 种 位 置 直 线 的 投 影 特 性按 直 线 与 三 个 投 影 面 之 间 的 相 对 位 置 ， 将 空 间 直 线 分 为 两 大 类 ： 即 特 殊 位 置 直 线和 一 般 位 置 直 线 。 特 殊 位 置 直 线 又 分 为 投 影 面 平 行 线 和 投 影 面 垂 直 线 。 直 线 与 投 影 面之 间 的 夹 角 ， 称 为 直 线 的 倾 角 。 直 线 对 H 面 、 V 面 、 W 面 的 倾 角 分 别 用 希 腊 字 母 、 、 表 示 。1 投 影

25、 面 平 行 线平 行 于 一 个 投 影 面 而 与 另 外 两 个 投 影 面 都 倾 斜 的 直 线 ， 称 为 投 影 面 平 行 线 。 投 影面 平 行 线 可 分 为 以 下 三 种 ：(1)平 行 于 H 面 ， 同 时 倾 斜 于 V、 W 面 的 直 线 称 为 水 平 线 ， 如 表 3-2 中 AB 线 。(2)平 行 于 V 面 ， 同 时 倾 斜 于 H、 W 面 的 直 线 称 为 正 平 线 ， 如 表 3-2 中 CD 线 。(3)平 行 于 W 面 ， 同 时 倾 斜 于 H、 V 面 的 直 线 称 为 侧 平 线 ， 如 表 3-2 中 EF 线 。表

26、3-2 投 影 面 平 行 线9ZXYVHW WHVYXZ ZXYVHWX Z YY YYZX X Z YYa ba“b“ cd“c“ efefAB CD EFOOOwh w wh hO O O侧侧侧侧侧侧 a ba“b“ dc c“d“ eff侧 侧 侧侧abab c d e f“e“f“e“c d d下 面 以 水 平 线 为 例 说 明 投 影 面 平 行 线 的 投 影 特 性 。在 表 3-2 中 ， 由 于 水 平 线 AB 平 行 于 H 面 ， 同 时 又 倾 斜 于 V、 W 面 ， 因 而 其 H 投 影ab 与 直 线 AB 平 行 且 相 等 ， 即 ab 反 映 直

27、线 的 实 长 。 投 影 ab 倾 斜 于 OX、 OYH轴 ， 其 与OX 轴 的 夹 角 反 映 直 线 对 V 面 的 倾 角 的 实 形 ， 与 OYH轴 的 夹 角 反 映 直 线 对 W 面 的 倾角 的 实 形 ， AB 的 V 面 投 影 和 W 面 投 影 分 别 平 行 于 OX、 OYW轴 ， 同 时 垂 直 于 OZ 轴 。同 理 可 分 析 出 正 平 线 CD 和 侧 平 线 EF 的 投 影 特 性 。综 合 表 3-2 中 的 水 平 线 、 正 平 线 、 侧 平 线 的 投 影 规 律 ， 可 归 纳 出 投 影 面 平 行 线 的投 影 特 性 如 下

28、：（ 1） 投 影 面 平 行 线 在 它 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 长 ， 且 倾 斜 于 投 影 轴 ， 该投 影 与 相 应 投 影 轴 之 间 的 夹 角 ， 反 映 空 间 直 线 与 另 外 两 个 投 影 面 的 倾 角 。（ 2） 其 余 两 个 投 影 平 行 于 相 应 的 投 影 轴 ， 长 度 小 于 实 长 。2 投 影 面 垂 直 线垂 直 于 一 个 投 影 面 的 直 线 称 为 投 影 面 垂 直 线 ， 它 分 为 三 种 ：(1)垂 直 于 H 面 的 直 线 称 为 铅 垂 线 ， 如 表 3-3 中 AB 直 线 。(2)

