1、 微分几何复习题一、填空题1. 向量 具有固定方向，则 = 。(),3)rtta a2. 非零向量 满足 的充要条件是 。,0r3. 若向量函数 满足 ，则 具有固定 。()t()t()rt4. 曲线 的正常点是指满足 的点.r5. 曲线 在任意点的切向量为 。3()2,)tte6. 曲线 在 点的切向量为 。coshin,)ratta0t7. 曲线 在 点的切向量为 。(),tb8. 设曲线在 P 点的切向量为 ，主法向量为 ，则过 P 由 确定的平面,是曲线在 P 点的 。9. 若 是曲线 的正则点，则曲线 在 的密切平面方程0()rt()rt ()rt0r是 。10. 曲线 在点 的单位
2、切向量是 ，则曲线在 点的法平面方()t0()t0()t程是 。11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率 。12. 曲线 在 t = 1 点处有 ，则曲线在 t = 1 对应的点处其挠率()r2= 。(1)13. 曲线 x=cost，y=sin t, z=t 在 t=0 处的切线方程是 。14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。16. 曲线 =t3t2t, t22t+2, 2上的点不是正常点的是 t = 。()r17. 曲线 的曲率是 。18. 曲线 的挠率是 。()rt19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。20. 曲率为0的曲线
3、是 , 挠率为0的曲线是 。21. 设有曲线 ，当 时的切线方程为 2:,ttCxeyz1t。22. 设有曲线 ，当 时的切线方程为 ttt ezyex,sin,co0。23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。24. 在旋转曲面 中， 是旋转曲面的经线。()cos,()in,()rttt25. 若点(u 0, v0)为曲面的正则点，则 在(u 0, v0)满足 。vr26. 曲面 在点 的法线方程是 。(zxy0(,)yz27. 直纹面的参数表示总可以写成 。r28. 如果 曲线族和 曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 uv。29. 曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族
4、为它的正交轨线的坐标网是 。31. 已知曲面 的第一类基本量为 E、 F、G，则两方向 du:dv 与(,)ruv垂直的充要条件是 。:uv32. 对曲面 有 ,则曲面上曲线 u=u(t),v=v(t)从 到(,)2243ddv0t (t )的弧长 s = 。033. 若曲面 在(0，1) 点处的第二基本形式 ，则在(,)ruv 23dv(0，1)点处， 。其中 为曲面的单位法向量。un n34. 已知曲面 的第二类基本量 L、M、N ，则曲面上渐近曲线的微(,)rv分方程是 。35. 若曲面 的第一基本形式为 ，曲面在一点的(,)u22dsEuGdv切向 与 u-线的夹角为 ,则曲面在这点沿
5、切方向 的测地曲率 = drrgk。36. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。37. 曲线 在 点的主法向量是 ，则曲线在 P 点的从切平面方程()rt0Pt是 。38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是39. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。40. 半径为 R 的球面的高斯曲率 K= 。41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零。42在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。43球面 上， 线是球面cos,cosin,sirR上的纬圆。44在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。45曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。38曲面上的曲纹
6、坐标网为正交网的充要条件是 。46极小曲面是指 的曲面。47曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.48两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。49设曲面在点 P 处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。50法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.51距离单位球面球心距离为d (00； B. 0； C. = 0； D. 符号不确定。54. 对于圆柱面 ，以下结论不正确的是 ( )cos,in,raubvA. 坐标网是正交网； B. 沿同一直母线的切平面是同一个； C. 其上高斯曲率为零； D. 其上没有抛物点。55. 曲面 是其单位法向量，下列第二类基本量的计算中，不正(,)rv确的是 ( )A. ； B. ； C. ；D. 。uvMnuvrnuvMrnuvrn56. 球面上的大圆不可能是球面上的 ( )A. 测地线； B. 曲率线； C. 法截线；D. 渐近线。
