1、1电磁感应中的单杆问题汉川实验高中 刘玉平教学目标：（一）知识与技能掌握电磁感应中的力学问题的求解方法.（二）过程与方法通过电磁感应中的力学问题的学习，掌握运用理论知识探究问题的方法。（三）情感、态度与价值观通过电磁感应中的力学问题的学习，培养学生对不同事物进行分析，找出共性与个性的辩证唯物主义思想。教学重点：电磁感应中的力学问题的求解方法.教学难点：电磁感应中的力学问题的求解方法.教学方法：探究法、归纳法教学用具：多媒体电脑、投影仪、投影片。教学过程：（一）知识复习1.法拉第电磁感应定律的内容：感应电动势的大小跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。公式 （感应电动势的大小）tnE2.导体做切
2、割磁感线运动时，若 B、L、v 中只有两者相互垂直，v 与 B 有一夹角 ，导体棒中感应电动势的大小 sinl3.将产生感应电动势的那部分导体（或线圈）看作电源，感应电动势就是电源电动势，导体或线圈的电阻就是电源内阻，导体或线圈两端的电压要按路端电压来处理（导体或线圈在此时是一段含电源的电路，不是纯电阻电路，不能直接套用欧姆定律 I= ）. RU4.感应电流的大小由感应电动势的大小和电路的总电阻决定，符合闭合电路的欧姆定律。5.在电磁感应现象中，电路闭合有感应电流，电路不闭合虽没有感应电流，但感应电动势仍然存在，感应电动势是闭合回路产生感应电流的原因6. 通电导线在磁场中受到的安培力 F=BI
3、Lsin ，根据左手定则判断安培力的方向。7.对于电磁感应现象中的力的问题，可用牛顿第二定律或动量定理求解。8.对于电磁感应现象中的力的问题，可用焦耳定律、动能定理或能量守恒定律等求解。（二）例题精讲【例 1】如图所示，长平行导轨 PQ、MN 光滑，相距 m，处在同一水平面中，磁感应强5.0l度 B=0.8T 的匀强磁场竖直向下穿过导轨面横跨在导轨上的直导线 ab 的质量 m =0.1kg、电阻 R =0.8，导轨电阻不计导轨间通过开关 S 将电动势 E =1.5V、内电阻 r =0.2 的电池接在 M、P 两端，试计算分析：（1）导线 ab 的加速度的最大值和速度的最大值多大？（2）在闭合开
4、关 S 后，怎样才能使 ab 以恒定的速度 2=7.5m/s 沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明） 解析:（1）在 S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有电磁感应现象，由 a 到 b 的电流A，ab 受安培力水平向右，此时瞬时加速度 m/s20.5EIRr 06FBIlmaab 运动起来且将发生电磁感应现象ab 向右运动的速度为 时，感应电动势 ，根BlvE据右手定则，ab 上的感应电动势（a 端电势比 b 端高）在闭合电路中与电池电动势相反电路中的电流（顺时针方向， ）将减小（小于 I0=1.5A） ，ab 所受的向右的安培力随之减小，ERrI加速度
5、也减小尽管加速度减小，速度还是在增大，感应电动势 E 随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随之进一步减小，当感应电动势 与电池电动势 E 相等时，电路中电流为零，ab 所受安培力、加速度也为零，这时 ab 的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动可见，在 S 刚闭合的瞬间，ab 加速度最大。最大值为 m/s206FBIlma当感应电动势 与电池电动势 E 相等时，ab 的速度达到最大值。设最终达到的最大速度为m，根据上述分析可知： 0mBl所以 m/s=3.75m/s1.508El（2）如果 ab 以恒定速度 m/s 向右沿导轨运动，则 ab 中感应电动势7.