29、垂 直 于 V 面 的 直 线 称 为 正 垂 线 ， 如 表 3-3 中 CD 直 线 。(3)垂 直 于 W 面 的 直 线 称 为 侧 垂 线 ， 如 表 3-3 中 EF 直 线 。下 面 以 铅 垂 线 为 例 说 明 投 影 面 垂 直 线 的 投 影 特 性 。在 表 3-3 中 ， 因 直 线 AB 垂 直 于 H 面 ， 所 以 AB 的 H 投 影 积 聚 为 一 点 a(b)； AB 垂直 于 H 面 的 同 时 必 定 平 行 于 V 面 和 W 面 ， 所 以 由 平 行 投 影 的 显 实 性 可 知a b =a b =AB， 并 且 a b 垂 直 于 OX 轴

30、， a b 垂 直 于 OYW轴 ， 它 们 同 时 平 行于 OZ 轴 。表 3-3 投 影 面 垂 直 线10ZXYVHW WHVYXZ ZXYVHWX Z YY YYZX X Z YYab a“b“a(b) c(d)dcd“c“ e fefe“(f“)AB CD EFOOOwh w wh hO O O侧侧侧侧侧侧 aba(b) a“b“ c(d)c c“d“ e fef e“(f“)d侧 侧 侧侧综 合 表 3-3 中 的 铅 垂 线 、 正 垂 线 、 侧 垂 线 的 投 影 规 律 ， 可 归 纳 出 投 影 面 垂 直 线 的投 影 特 性 如 下 ：(1)直 线 在 它 所 垂

31、直 的 投 影 面 上 的 投 影 积 聚 为 一 点 ；(2)直 线 的 另 外 两 个 投 影 平 行 于 相 应 的 投 影 轴 ， 且 反 映 实 长 。【 例 3-3】 已 知 直 线 AB 的 水 平 投 影 ab， AB 对 H 面 的 倾 角 为 30， 端 点 A 距 水平 面 的 距 离 为 10， A 点 在 B 点 的 左 下 方 ， 求 AB 的 正 面 投 影 a b ， 如 图 3-10a 所 示 。a babax bxOXX Oaxabaa bOX a) b) c)图 3-10 作 正 平 线 的 V 面 投 影解 ：11(1)作 图 分 析由 已 知 条 件

32、可 知 ， AB 的 水 平 投 影 ab 平 行 于 OX 轴 ， 因 而 AB 是 正 平 线 ， 正 平 线 的正 面 投 影 与 OX 轴 的 夹 角 反 映 直 线 与 H 面 的 倾 角 。 A 点 到 水 平 面 的 距 离 等 于 其 正 面 投 影a 到 OX 轴 的 距 离 ， 从 而 先 求 出 a 。(2)作 图 步 骤1)过 a 作 OX 轴 的 垂 线 aax， 在 aax的 延 长 线 上 街 去 a ax=10， 如 图 3-10b 所 示 。2)过 a 作 与 OX 轴 成 30的 直 线 ， 与 过 b 作 OX 轴 垂 线 bbx的 延 长 线 相 交 ，

33、 因 A点 在 B 点 的 左 下 方 ， 故 所 得 交 点 即 为 b ， 连 接 a b 即 为 所 求 ， 如 图 3-10c 所 示 。3 一 般 位 置 直 线与 三 个 投 影 面 都 倾 斜 （ 即 不 平 行 又 不 垂 直 ） 的 直 线 称 为 一 般 位 置 直 线 ， 简 称 一 般线 。从 图 3-11 可 以 看 出 ， 一 般 位 置 直 线 具 有 以 下 的 投 影 特 性 ：(1)直 线 在 三 个 投 影 面 上 的 投 影 都 倾 斜 于 投 影 轴 ， 其 投 影 与 相 应 投 影 轴 的 夹 角 不 能反 映 其 与 相 应 投 影 面 的 真

