1、1电磁感应问题的综合应用一、单杆问题1、如图所示，一对光滑的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨间距 l=0.5m，左端接有阻值R=0.3 的电阻，一质量 m=0.1kg，电阻 r=0.1 的金属棒 MN 放置在导轨上，整个装置置于竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度 B=0.4T，棒在水平向右的外力作用下，由静止开始以 a=2m/s2 的加速度做匀加速运动，当棒的位移 x=9m 时撤去外力，棒继续运动一段距离后停下来，已知撤去外力前后回路中产生的焦耳热之比 Q1：Q 2=2:1，导轨足够长且电阻不计，棒在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，求（1）棒在匀加速运动过程中，通过电
2、阻 R 的电荷量 q（2）撤去外力后回路中产生的焦耳热 Q2（3）外力做的功 WF2、如图所示，两足够长的平行光滑的金属导轨 MN、PQ 相距为 L1m，导轨平面与水平面夹角30 ，导轨电阻不计磁感应强度为 B12T 的匀强磁场垂直导轨平面向上，长为 L1m 的金属棒 ab 垂直于 MN、PQ 放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为 m12 kg、电阻为 R11.两金属导轨的上端连接右侧电路，电路中通过导线接一对水平放置的平行金属板，两板间的距离和板长均为 d0.5m ，定值电阻为 R23，现闭合开关 S 并将金属棒由静止释放，重力加速度为 g10m/s 2，试求：(1)金属棒下滑
3、的最大速度为多大？(2)当金属棒下滑达到稳定状态时，整个电路消耗的电功率 P 为多少？(3)当金属棒稳定下滑时，在水平放置的平行金属间加一垂直于纸面向里的匀强磁场 B23T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一质量为 m2310 4 kg、带电量为 q110 4 C 的液滴以初速度 v 水平向左射入两板间，该液滴可视为质点要使带电粒子能从金属板间射出，初速度 v 应满足什么条件？BMNR a2二、双杆问题：3、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为 L。导轨上面横放着两根导体棒 ab 和 cd，构成矩形回路，如图所示两根导体棒的质量均为 m，电阻均为 R，回路中其余部
4、分的电阻可不计在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行开始时，棒 cd 静止，棒 ab 有指向棒 cd 的初速度v0若两导体棒在运动中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少（2）当 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时，cd 棒的加速度是多少？4、如图所示，abcd 和 a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。ab、a /b/间的宽度是 cd、c /d/间宽度的 2 倍。设导轨足够长，导体棒 ef 的质量是棒 gh 的质量的2 倍。现给导体棒 ef 一个初速度 v0，沿导轨向左运动，当两棒的速度稳
5、定时，两棒的速度分别是多少？Bv0La cdbaa/bb/dd/cc/efgh3三、综合应用5、如图，质量为 M 的足够长金属导轨 abcd 放在光滑的绝缘水平面上。一电阻不计，质量为 m 的导体棒 PQ 放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc 构成矩形。棒与导轨间动摩擦因数为，棒左侧有两个固定 于水平面的立柱。导轨 bc 段长为 L，开始时 PQ 左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为 R0。以 ef 为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为 B。在 t0 时，一水平向左的拉力 F 垂直作用于导轨的 bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加
6、速度为 aX（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式；（2）经过多少时间拉力 F 达到最大值，拉力 F 的最大值为多少？（3）某一过程中回路产生的焦耳热为 Q，导轨克服摩擦力做功为 W，求导轨动能的增加量。6、如图所示，间距为 l、电阻不计的两根平行金属导轨 MN、PQ（足够长）被固定在同一水平面内，质量均为 m、电阻均为 R 的两根相同导体棒 a、b 垂直于导轨放在导轨上，一根轻绳绕过定滑轮后沿两金属导轨的中线与 a 棒连接，其下端悬挂一个质量为 M 的物体 C，整个装置放在方向竖直向上、磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中。开始时使 a、b、C 都处于静止状态，现释放 C，经过时
7、间 t，C 的速度为 、b 的速度为 。不计一切摩擦，两棒始终与导轨接触良好，12重力加速度为 g，求：（1）t 时刻 C 的加速度值；（2）t 时刻 a、b 与导轨所组成的闭合回路消耗的总电功率。B b e Q a F B c f P d 47、如图甲所示，一端封闭的两条平行光滑导轨相距 L，距左端 L 处的中间一段被弯成半径为 H 的1/4 圆弧，导轨左右两段处于高度相差 H 的水平面上。圆弧导轨所在区域无磁场，右段区域存在磁场 B0，左段区域存在均匀分布但随时间线性变化的磁场 B(t)，如图乙所示，两磁场方向均竖直向上。在圆弧顶端，放置一质量为 m 的金属棒 ab，与导轨左段形成闭合回路