6、V=3V.Blv由于 ，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：EA=1.5A2.08513 rREI直导线 ab 中的电流由 b 到 a，根据左手定则，磁场对 ab 有水平向左的安培力作用，大小为N=0.6N.508. BlIF所以要使 ab 以恒定速度 m/s 向右运动，必须有水平向右的恒力 N 作用于7v 6.0Fab上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：作用于 ab 的恒力（F）的功率： W=4.5W5.760FvP电阻（R + r）产生焦耳热的功率： W=2.25W)2.08(1)(22 rRI逆时针方向的电流 ，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能
7、量，I以化学能的形式储存起来电池吸收能量的功率： W=2.25W.5IE由上看出， ，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变） P3【例 2】 如图所示，水平固定的光滑 U 形金属框架宽为 L，足够长，其上放一质量为 m 的金属棒 ab，左端连接有一阻值为 R 的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻均可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为 B现给棒 ab 一个初速度 0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图甲所示（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻 R 的电量和电阻 R 中产生的热量；（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为 Q 时，杆 ab
8、的加速度多大？（3）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；（4）如果将 U 形金属框架左端的电阻 R 换为一电容为 C 的电容器，其他条件不变，如图乙所示求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量） 解析：（1）由动量定理得 即 所以0Ftmv0ILBtmv0vqBL由能量守恒定律得 21Q（2）设此时杆的速度为 v，由动能定理有： 而 QWvA1202WA解之 由牛顿第二定律 及闭合电路欧姆定律 得 FBILmaAIBLvR（3） BSLsEttEBLsqItR所以 02mvB（4）当金属棒 ab 做切割磁力线运动时，要
9、产生感应电动势，这样，电容器 C 将被充电，ab 棒中有充电电流存在，ab 棒受到安培力的作用而减速到某一速度 v 时，ab 棒两端产生的感应电动势与电容器两板间的电势差相等， 即 BLv=UC= /cQ此时回路中不再有充放电电流，ab 棒就不再受安培力的作用，而是以速度 v 做匀速运动，系统内外不再发生任何能量的转化. 而对导体棒 ab 利用动量定理可得： -BL =mv-mv0 c4由上述二式可求得： CLBmv2002cCBLmvQ22 200011()cEv【例 3】如图所示，AB、CD 是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为 L，导轨平面与水平面的夹角为 ，在整个导轨平面内
10、都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为 B，在导轨的 AC 端连接一个阻值为 R 的电阻，一根质量为 m、垂直于导轨放置的金属棒 ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中 ab 棒的最大速度。已知 ab 与导轨间的动摩擦因数为 ，导轨和金属棒的电阻都不计。解析：ab 沿导轨下滑过程中受四个力作用，即重力 mg，支持力FN 、摩擦力 Ff 和安培力 F 安 ，如图所示，ab 由静止开始下滑后，将是 （ 为增大符号） ，所以这是个变aIEv安加速过程，当加速度减到 a=0 时，其速度即增到最大 v=vm，此时必将处于平衡状态，以后将以vm 匀速下滑ab 下滑时因切割磁感线，要产生感应电动
11、势，根据电磁感应定律： E=BLv 闭合电路 AC ba 中将产生感应电流，根据闭合电路欧姆定律： I=E/R 据右手定则可判定感应电流方向为 aAC ba，再据左手定则判断它受的安培力 F 安 方向如图示，其大小为： F 安 =BIL 取平行和垂直导轨的两个方向对 ab 所受的力进行正交分解，应有：FN = mgcos Ff= mgcos由可得 RvLB2安以 ab 为研究对象，根据牛顿第二定律应有：mgsin mgcos- =mav2ab 做加速度减小的变加速运动，当 a=0 时速度达最大因此，ab 达到 vm 时应有： mgsin mgcos- =0 RvLB2由式可解得 2cossin