34、实 的 倾 角 。(2)三 个 投 影 的 长 度 都 小 于 实 长 。ZX YVH WZXaYHYWA a“abbb“B aab“bb a“a) b)O O图 3-11 一 般 位 置 直 线3 2 4 两 直 线 的 相 对 位 置空 间 两 直 线 的 相 对 位 置 可 分 为 三 种 ： 两 直 线 平 行 、 两 直 线 相 交 、 两 直 线 交 叉 。 前两 种 直 线 又 称 为 同 面 直 线 ， 后 一 种 又 称 为 异 面 直 线 。 其 投 影 特 点 如 下 ；1. 平 行 两 直 线 ：性 质 ： 其 同 面 投 影 平 行 或 重 合 。 如 图 3-12

35、所 示 。12ZX YH YWAB CDad ca“b“c“d“badcab cdb Oa) b)图 3-12 平 行 两 直 线 的 投 影2. 相 交 两 直 线 ：性 质 ： 其 同 面 投 影 相 交 或 重 合 ， 且 交 点 符 合 直 线 上 点 的 投 影 规 律 。 如 图 3-13 所 示 ，AB 与 CD 的 交 点 E 的 投 影 符 合 点 的 投 影 规 律 ， 其 投 影 连 线 垂 直 于 相 应 的 投 影 轴 。ZXYHYWABC Dadca“b“c“ d“badcabc db Oa) b)Ee eee“图 3-13 相 交 两 直 线 的 投 影3 交 叉

36、 两 直 线 ：性 质 ： 其 同 面 投 影 相 交 或 平 行 ， 且 交 点 不 符 合 直 线 上 点 的 投 影 规 律 。 如 图 3-14 所示 。13ZX YV Hc dbaa bc dC DA B121(2)3(4)34 3(4)a bdcca db1(2)1243a) b)O OX图 3-14 交 叉 两 直 线 的 投 影3 3 平 面 的 投 影3 3 1 平 面 的 表 示 方 法1 用 几 何 元 素 表 示 平 面平 面 可 用 下 列 任 何 一 组 几 何 元 素 来 确 定 其 空 间 位 置 :(1)不 在 同 一 直 线 上 的 三 点 A、 B、 C，

37、 如 图 3-15a。(2)一 直 线 和 该 直 线 外 一 点 BC、 A， 如 图 3-15b。(3)相 交 两 直 线 ABAC， 如 图 3-15c。(4)平 行 两 直 线 AB CD， 如 图 3-15d。(5)任 意 平 面 图 形 ABC， 如 图 3-15e。在 投 影 图 上 可 以 用 上 述 任 何 一 组 几 何 元 素 的 投 影 表 示 平 面 。14OXaabbcc ccbbaaX O OXaa bbcc OXaabbcc ccbbaaX Odda) b) c) d) e)图 3-15 平 面 的 表 示 方 法以 上 五 种 表 示 平 面 的 方 式 可

38、以 互 相 转 化 ， 第 一 种 是 最 基 本 的 表 示 方 式 ， 后 四 种 都是 由 其 演 变 而 来 的 ， 因 为 我 们 知 道 ： 在 空 间 不 属 于 同 一 直 线 上 的 三 点 能 唯 一 地 确 定 一个 平 面 。 对 同 一 平 面 来 说 ， 无 论 采 用 哪 一 种 方 式 表 示 ， 它 所 确 定 的 空 间 平 面 的 位 置 是始 终 不 变 的 。 需 要 强 调 的 是 ： 前 四 种 只 确 定 平 面 的 位 置 ， 第 五 种 不 但 能 确 定 平 面 的 位置 ， 而 且 能 表 示 平 面 的 形 状 和 大 小 ， 所 以

39、一 般 常 用 平 面 图 形 来 表 示 平 面 。2 用 迹 线 表 示 平 面平 面 的 空 间 位 置 还 可 以 由 它 与 投 影 面 的 交 线 来 确 定 ， 平 面 与 投 影 面 的 交 线 称 为 该平 面 的 迹 线 。 如 图 3-16a 所 示 ， P 平 面 与 H 面 的 交 线 称 为 水 平 迹 线 ， 用 PH表 示 ； P平 面 与 V 面 的 交 线 称 为 正 面 迹 线 ， 用 PV表 示 ； P 平 面 与 W 面 的 交 线 称 为 侧 面 迹 线 ， 用PW表 示 。15ZX YVH WZXYHYWPzPvPx PhPwPy PywPyhPx

