1、 2014年全国高考理科数学压轴题汇总 备注：本文档整理时删去了部分省份的送分小问。 1. 设数列 na 的前 n 项和为 nS 。若对任意的正整数 n ，总存在正整数 m ，使得 nmSa ，则称 na 是“ H 数列”。 （ 1）设 na 是等差数列，其首项 1 1a ，公差 0d ，若 na 是“ H 数列”，求 d 的值； （ 2）证明：对任意的等差数列 na ，存在两个“ H 数列” nb 和 nc ，使得 n n na b c *()nN 成立。（江苏） 2. 已知常数 （ 1）讨论 在区间 上的单调性； （ 2）若 存在两个极值点 且 求 的取值范围（湖南） 3. 函数 ( )
2、ln ( 1) ( 1)axf x x axa ， 设 111, ln( 1)nna a a ，证明： 23+2 2nann.（大纲卷） 4. 已知函数2( ) 1xf x e ax bx ，其中 ,ab （ 1）设()gx是函数fx的导函数，求函数()gx在区间0,上的最小值； （ 2）若(1) 0f ，函数()在区间0,1)内有零点，求 a的取值范围（四川） 5. 求证 ：对任意给定的正数 c ， 总存在正数 0x ， 当 0xx 时 ，恒有 2 xx ce （ 福建 ） 6. 已知抛物线 ） 0(2: 2 ppxyC 的焦点为 F ， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点 A 的直线
3、l 交于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ,且有 FA FD ,当 A 的横坐标为 3 时 ， ADF 为正三角形 ，若直线 1ll， 且 1l 与 C 仅有一个公共点 E 。 ABES 是否存在最小值 ， 若存在 ，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 （山东） 7. 设数列 na 满足 2111, 2 2 1n n na a a a ，问是否存在实数 c 使得 2 2 1nna c a 对 n 恒成立 （ 重庆 ） 8. 已知数列 na 满足 1 1a ， 且11 33 n n na a a（ 1）若数列 na 为公比为 q 的等比数列 ， 定义1nnkkSa， 且对于 n ，11
4、 33 n n nS S S， 求 q 的取值范围 （ 2）若 12, ka a a 成等差数列 ， 且 1000kS ， 求 k 的最大值 ， 并求此时数列的公 差 （上海） 9. 设函数 ( ) ln (1 ) , ( ) ( ) , 0f x x g x x f x x （ 1）若 ( ) ( )f x ag x 恒成立，求实数 a 的取值范围； （ 2）设 nN ，比较 1nk gk与 n f n 的大小，并加以证明 .（ 陕西 ） 20 , ( ) ln (1 ) .2xa f x a x x 函 数()fx (0, )()fx 12,xx 12( ) ( ) 0,f x f xa1
5、0. 若 2k ， 222 12 2 2 3fx x x k x x k ， （ 1）求 fx的递增递减区间 （ 2）若 6k ， 解不等式 1f x f （广东） 11. 设实数 0c ，整数 1,pn， 数列 1 111 1, ppn n n npca a c a a app ， 求证 ： 11 pnna a c（ 安徽 ） 12. 已知 1.4142 2 1.4143， 2xxf x e e x ， 8g x f x f x求 ln2 的近似值 （ 精确到 0.001）（新课标 2） 13. 比较 33,3 , , ,3 ,eeee的大小 （湖北） 14. 已知函数 ).(33 Raax
6、xxf （ 1） 若 xf 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 )(),( amaM ，求 )()( amaM ； （ 2） 设 b 若 2 4f x b对 1,1x 恒成立，求 ba3 的取值范围 .（浙江 ） 15. 求证：当 0x 时 ， 12ln 1xx eex x（ 新课标 1） 16. 随机将 1, 2 , 2 , 2n n N n 这 2n 个数分成 ,AB两组 ， 每组 n 个数 ， 为 A 中最大数与最小数之差 ， 为B 中最大数与最小数之差 ， C 表示事件 “ ”，判断 ,P C P C 的大小（江西） 17. 已知函数 8( ) ( c o s ) ( 2 ) (
7、s in 1 )3f x x x x x ， 2( ) 3 ( ) c o s 4 (1 s i n ) ln ( 3 )xg x x x x x . 证明：（ 1）存在唯一0 (0, )2x ，使 0( ) 0fx ； （ 2）存在唯一1 ( , )2x ，使 1( ) 0gx ，且对（ 1）中的 01xx .（ 辽宁 ） 18. 设函数 xf x x ae a ， 已知函数 fx有两个零点 12,xx， 求证 ： 12xx 随着 a 的减小增大 （天津） 19. 对于数对序列 1 1 2 2, , , , ,nnP a b a b a b ， 定义数列 nTP如下 ： 1 1 1T P a b， 1 1m a x , 2kk k k iiT P b T P a k （ 1）设 min , , ,m a b c d ， , , , , , , ,P a b c d P c d a b， 当 ma 和 md 时 ， 分别讨论 2TP和 2 TP的大小关系 （ 2）求一个由五个数对 11 , 8 , 5 , 2 , 16 ,11 , 11 ,11 , 4 , 6构成的序列 P ， 使 5TP最小并求 5TP的值 （ 北京 ）