12、LBg注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。【例4】如图所示，竖直放置的两根足够长的光滑金属导轨相距为L，导轨的两端分别与电源5（串有一滑动变阻器R)、定值电阻、电容器（原来不带电）和开关S相连整个空间充满了垂直于导轨平面向外的匀强磁场，其磁感应强度的大小为B。一质量为m，电阻不计的金属棒ab横跨在导轨上已知电源电动势为E，内阻为r，电容器的电容为C，定值电阻的阻值为R 0，不计导轨的电阻(1)当S接1时，金属棒ab在磁场中恰好保持静止
13、，则滑动变阻器接入电路的阻值 R多大？(2)当S接2后，金属棒ab从静止开始下落，下落距离s时达到稳定速度，则此稳定速度的大小为多大？下落s的过程中所需的时间为多少？(3)先把开关S接通2，待ab达到稳定速度后，再将开关S接到3试通过推导，说明ab棒此后的运动性质如何？解析：(1) ，得,EBILmgIRrBLrmg(2) ，得20v02L由动量定理得 ，其中mgtBIv0BLsItqR得422002RLsgLst （3）S接3后的充电电流为 ， ，得qCUvIBLCattmgBILa=常量。2mga所以ab棒做“匀加速直线运动“，电流是恒定的(三）课堂练习与课后作业1图所示中回路竖直放在匀强
14、磁场中，磁场的方向垂直于回路平面向外，导线 AC 可以贴着光滑竖直长导线下滑，设回路的总电阻恒定为 R，当导线 AC 从静止开始下落后，下面有关回路中能量转化的叙述中正确的说法有（ CD ）（A）导线下落过程中机械能守恒（B）导线加速下落过程中，导线减少的重力势能全部转化电阻上产生的热量（C）导线加速下落过程中，导线减少的重力势能转化为导线增加的动能和回路中增加的内能（D）导线达到稳定速度后的下落过程中，导线减少的重力势能全部转化为回路中增加的内能2在如图所示甲、乙、丙三图中，除导体棒 ab 可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器 C 原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略不计
15、，导体棒和导轨间的摩擦也忽略不计，图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长.今给导体棒 ab 一个向右的初速度 v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒 ab 的最终运6动状态是（B）A.三种情形下导体棒 ab 最终均做匀速运动B.甲、丙中 ab 棒最终将以不同的速度做匀速运动，乙中 ab 棒最终静止C.甲、丙中 ab 棒最终将以相同的速度做匀速运动，乙中 ab 棒最终静止D.三种情形下 ab 棒最终都静止解析：甲图中电容器充电完毕后，ab 棒将以某一速度向右匀速运动，丙图中 ab 棒稳定运动时，电路中的电流为 0，必须以某一速度向左运动，乙图中 ab 棒做
16、匀减速运动直至静止.3在方向水平的、磁感应强度为 0.5 T 的匀强磁场中，有两根竖直放置的导体轨道 cd、ef ，其宽度为 1 m，其下端与电动势为 12 V、内电阻为 1 的电源相接，质量为 0.1 kg 的金属棒 MN的两端套在导轨上可沿导轨无摩擦地滑动，如图所示，除电源内阻外，其他一切电阻不计，g=10 ms 2，从 S 闭合直到金属棒做匀速直线运动的过程中 （ CD ） A电源所做的功等于金属棒重力势能的增加 B电源所做的功等于电源内阻产生的焦耳热C匀速运动时速度为 20 ms D匀速运动时电路中的电流强度大小是 2 A4如图所示，金属框架与水平面成 30角，匀强磁场的磁感强度 B=
17、0.4T，方向垂直框架平面向上，金属棒长 l0.5m，重量为 0.1N，可以在框架上无摩擦地滑动，棒与框架的总电阻为 2，运动时可认为不变，问：(1)要棒以 2ms 的速度沿斜面向上滑行，应在棒上加多大沿框架平面方向的外力？(2)当棒运动到某位置时，外力突然消失，棒将如何运动？(3)棒匀速运动时的速度多大？(4)达到最大速度时，电路的电功率多大？重力的功率多大？5MN 和 PQ 为竖直方向的两平行长直金属导轨，间距 l 为 0.40m，电阻不计导轨所在平面与磁感应强度 B 为 0.50T 的匀强磁场垂直质量 m 为 6.010-3kg、电阻为1.0 的金属杆 ab 始终垂直于导轨，并与其保持光
18、滑接触导轨两端分别接有滑动变阻器和阻值为 3.0 的电阻 R1当杆 ab 达到稳定状态时以速率 匀速下滑，整个电路消耗的电功率 P 为 0.27W，重力加速度取 10m/s2，试求速率 和滑动变阻器接入电路部分的阻值 R2 解析：由能量守恒，有 mgv=P 代入数据 v=4.5 m/s又 E=BLv 设电阻 R1 与 R2 的并联电阻为 R 外 ，ab 棒的电阻为 r，有7答案：v=4.5 m/s R 2=6.0 6.(05 江西模拟) 水平面上有两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为 L，一端通过导线与阻值为 R 的电阻连接；导轨上放一质量为 m 的金属杆（如图），金属杆与导轨的电阻忽略不
