1、111.1 二次曲线的几何性质1、解（1） 时 ,同时 025),(2YXYX )52(:1:iX04152I曲线为椭圆型，有两个共轭的渐近方向： )5(1i（2） 时 和34),(22 1: :3:Y同时 , 曲线为双曲型，有两个渐近方向： 和013I 1（3） 时 , 同时02),(2YXY: 02I曲线为抛物型，有一个实渐近方向：1：12、解（1） , 曲线是中心曲线. 由 49252I 0235),(21yxyF解得 中心为yx),1(（2） ， , 曲线为线心曲线。0392I 32112a（3） ，且 , 曲线为无心曲线。433、解（1）由 解得中心023),(21yxyF),5(由
2、 得渐近方向为 ， 5),(YXYX 2:1:1YX1:2:YX所以渐近线方程是 和 , 即 和1503yx0yx（2）由 解得中心 ,由 0),(221yxF)0(),(22解得渐近方向为 X:Y= , 所以渐近线方程是 和:)i1yix1yix即 和)1(i1(yx4、解（1） , , 273,yx 452),(2F29),(1F, 所求切线方程为 即 5),2(F 015)(90289yx（2） 不在二次曲线上；4)1,(,设过点 的切线与已知二次曲线相切于 ，那么切线方程为),(0yx32)(000yxx2把 代入切线方程得 )1,2(0x又因 在曲线上，把它代入曲线方程得 0yx 0
3、340202 yxyx由解得切点为 ，代入得 切线方程为 和)1,(3, 15、解（1） ， , , 特征方程为 528A58I 36582I 62解得 , 求得 对应的特征向量 , , 所以主方向是9,421,21， , 主直径是 与)(:1YX:2YX 0)(),(yxFYyxX, 即 与0,2yxFyx 8)4(yx, 就是 与0)85(85（2） ， ，54A11I 92I特征方程为 ，解得 ，求得 对应的特征向量902,2121, , 所以主方向是 1 :1YX)1(:2YX主直径为 与 ,0)()(211yxFYyxX 0),(),(yxFyx即 与 x（3） , , , 特征方程
4、为 ，629A5691I 1629I 052解得 ， , 求得 对应的特征向量是 , 所以5102,433,非渐近主方向是 , 渐近主方向是 , 主直径只有一条，就是 )4(:31YX:2YX, 即),(4),(2yxF07yx6、证明：（1）中心曲线有椭圆型和双曲型两类，设其中心为 ，则因为 是方程),(0yx),(0yx的唯一解，可设过 的直线方程为 0),(2 ),(0 ,21F对于椭圆型曲线，因只有两个虚的渐近方向，所以任何实方向都是它的非渐近方向，故又表示与非渐近方向 共轭的直径的方程。:对于双曲型曲线，当中的 为非渐近方向时，就是与 共轭的直径方程；当:为渐近方向时，方程即为渐近线
5、，可把它看成与自己方向共轭的直径。 综上，第一结论:得证。（2）对无心二次曲线，它只有唯一的渐近方向: ，1212: aaYX设任意平行于 的直线方程为 :YX012yxa要证明是直径，要求有如下形式： （),(),(yxF）:YX即 )()( 2312112 yaxa比较，得： 2YYaXaY23112又由求得 为使与相容，只须证明上面求得的)(:)(: 132113：假设:YX 12322 :)(:a则有 1113212aa3从而有 即 与无心曲线的充要条件 矛盾。012313a231a231a所以 综上所述，对任意平行于渐近方向的直线，当取非渐近方向:YX时成为直径，具有形式。)(:)(
6、 11212311.2 直角坐标变换1、 解： （1） 5M521Myx52yx（2） yxyx522、解（1）已知 所以 因而4,3i 53,j 534M53415453ji ,jij（2） 即 231yx 21534yxyx（3）由公式 得 )( 01XM yxyx3、解（1）解 得 所以新坐标系的原点 的坐标为（1，1）734yx1xO又 的斜率 ，得 ， 所以坐标变换式为ltan54cos3in1543yy（2）把坐标变换式代入直线方程 得032yx即)()154(xx 42yx（3） 到 的变换式为：yo 51753 yy代入直线 得 032x012x411.3 二次曲线的化简与分类