40、PzPv PwPhO Oa) b)图 3-16 平 面 的 迹 线 表 示 法一 般 情 况 下 ， 相 邻 两 条 迹 线 相 交 于 投 影 轴 上 ， 它 们 的 交 点 也 就 是 平 面 与 投 影 轴 的交 点 。 在 投 影 图 中 ， 这 些 交 点 分 别 用 PX、 PY、 PZ来 表 示 。 如 图 3-16a 所 示 的 平 面 P,实 质 上 就 是 相 交 两 直 线 PH与 PV所 表 示 的 平 面 ， 也 就 是 说 三 条 迹 线 中 任 意 两 条 可 以 确定 平 面 的 空 间 位 置 ， 其 投 影 如 图 3-16b 所 示 ， 。由 于 迹 线

41、位 于 投 影 面 上 ， 它 的 一 个 投 影 与 自 身 重 合 ， 另 外 两 个 投 影 与 投 影 轴 重 合 ，通 常 用 只 画 出 与 自 身 重 合 的 投 影 并 加 标 记 的 办 法 来 表 示 迹 线 ， 凡 是 与 投 影 轴 重 合 的 投影 均 不 标 记 。 特 殊 位 置 平 面 中 有 积 聚 性 的 迹 线 两 端 用 短 粗 实 线 表 示 ， 中 间 用 细 实 线 相连 ， 并 标 出 迹 线 符 号 。3 3 2 各 种 位 置 平 面 的 投 影 特 性根 据 平 面 与 投 影 面 的 相 对 位 置 的 不 同 ， 将 空 间 平 面 分

42、 为 两 大 类 ： 即 特 殊 位 置 平 面和 一 般 位 置 平 面 。 特 殊 位 置 平 面 又 分 为 投 影 面 平 行 面 和 投 影 面 垂 直 面 。1 投 影 面 平 行 面平 行 于 一 个 投 影 面 （ 同 时 必 然 垂 直 于 另 外 两 个 投 影 面 ） 的 平 面 称 为 投 影 面 平 行 面 ，它 分 为 三 种 ：(1)平 行 于 H 面 的 平 面 称 为 水 平 面 ， 如 表 3-4 中 的 平 面 P。(2)平 行 于 V 面 的 平 面 称 为 正 平 面 ， 如 表 3-4 中 的 平 面 Q。(3)平 行 于 W 面 的 平 面 称 为

43、 侧 平 面 ， 如 表 3-4 中 的 平 面 R。在 表 3-4 中 ， 水 平 面 P 平 行 于 H 面 ， 同 时 与 V 面 、 W 面 垂 直 。 其 水 平 投 影 反 映 图形 的 实 形 ， V 投 影 和 W 投 影 均 积 聚 成 一 条 直 线 ， 且 V 投 影 平 行 于 OX 轴 ， W 投 影 平 行 于OYW轴 ， 它 们 同 时 垂 直 于 OZ 轴 。 同 理 可 分 析 出 正 平 面 、 侧 平 面 的 投 影 情 况 。综 合 表 3-4 中 水 平 面 、 正 平 面 、 侧 平 面 的 投 影 规 律 ， 可 归 纳 出 投 影 面 平 行 面

44、 的 投影 特 性 如 下 ：(1)平 面 在 它 所 平 行 的 投 影 面 上 的 投 影 反 映 实 形 ；(2)平 面 在 另 外 两 个 投 影 面 上 的 投 影 积 聚 为 一 直 线 ， 且 分 别 平 行 于 相 应 的 投 影 轴 。表 3-4 投 影 面 平 行 面16ZXYVHW WHVYXZ ZXYVHWX Z YY YYZX X Z YYOOwh w wh hO O O侧侧侧侧侧侧侧 侧 侧 侧p p“ppp p“qqq“q q“q rr r“r“rrP Q R2 投 影 面 垂 直 面垂 直 于 一 个 投 影 面 ， 并 且 同 时 倾 斜 于 另 外 两 个

