1、,三、基本可行解的几何意义,1、 讨论课堂练习1-2 （1）观察图解法求解图，其中点I、H、G均在第一象限，它们是基本解，但不是基本可行解，这与基本可行解非负性有无矛盾？ （2）如何求得基本解？,第一步 模型标准化； 第二步 按照基本解的定义 找基（非退化3阶方阵）多少个？不超过 ，为什麽？怎麽找？ 确定基变量和非基变量； 令非基变量为0，解出基变量； 基变量和相应非基变量搭配构成基本解；,求解结果：H(6,4,-6,0,0)T, C(3,1,0,3,0)T,B(2,2,0,0,2)T, D(2,0,2,4,0)T, F(-2,0,6,0,4)T, I(4,0,0,6,-2)T, E(0,-2
2、,6,6,0)T, A(0,1,3,0,3)T, G(0,4,0,-8,6)T, O(0,0,4,2,2)T,（3）求得的基本解和图解法对照，找出相应的点； 2、结论：(1) 基本解对应所有可行域边界延长线、坐标轴之间的交点；(2) 基本可行解对应可行域的顶点。,1、基本概念： 凸集设K是n维欧氏空间的一个点集，若任意两点X（1）K，X（2）K的连线上的一切点：X（1）+（1-）X（2） K（01），则称K为凸集。,四、线性规划解的性质,凸组合设X（1） ，X（2） ，X（k） 是n维欧氏空间中的K个点，若存在k个数1， 2 ， k ,满足0i1, i=1,2, ,k； ， 则称X=1X（1）
3、+2X（2）+kX(k)为X（1）, ，X（2） ，X（k）的凸组合。,顶点设K是凸集，XK；若X不能用X（1） K，X（2） K 的线性组合表示，即XX（1）+（1-）X（2） （01）则称X为K的一个顶点（也称为极点或角点）。,1、定义“顶点”的方式有什麽特点？ 2、这种定义方式在什麽场合运用最方便？,讨 论,2、线性规划问题解的性质定理：,定理1-1 线性规划问题的可行解集 （即可行域） 是凸集。,证明思路：根据凸集定义，采用直接法证明； 具体步骤：从D中任取两个不同的点，应满足 可行解定义中相应的条件；证明X=X(1)+(1-)X(2)D (利用，证明X满足凸集定义中相应的条件),定理
4、1-2 线性规划几何理论基本定理 若 ， 则X是D的一个顶点的充分必要条件是X为线性规 划的基本可行解。 证明思路：定理1-2是X是D的一个顶点 X为LP的基本可行解; 引理是X为LP的基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性无关; 从而将问题 转化为 X是D的一个顶点 X的正分量所对应的系数列向量线性无关,证明要点：（1）引理: X为LP的基本可行解X的正分量所对应的系数列向量线性无关 必要性由基本可行解定义直接证得 充分性正分量K个,（2）定理1-2 （反证法）,必要性第一步：将反证法假设和已知条件具体化；第二步：寻找X附近的属于D的两个点X（1）和X（2）（技巧：将第一步得到的两个式子
5、相加减得到）； 第三步：选取适当的，可保证X=1/2X（1）+1/2X（2），从而与“X是顶点”矛盾。,充分性 第一步：将反证法假设具体化，明确正分量； 第二步：由大前提X是可行解,找出不全为0的一组数； 第三步：得到P1,P2,，Pm线性相关的结论，与已知条件矛盾；,定理1-3 若可行域非空有界，则线性规划问题的目标函数一定可以在可行域的顶点上达到最优值。 证明思路： 首先可行域非空有界就肯定有最优解 本定理要证明的是设在非顶点X处取得最优值，则存在顶点X（1）和X（2）也取得相同的最优值。,定理1-4 若目标函数在k个点处达到最优值（k2）,则在这些顶点的凸组合上也达到最优值. 证明思路：
6、根据凸组合的定义直接证得结论。,课后小组讨论2： （1）读懂证明，理清思路，写出从最罗嗦的证明过渡到最简洁的证明过程（加上边注段落大意）可以作为小实践选题！ （2）P70习题1-4（检查是否属于可行域；检查相应的Pj是否线性相关）,上述4个定理的一些有意义的启示：,LP的可行域一定是凸集，但是凸集不一定成为LP的可行域，而非凸集一定不会是LP的可行域。（为什麽？能举例说明吗？） 线性规划的基本可行解和可行域的顶点是一一对应的（类似于坐标与点的对应关系！）,在可行域中寻找LP的最优解可以转化为只在可行域的顶点中找，从而把一个无限的问题转化为一个有限的问题。若已知一个LP有两个或两个以上最优解，那麽就一定有无穷多个最优解。,