19、计；均匀磁场垂直纸面向内。用与导轨平行的恒定拉力 F 作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动。当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度 v 也会变化，v 与 F 的关系如图 8 所示，取重力加速度 ，求：（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？（2）若 ；磁感应强度 B 为多大？（3）由 图线的截距可求得什么物理量？其值为多少？解析：（1）物体在运动的过程中，速度越来越大，电动势也越来越大，所以安培力也越来越大，故加速度越来越小，当外力 F 等于安培力时，加速度等于 0，从此以后开始做匀速运动。答案为变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）。（2）感应电动势 感应电流 安培力 由图线
20、可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零。所以 由图线可以得到直线的斜率 ，所以：（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力：若金属杆受到的阻力仅为滑动摩擦力，由截距可求得动摩擦因素7如图所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨单位长度电阻为 r0，导轨的端点 P、Q 用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离为 有垂直纸面向里的非匀强磁场，其磁感应强度l沿 y 方向大小不变，沿 x 方向均匀增强，即有 ，其中 为Bkx常数一根质量为 m，电阻不计的金属杆 MN 可在导轨上无摩擦地8滑动，在滑动过程中 始终保持与导轨垂直在 t0 时刻，金属杆 MN 紧靠在 P、Q 端，在外力F
21、作用下，杆以恒定的加速度 从静止开始向导轨的另一端滑动求:a（1）在 t 时刻金属杆 MN 产生的感应电动势大小；（2）在 t 时刻流经回路的感应电流大小和方向；（3）在 t 时刻金属杆 MN 所受的安培力大小答案： （1）E=skla 2t3/2 （ 2）I=klat/2r 0 方向逆时针 （3）F=k 2a2l2t3/4r09如图所示，导轨是水平的，其间距 l1=0.5m，ab 杆与导轨左端的距离 l2=0.8m，由导轨与 ab杆所构成的回路电阻为 0.2，方向垂直导轨平面向下的匀强磁场的磁感应强度 B0=1T，滑轮下挂一个重物 M 质量为 0.04kg，ab 杆与导轨之间的摩擦不计，现使
22、磁场以 的变化sTt/.率均匀的增大， 问：当 t 为多少时， M 刚离开地面。解析：闭合回路的磁通量发生变化，要产生感应电流，在磁场中受到安培力的作用，当绳子绷紧，物体 M 刚要离开地面时，绳子中拉力大小 F1 应等于重力大小，也等于棒 ab 所受的安培力F2 的大小，即 gF121而 ，从而得1BIlBIl其中 ， tt2.00ARtBlEI4.021代入数据得 st5.10如图所示，两根竖直放置在绝缘地面上的金属框架上端接有一电容量为 C 的电容器，框架上有一质量为 m，长为 L 的金属棒，平行于地面放置，与框架接触良好且无摩擦，棒离地面的高度为 h，磁感应强度为 B 的匀强磁场与框架平
23、面垂直，开始时电容器不带电，将棒由静止释放，问棒落地时的速度多大？落地时间多长？解析：此题主要用来考查考生对匀变速直线运动的理解，这种将其电容和导棒有机地综合在一起，使之成为一种新的题型从另一个侧面来寻找电流的关系式，更有一种突破常规思维的创新，因而此题很具有代表性经分析，导棒在重力作用下下落，下落的同时产生了感应电动势由于电容器的存在，在棒上产生充电电流，棒将受安培力的作用，因此，棒在重力作用和安培力的合力作用下向下运动，由牛顿第二定律 F=ma，得故 mgFB=ma ，F B=BiL 由于棒做加速运动，故 v、 a、 、 FB 均为同一时刻的瞬时值，与此对应电容器上瞬时电量为 Q=C ，而
24、 =BLv设在时间 t 内，棒上电动势的变化量为 ，电容器上电量的增加量为Q，显然 =BLv ，Q=C ，再根据电流的定义式 ， tQitva，联立得： CLBmga2由式可知，a 与运动时间无关，且是一个恒量，故棒做初速度为零的匀加速直线运动，其落地速度为 v，则 ，将代入得：h29，落地时间可由 ，得 ，将代入上式得CLBmghv2 21athahtmgCLBLgt )(22评析：本 题 应 用 了 微 元 法 求 出 Q 与 v 的关系，又利用电流和加速度的定义式，使电流 i和加速度 a 有机地整合在一起来求解，给人一种耳目一新的感觉读后使人颇受启示11如右图所示，一平面框架与水平面成
25、37角，宽 L=0.4 m，上、下两端各有一个电阻 R01 ，框架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度 B2T.ab 为金属杆，其长度为 L0.4 m，质量 m0.8 kg，电阻 r0.5，棒与框架的动摩擦因数 0.5.由静止开始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻 R0 产生的热量Q00.375J(已知 sin370.6，cos37=0.8；g 取 10ms2)求：(1)杆 ab 的最大速度；(2)从开始到速度最大的过程中 ab 杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过 ab 的电荷量.解析：该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关