8、，从金属棒下滑开始计时，经过时间 t0 滑到圆弧底端。设金属棒在回路中的电阻为 R，导轨电阻不计，重力加速度为 g。金属棒在圆弧内滑动时，回路中感应电流的大小和方向是否发生改变？为什么？求 0 到时间 t0 内，回路中感应电流产生的焦耳热量。探讨在金属棒滑到圆弧底端进入匀强磁场 B0 的一瞬间，回路中感应电流的大小和方向。8、如图所示，将边长为 a、质量为 m、电阻为 R 的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为 b、磁感应强度为 B 的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里线框向上离开磁场时的速度刚好是进入磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进入磁场整个运动过程中始终存在
9、着大小恒定的空气阻力 f 且线框不发生转动求： 线框在下落阶段匀速进入磁场时的速度 v2； 线框在上升阶段刚离开磁场时的速度 v1；线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热 QB(t)tO2t0t0B0HHLLabB0B(t)H图 10-60-8乙甲abB52、解析：(1)当金属棒匀速下滑时速度最大，设最大速度为 vm，达到最大时则有 m1gsin F 安F 安 ILB 1，I ，所以 m1gsin ，解得最大速度 vm10 m/s.B1LvmR1 R2 B21L2vmR1 R2(2)整个电路消耗的电功率 Pm 1gsin vm，所以 P100 W.(3)金属棒下滑稳定时，两板间电压 UIR
10、215 V，因为液滴在两板间有 m2gq ，所以该液滴在Ud两平行金属板间做匀速圆周运动，当液滴恰从上板左端边缘射出时：r 1d ，所以 v10.5 m2v1B2qm/s；当液滴恰从上板右侧边缘射出时：r 2 ，所以 v20.25 m/sd2 m2v2B2q初速度 v 应满足的条件是：v0.25 m/s 或 v0.5 m/s.答案：(1)10 m/s (2)100 W (3)v0.25 m/s 或 v0.5 m/s3、解析：ab 棒向 cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，于是产生感应电流ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速运动，cd 棒则在安培力作用下作加速运
11、动在 ab 棒的速度大于 cd 棒的速度时，回路总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度 v 作匀速运动（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有 mv20根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 22041)(1vmQ（2）设 ab 棒的速度变为初速度的 3/4 时，cd 棒的速度为 v1，则由动量守恒可知：10043vmv此时回路中的感应电动势和感应电流分别为： ，BLE)43(10REI2此时 棒所受的安培力： ，所以 棒的加速度为 cdIBLFcdmFa由以上各式，可得 。mRva4
12、024、解析：当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒 ef 的速度减小到 v1， 导体棒gh 的速度增大到 v2，则有 2BLv1-BLv2=0，即 v2=2v1。对导体棒 ef 由动量定理得： 0mvtIBL对导体棒 gh 由动量定理得： 2由以上各式可得： 02013,vv66、解析：（1）根据法拉第电磁感应定律，t 时刻回路的感应电动势 12()EBlt回路中感应电流 2EIR以 a 为研究对象，根据牛顿第二定律 TBIlma以 C 为研究对象，根据牛顿第二定律 Mg联立以上各式解得 212()la（2）解法一：单位时间内，通过 a 棒克服安培力做功，把 C 物体的一部分重力
13、势能转化为闭合回路的电能，而闭合回路电能的一部分以焦耳热的形式消耗掉，另一部分则转化为 b 棒的动能，所以，t 时刻闭合回路的电功率等于 a 棒克服安培力做功的功率，即21211()BlPIlR解法二：a 棒可等效为发电机，b 棒可等效为电动机a 棒的感应电动势为 1aElv闭合回路消耗的总电功率为 aPI联立解得 21211()BllR解法三：闭合回路消耗的热功率为 v热b 棒的机械功率为 212()lPIlv机故闭合回路消耗的总电功率为 P热 机 121()BlR说明：在单位时间 t 内，整个系统的功能关系和能量转化关系如下：7、解：感应电流的大小和方向均不发生改变。因为金属棒滑到圆弧任意
14、位置时，回路中磁通量的变化率相同。 0t 0 时间内，设回路中感应电动势大小为 E0，感应电流为 I，感应电流产生的焦耳热为 Q，由法拉第电磁感应定律：200BELt根据闭合电路的欧姆定律： REI0由焦定律及有： tBLQ0242设金属进入磁场 B0 一瞬间的速度变 v，金属棒在圆弧区域下滑的过程中，机械能守恒：21mvgH7在很短的时间 内，根据法拉第电磁感应定律，金属棒进入磁场 B0 区域瞬间的感应电动势为tE，则：，txvt20()BL由闭合电路欧姆定律及，求得感应电流：00tgHRI根据讨论：I.当 时，I=0；02tLgII.当 时， ，方向为 ；0tH002tLgHRBI abI
15、II.当 时， ，方向为 。02tLgtI08、解：下落阶段匀速进入，受到向上的安培力，F=BaI ，下落时切割磁感线产生的感应电动势为：E=Bav 2 ，而感应电流为：I= ，匀速运动时受力ER平衡：mg=f+F ，联 式解得 v2= (mg-f)RB2a2设磁场上边缘距线框所能到达的最高的距离为 h，由动能定理知离开磁场的上升阶段：(mg+f)h= mv12 12下落阶段：(mg f)h= mv22 12由以上得：v 1= RB2a2(mg)2 f2分析线框在穿越磁场的过程，设刚进入磁场时速度为 v0，由功能关系有：mv02 mv12 (mg+f)( a+b)+Q 12 12由题设知 v0=2v1 联解得：Q=(mg+f) (mg f)a b3mR22B4a4