7、1、利用转轴与移轴，化简下列二次曲线方程，并画出它们的图形。2222581890;43;4.xyxyxyxy解（1）矩阵 , , ,特征方程为 解之得 54A101I92AI 0912, .求得 相应的单位特征向量为 9122,12,2建立旋转坐标变换式： 其中 代入原方程化简得：MX21配方得 0921892xyx 09)(9yx作平移坐标变换 2Xy得 所以，曲线的标准方程是 （椭圆） 092yx 192yx总的坐标变换式 1221yxyyx新坐标原点就是曲线的中心（1，1）新坐标轴（两条主直径）在原坐标系的方程是和 2xx即 和0y0y（2）标准方程是 x45（3）标准方程是 192（4
8、）标准方程是 y2、利用不变量与半不变量，判断下列二次曲线的类型，并求化简后的标准方程。52222221610;34;45690xyxyxyxy解（1） ， ，1I 8132I 0163I所以二次曲线是双曲线。 特征方程是 ，解得022,41因此，简化方程是 其标准方程是 08642yx 22yx（2）二次曲线是椭圆。 简化方程是 标准方程是 086442yx 142yx（3）二次曲线是两条相交直线。 简化方程是 0)5()(2x标准方程是 .（4）二次曲线是两平行直线。 简化方程是 )25(yx 0572y标准方程是 （5）二次曲线是椭圆。简化方程是57标准方程是 .01235yx 1)3(
9、2)( yx3、就 的值讨论下列方程所表示的曲线的类型：221;50.xxyy解（1） ， ，1I 1122I 32513 I，按不变量符号，讨论如下：当 时，曲线是椭圆；051K 10当 或 且 时，曲线是双曲线；当 时，曲线为一对相交直线；02121当 时，曲线是抛物线；当 时，曲线是一对重合直线。（2） ， ， ，1I )(2I )(353I )15(1K按这些不变量符号讨论如下： 时曲线是椭圆; 时曲线是抛物线; 1时，曲线是双曲线; 时，曲线是一对相交直线; 时，曲线是双533曲线; 时，曲线是一对虚平行直线 ; 时，曲线是虚椭圆。4、试证中心二次曲线 的两条主直径是 且曲线两半轴的
10、长分别22axhyd20,xy6是 及dah证明： ， ，由题意知道曲线是中心二次曲线，从而 ，且中I212haI 02ha心就是（0，0） 。同时，二次曲线的特征方程为： ,解得特征根为)(22a， .显然 ，且若 ，则主直径就是 x 轴与 y 轴，这和所设12 0,21h矛盾，从而 ，可知 。 由于由特征根所确定的两个主方向为：0h.:)(:1ahYX 1:)(:2hYX得两主直径方程为 及 .yx 0)(yaxa即 和 .yxy为了求得曲线的两半轴之长，我们以两主直径为 和 轴进行旋转坐标变换： 将其代入原方程得 其中 ， 2yx dyhax22)()( 1ha，它们均不为零，而且若 d
11、=0，则原曲线为两相交于原点的直线或者就是原点，此时ha命题显然成立。若 ，则方程变形为 即 0d 122hadyx（其中的符号分别由 与 的符号决定） ，这曲线的两1 22hayhax半轴正是题目所求证。5、试证方程 表示一个圆的充要条件是221113230xyaxya2134,0II证明：（必要性）若原方程表示一个圆，则经坐标变换后它可简化为 ，其02321Iyx中 是特征方程 的两个相等的实根。根据 得知 210212I 4I，同时圆属于椭圆型，显然满足 。 （充分性）若 ， ，则4I31I 2131，从而 。于是，原方程属于椭圆型曲线，经过坐标变换后的简化方程为： 00其中由 知特征方程 的特征根为两相等实2321Iyx 214I 0212I根 ，同时根据特征根的性质知 ，所以 与 异号，可0),(ii 3I变形为 ，其中 为正实数，这就证明了原曲线表示一个圆。 123I123I