26、知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。（1） 杆 ab 达到平衡时的速度即为最大速度 v，这时mgsin F =0，N=mgcosNF=mg（sincos）总电阻 ， ， ，120rRBlvERIBILF，得vLBF smLmg5.2)cos(sin2克服磁场力所做的功数值上等于产生的总电能即，JQW5.120由动能定理： 021cossinmvgWmg)cos(si21v10通过 ab 的电荷量 ，代入数据得 q2 CRBLstIq12 如图所示，倾角 =30、宽度 L=1m 的足够长的“U”形平行光滑金属导轨固定在磁感应强度 B =1T，范围足够大的匀强磁场中，
27、磁场方向垂直于斜面向下。用平行于轨道的牵引力拉一根质量 m =0.2、电阻 R =1 的垂直放在导轨上的金属棒 a b，使之由静止开始沿轨道向上运动。牵引力做功的功率恒为 6W，当金属棒移动2.8m 时，获得稳定速度，在此过程中金属棒产生的热量为 5.8J，不计导轨电阻及一切摩擦，取g=10m/s2。求：（1）金属棒达到稳定时速度是多大？（2）金属棒从静止达到稳定速度时所需的时间多长?解：（1）金属棒沿斜面上升达稳定速度时，设所受的安培力为 F 安 ，由平衡条件得： F=mgsin+F 安 而 F 安 =BIL=B L 又 RvvP联立以上三式解得 v = 2m/s （2）由能量转化与守恒定律
28、可得 Pt = mgssin+ +Q 21m代入数据解得：t =1.5s 13如图 ，二相互平行的光滑金属导轨位于水平面内，间距 ，在导轨的一端接有阻值为 的电阻；在 区域有一与水平面垂直的均匀磁场 ；一质量为的金属杆垂直放置在导轨上并以 的初速度进入磁场中，在安培力及垂直于杆的水平外力 F 共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为 方向与初速度方向相反；设导轨及金属杆的电阻均不计且接触良好求：（1）电流为 0 时金属杆所处的位置？（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力 F 的大小及方向？（3）保持其它条件不变而初速度 取不同值，则开始时外力 F 的方向与初速度 取值的关系？解析：由题意
29、知杆必向右作匀减速直线运动到速度为0 后再向左作匀加速直线运动直到离开磁场区域，故电流为 0 时表示杆的速度为 0；杆向右匀减速直线运动的位移为 得 ；杆的运动速度变化时电路中的电动势变化，故电流相应变化，由电动势 有杆运动的速度最大则电路中感应电动势最大、电流最大，即最大电流必为 ；当电11流为最大值的一半时即 时：若此时杆向右运动，则外力方向不定，我们假设外力 F 水平向右由牛顿定律有即 ，故杆向右运动中外力 F 大小为 018N 方向水平向左；若此时杆向左运动，则外力 F 方向必水平向左且有 即代入数据得 。（3）杆开始运动时速度为 ，则电动势为 ，故安培力为 ；那么对杆由牛顿定律有 即
30、 ：当 即 时， 表示外力 F 方向与 X 轴方向相反；当 即 时， 表示外力 F 方向与 X 轴方向相同.8如图所示，在磁感强度为 0.1T 的匀强磁场中有一个与之垂直的金属框ABCD，框电阻不计，上面接一个长 0.1m 的可滑动的金属丝 ab，已知金属丝质量为 0.2g，电阻 R0.2，不计阻力，当导体 ab 从静止开始下落后，（1）试定性分析 ab 下落的整个运动过程；（2）导体 ab 下落的稳定速度；（3）试定性分析导体从静止达到稳定速度过程中的能量转化；（4）导体稳定后电路的热功率。（5）若在 R 处加一开关 K，ab 下落时间 t 后再合上K，ab 的运动可能会怎样？ 解析：（1）
31、mg ILB=ma I=E/R E=BL V 联立三式得：mg B2L2 V /R= ma 可见，随着 V 的增大， 加速度 a 减小，当 mg= B2L2 V /R 即当 Vm=mgR/B2L2 时速度达到最大，此后导体 ab 将以最大速度匀速下落。故导体 ab 先作加速度减小的变减速运动，然后作匀速运动。（2）mg=ILB I=E/R E=BL Vm 联立三式得：V m=mgR/B2L2=4ms (3)重力势能转化电能和导体棒的动能；（4）导体稳定后，重力势能全部转化为电能，重力的功率就等于电功率。P=m 2g2R/B2L2 (5)FA= B2L2 /R 若 FAmg 作变减速运动；若 F
32、Amg 变加速运动；若 FA=mg 匀速运动。 变式 1：将上题的框架竖直倒放，使框平面放成与水平成 30角，不计阻力，B 垂直于框平12面，求 v m？(2ms) 变式 2：上题中若 ab 框间有摩擦阻力，且 0.2，求 v m？(1.3ms) 变式 3：若不计摩擦，而将 B 方向改为竖直向上，求 v ？(2.67ms) 变式 4：若此时再加摩擦 0.2，求 v m？(1.6ms) 变式 5：如在原题中的 AC 中间加 0.3v、r0.8 的电池，求 v m？变式 6：如在变式 2 中的 AC 中间加 0.3v、r0.8 的电池，求 v ？(20ms) 变式 7：上题中若有摩擦，0.2，求 v m？ 变式 8：B 改为竖直向上，求 v ？ 变式 9：将电池 反接时的各种情况下，求 v m？QQ876593190 13807292330
