1、几何 之 五大模型 在小学奥数知识体系中， 几何五大模型 是几何专题中 非常重要 的一块知识点 ，方法性很强，掌握了几何的五大模型，对于我们解决组合型直图形或者非规则图形是非常有帮助的，所以几何五大模型在小学几何体系中的重中之重！几何五大模型的难点在于我们要在掌握各个模型适用的题型、相应的方法、公式的基础上学会灵活运用，还有就是有时要根据题意同时运用 多种 模型 ，从而更好的解决问题！ PS:对于不同题型均会有例题讲解分析以及精选练习题，以供大家有针对性学习巩固，相信大家对于应用题的攻克将不在话下！ 一、五大模型简介 （ 1）等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等； 2、两个三角形高相
2、等，面积之比等于底之比，如图 所示， S1： S2=a:b； 3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图 所示， S1： S2=a:b； 4、在一组平行线之间的等积变形，如图 所示， SACD=SBCD；反之，如果SACD=SBCD， 则可知直线 AB 平行于 CD。 例、如图，三角形 ABC 的面积是 24， D、 E、 F 分别是 BC、 AC、 AD 的中点，求三角形DEF 的面积。 （ 2）鸟头（共角）定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形； 2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。 如图下图三角形 ABC 中， D、
3、 E 分别是 AB、 AC 上或 AB、 AC 延长线上的点 则有： SABC： SADE=（ ABAC）：（ ADAE） 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！ 如图连接 BE，根据等积变化模型知 SADE： SABE=AD： AB SABE： SCBE=AE： CE 所以 SABE： SABC=SABE：（ SABE+SCBE） =AE： AC 因此 SADE： SABC =（ SADE： SABE） （ SABE： SABC） =（ AD： AB） （ AE： AC）。 例、 如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB： AD=5:2， AE：EC=
4、3:2， ADE 的面积为 12 平方厘米，求 ABC 的面积。 （ 3）蝴蝶模型 1、梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理 ”) 例、如图，梯形 ABCD， AB 与 CD 平行，对角线 AC、 BD 交于点 O，已知 AOB、 BOC的面积分别为 25 平方厘米、 35 平方厘米，求梯形 ABCD 的面积。 2、任意四边形中的比例关系 (“蝴蝶定理 ”)： 例、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、 BD 交于点 O，如果三角形 ABD 的面积等于三角形 BCD 面积的 1/3，且 AO=2、 DO=3，求 CO 的长度是 DO 长度的几倍。 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的
5、一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形 内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 （ 4）相似模型 1、相似三角形：形状相同 ,大小不相等的两个三角形相似； 2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相 交，所构成的三角形与原三角形相似。 3、相似三角形性质： 相似三角形的一切对应线段 (对应高、对应边）的比等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似模型 大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有 BC 平行DE 这样的一对平行线！ 例、如图
6、，已知在平行四边形 ABCD 中， AB=16、 AD=10、 BE=4，那么 FC 的长度是多少？ （ 5）燕尾模型 由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴，所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型 ,看一下它都有哪些性质： SABG： SACG=SBGE： SCGE=BE： CE SBGA： SBGC=SGAF： SGCF=AF： CF SAGC： SBGC=SAGD： SBGD=AD： BD 例、如图， E、 D 分别在 AC、 BC 上，且 AE： EC=2:3， BD： DC=1:2， AD 与 BE 交于点 F，四边形 DFEC 的面积等于 22 平 方厘米，求三角形 ABC 的面积。
7、 二、五大模型经典例题详解 （ 1）等积变换模型 例 1、图中的 E、 F、 G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ 例 2、 如图所示， Q、 E、 P、 M 分别为直角梯形 ABCD 两边 AB、 CD 上的点，且 DQ、CP、 ME 彼此平行，已知 AD=5、 BC=7、 AE=5、 EB=3，求阴影部分三角形 PQM 的面积。 （ 2）鸟头（共角）定理模型 例 1、如图所示，平行四边形 ABCD， BE=AB、 CF=2CB、 GD=3DC、 HA=4AD，平行四边形 ABCD 的面积为 2，求平行四边形 ABCD 与四边形 E
8、FGH 的面积比。 例 2、如图所示， ABC 的面积为 1， BC=5BD、 AC=4EC、 DG=GS=SE、 AF=FG，求 FGS 的面积。 （ 3）蝴蝶模型 例 1、如图，正六边形面积为 1，那么阴影部分面积为多少？ 例 2、如图，长方形 ABCD 被 CE、 DF 分成四块，已知其中 3 块的面积分别为 2、 5、8 平方厘米，求余下的四边形 OFBC 的面积。 例 3、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 10 厘米， E 为 AD 的中点， F 为 CE 的中点，G 为 BF 的中点，求三角形 BDG 的面积。 （ 4）相似模型 例 1、如图，正方形的面积为 1， E、 F 分
9、别为 AB、 BD 的中点， GC=1/3FC,求阴影部分的面积。 例 2、如图，长方形 ABCD， E 为 AD 的中点， AF 与 BD、 BE 分别交于 G 和 H， OE垂直于 AD，交 AD 于 E 点，交 AF 于 O 点，已知 AH=5,HF=3,求 AG 的长。 （ 5）燕尾模型 例 1、如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点，求四边形 BGHF 的面积。 例 2、如图，在 ABC 中， BD=2DA、 CE=2EB、 AF=2FC，那么 ABC 的面积是阴影GHI 面积的几倍？ 例 3、如图，在 ABC 中，点 D
10、是 AC 的中点，点 E、 F 是 BC 的三等分点，若 ABC的面积是 1，求四边形 CDMF 的面积。 三、巩固练习 1、如图，在角 MON 的两边上分别有 A、 C、 E、 B、 D、 F 六个点，并且 OAB、 ABC、BCD、 CDE、 DEF 的面积都等于 1，求 DCF 的面积。 2、如下图， ABCD 为平行四边形， EF 平行 AC，如果 ADE 的面积为 4 平方厘米，求三角形 CDF 的面积。 3、如下图，在三角形 ABC 中， BD=2AD， AG=2CG， BE=EF=FC，求四边形 DGFE 面积占三角形 ABC 的几分之几？ 4、如图，四边形 EFGH 的面积是
11、66 平方米， EA=AB、 CB=BF、 DC=CG、 HD=DA，求四边形 ABCD 的面积。 5、边长为 1 的正方形 ABCD 中， BE=2EC、 FC=DF，求三角形 AGE 的面积。 6、如图，一个长方形被一些直线分成了若干个小块，已知三角形 ADG 的面积为 11，三角形 BCH 的面积为 23，求四边形 EGFH 的面积。 7、如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料， BC=120 毫米，高 AD=80 毫米。现在要把它加工成一个正方形零件，是正方形的一边在 BC 上， 其余两个顶点分别在 AB、 AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 8、如图，已知正方形 ABCD 的面积为 120 平方厘米， E 是 AB 边的中点， F 是 BC 边的中点，求四边形 BGHF 的面积。 9、如图，正方形 ABCD 的边长是 12 厘米， E、 F 分别是 AB、 BC 的中点， AF 与 CE 交于点 G，求四边形 AGCD 的面积。 10、如图，在四边形 ABCD 中， AB=3BE、 AD=3AF，四边形 AEOF 的面积是 12，求平行四边形 BODC 的面积。 四 、巩固练习 详解
