1、【专题】平面几何：线段垂直相等问题一、 简介在一些几何证明题中，条件出现正方形、等腰直角三角形，或者一些其他线段的位置和数量关系，然后求证两条线段垂直且相等。这类题目有一定的技巧性，现总结出通用方法如下。二、 基本方法若两个全等三角形两边对应垂直，则它们的第三边也垂直。如图，OAOC 且 OA=OC，OBOD 且 OB=OD，=ABCD 且 AB=CD。在具体的题目中，要求找到或者构造这样的适合条件的全等三角形，证明 这两个辅助三角形另外两边分别垂直相等，即可推出第三边（即需证边）垂直且相等 。具体方法为：（一） 要证的两条线段共端点如图，要证 OAOB 且 OA=OB，可以考虑分别过 A、B
2、 作过 O 的一条直线的垂线，证明AOC BOD。或者直接找到 OCOD 且 OC=OD，再证 ACBD 且 AC=BD 即可。选择要根据题目灵活处理。（二） 要证的两条线段不共端点如图，要证 ABCD 且 AB=CD，看起来两条线段毫无沟通关系，比较难下手。实际上，根据上述基本方法的定义，方法不言而喻：连接异线段端点 BD，以 BD 为斜边作等腰RT BDO，证明 OAOC 且 OA=OC 即可。另外，如果直接证明有困难，可以考虑 利用中位线的知识，把要证的线段位似放大为原来的两倍 ，放大后保持原线段位置关系。证明放大后的线段垂直相等就可以了。三、 例题及解析1、如图，任意三角形 ABC，以
3、 AB 和 AC 为边向外作两个正方形 ABGF 和 ACDE，M 是 GD 中点。求证：MB MC 且 MB=MC。解析：要证的线段 MB、MC 共端点，结合过 M 有一条与已知条件关联非常大的直线DG，经尝试可知应过 B、 C 作 DG 垂线。这时需证 MP=CQ 和 BP=QM。显然条件还是无法利用，于是再过 E、F 作 EK、FJ DG 。以证 MP=CQ 为例，首先不难得 CQ=DK，故只需证 MP=DK，即证明 PK=MD= DG。为了12看图方便，去掉多余部分，重新作图如下：在 GD 上取 N 使 PG=PN，则可推 BN=BG，进而得 B 是ANG 外心，得ANG=45，又由
4、EA=ED， AND=135 可得 E 是AND 的外心，故 EN=ED，即 NK=DK，于是就得 PK= GD。122、如图，分别以任意三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形 ABGF、CBHI 和ACDE，O1、O2、O3 分别是三个正方形的中心。求证：AO2=O1O3 且 AO2O1O3。解析：根据基本方法，要证的线段不共端点，于是连接 AO1，并以 AO1 为边作等腰RT AO1M，发现 M 恰好在 AB 中点上！ 之后要证 MO2MO3 且 MO2=MO3。不难联想到利用中位线把它们同时放大为原来的 2倍，且不改变位置关系。而 CICB 且 CI=CB，CACD 且 CA=CD，于
5、是 AIBD 且 AI=BD，于是 MO2MO3 且 MO2=MO3。3、如图，以任意四边形 ABCD 的四条边为边，向外作四个正方形AEFB，BGHC，CIJD，DKLA。设它们的中心分别为 O1，O2，O3，O4。求证：O1O3=O2O4且 O1O3O2O4。解析：类比例题 2，连接 O1O2 并以其为斜边作等腰 RTO1O2M，看起来 M 还是难以确定。实际上若作图精确，就会发现 M 是 AC 中点。类似题 2，利用中位线把另外两组边（MO1 和 MO2，MO3 和 MO4）放大为原来的 2 倍且不改变位置关系，即可得证。4、如图，四边形 ABCD、四边形 AFGE 都是正方形，M 是
6、CG 的中点。求证：MD MF且 MD=MF。解析：MD 和 MF 共端点，而且发现 DEBF 且 DE=BF（由 AD 和 AB 垂直且相等，AE 和AF 垂直且相等得到） ，可以考虑连接 ME 和 MB，证明 ME 和 MB 垂直且相等即可。如图，倍长 GE 至 P，倍长 CB 至 Q，再一次利用中位线放大 ME 和 MB，需证 CP 和 QG垂直且相等。这可以由 APAG 且 AP=AG，AC AQ 且 AC=AQ 得到。5、如图，四边形 ABCD、四边形 EFGH 都是正方形，M、N、P、Q 分别是AE， BF，CG ，DH 中点。求证：四边形 MNPQ 也是正方形。解析：即证明 QPQM 且 QP=QM（另外一组同理） 。直接证明有困难，就考虑利用中位线位似放大，于是如图倍长 GQ 至 K，倍长 HM 至 J，证明 DJCK 且 DJ=CK 即可。这一点是明显的。首先，DCDA 且 DC=DA，然后因为 DKGH 且 DK=GH，AJHE 且 AJ=HE，而 GHHE 且 GH=GE，于是 DKAJ 且 DK=AJ。这样命题就得证了。