45、投 影 面 的 平 面 称 为 投 影 面 垂 直 面 。它 也 分 为 三 种 情 况 ：(1)垂 直 于 H 面 ， 倾 斜 于 V 面 和 W 面 的 平 面 称 为 铅 垂 面 ， 如 表 3-5 中 的 平 面 P。(2)垂 直 于 V 面 ， 倾 斜 于 H 面 和 W 面 的 平 面 称 为 正 垂 面 ， 如 表 3-5 中 的 平 面 Q。(3)垂 直 于 W 面 ， 倾 斜 于 H 面 和 V 面 的 平 面 称 为 侧 垂 面 ， 如 表 3-5 中 的 平 面 R。表 3-5 投 影 面 垂 直 面ZX YVHW WHV YX Z ZX YVHWX Z YY YYZX

46、X Z YYwh w wh hO O O侧侧侧侧侧侧侧 p p“ppp p“qqq“q q“q rr r“r“rrP Q R侧 侧 侧17平 面 与 投 影 面 的 夹 角 称 为 平 面 的 倾 角 ， 平 面 与 H 面 、 V 面 、 W 面 的 倾 角 分 别 用 、 、 标 记 。 在 表 3-5 中 ， 平 面 P 垂 直 于 水 平 面 ， 其 水 平 面 投 影 积 聚 成 一 倾 斜 直线 p， 倾 斜 直 线 p 与 OX 轴 、 OYH轴 的 夹 角 分 别 反 映 铅 垂 面 P 与 V 面 、 W 面 的 倾 角 和 ， 由 于 平 面 P 倾 斜 于 V 面 、 W

47、 面 ， 所 以 其 正 面 投 影 和 侧 面 投 影 均 为 类 似 形 。综 合 分 析 表 3-5 中 的 平 面 Q 和 平 面 R 的 投 影 情 况 ， 可 归 纳 出 投 影 面 垂 直 面 的 投 影特 性 如 下 ：(1)平 面 在 它 所 垂 直 的 投 影 面 上 的 投 影 积 聚 成 一 直 线 ， 此 直 线 与 相 应 投 影 轴 的 夹 角反 映 该 平 面 对 另 外 两 个 投 影 面 的 倾 角 ；(2)平 面 在 另 外 两 个 投 影 面 上 的 投 影 为 原 平 面 图 形 的 类 似 形 ， 面 积 比 实 形 小 。以 上 两 种 特 殊 位

48、 置 的 平 面 如 果 不 需 表 示 其 形 状 和 大 小 ， 只 需 确 定 其 位 置 ， 可 用 迹线 来 表 示 ， 且 只 用 有 积 聚 性 的 迹 线 即 可 。 如 图 3-17a 所 示 为 铅 垂 面 P， 不 需 如 图 3-17b 所 示 那 样 把 所 有 迹 线 都 画 出 ， 只 需 画 出 PH就 能 确 定 空 间 平 面 P 的 位 置 ， 如 图 3-17c 所 示 。a) b) c)XZYPv PwPhVH W OZX YhYwPv Pw OXPhPh图 3-17 特 殊 位 置 平 面 的 迹 线 表 示 法【 例 3-4】 如 图 3-18a 所 示 ， 已 知 正 方 形 平 面 ABCD 垂 直 于 V 面 以 及 AB 的 两 面投 影 ， 求 作 此 正 方 形 的 三 面 投 影 图 。18ZXYHYWX O Oa(d) b(c)a bad cba“b“a(d) b(c) b“c“a) b)图 3-18 求 作 正 方 形 的 三 面 投 影解 ：(1)作 图 分 析由 已 知 条 件 得 知 ， 正 方 形 ABCD 为 一 正 平 面 ， 因 而 AB、 CD 边 是 正 平 线 ， AD、 BC 边是 正 垂 线 ， a b 长 即 为 正 方 形 各 边 的