1、第四章 频率域图像增强主要内容傅立叶变换和频率域介绍平滑的频率域滤波器频率域锐化滤波器同态滤波器傅立叶级数：任何周期函数都可以表示为不同频率的正弦和 /或余弦和的形式。复杂函数可以用由简单的正弦和余弦函数表示。4.1 背景知识傅立叶变换：甚至非周期函数（曲线是有限的情况下）也可以用正弦和 /或余弦乘以加权函数的积分表示。用傅立叶级数或变换表示的函数特征可以通过傅立叶反变换重建，不丢失任何信息。4.2.1 一维傅立叶变换及其反变换单变量连续函数 f(x)的傅立叶变换 F(u)定义为：4.2 傅立叶变换和频率域的介绍离散形式的傅立叶变换：因此傅立叶变换的每一项 即对于每个 u值 ,F(u)的值 由
2、 f(x)函数所有值的和组成 .f(x)的值与各种频率的正弦值和余弦值相乘。F(u)值的范围覆盖的域（ u的值）称为 频率域 ，因为 u决定了变换的频率成分 .F(u)的 M项中的每一个被称为变换的 频率分量 。傅立叶变换可看成 “数学的棱镜 ”，将函数基于频率分成不同的成分 .使我们能够通过频率成分来分析一个函数。用极坐标表示 F(u)比较方便：R(u)和 I(u)分别为 F(u)的实部和虚部在离散傅立叶变换中 ,函数 f(x)中 x的取值不一定是 0,M-1中的整数值 ,而是任意选取的等间隔点 . u总是从 0频率开始二维 DFT及其反变换 反变换：MN的函数 f(x,y)的 DFT:二维
3、变换的傅立叶谱、相角、频率谱为 f(x,y)的平均值 ,即原点处的傅立叶变换等于图像的平均灰度级 .当 u=0,v=0时通常在进行傅立叶变换之前用 (-1)x+y乘以输入的图像函数将傅立叶变换的原点 (即 F(0,0)被设置在 u=M/2,v=N/2上 ,该点为二维DFT设置的 MN区域的中心为确保移动后的坐标为整数，要求 M,N为偶数。当在计算机中使用傅立叶变换时，总和的范围为 u从 1到 M, v从 1到 N。实际的变换中心将为 u=(M/2)+1和 v=(N/2)+1.xyuv二维傅立叶变换的基本性质：平移可以用于中心化变换 ,u和 v的范围分别为 0,M-1和 0,N-1,变换后的中心
4、变为 u=(M/2)+1,u=(N/2)+1二维傅立叶变换的基本性质：分配性和比例变换性 傅立叶变换对加法具有分配性，对乘法没有：对于比例因子 a和 b， 有：二维傅立叶变换的基本性质：旋转 若引入极坐标那么 f(x,y)和 F(u,v)分别变成有二维傅立叶变换的基本性质：周期性和对称性 周期性：共轭对称二维傅立叶变换的基本性质：可分性其中对于每个 x值，当 v 0,1,2,N-1 时 ,该等式是完整的一维傅立叶变换。即F(x,v)是沿着 f(x,y)的一行所进行的傅立叶变换。当 y由 0变为 N-1时，沿着f(x,y)的所有行计算傅立叶变换。然而频率变量 u仍然保持不变。为完成二维变换，将
5、u值从 0变到 M-1.这涉及沿 F(x,v)的每一列计算一维变换。可以通过先沿输入图像的每一行计算一维变换，然后沿中间结果的每一列再计算一维变换的方法来求二维变换。二维傅立叶变换的基本性质：卷积定理对于离散域的函数，定义为：在 泛函分析 中，卷积是通过两个 函数 f 和 g 生成第三个函数的一种数学 算子 ，表征函数 f 与经过翻转和平移的 g 的重叠部分的累积。卷积理论由两个函数和它们的傅立叶变换间的下述关系组成：大小为 MN的两个函数 f(x,y)和 h(x,y)的离散卷积表示为 f(x,y)*h(x,y)f(m)h(m)h(-m)h(x-m)f(x)*h(x)采用 DFT可以在频率域进行卷积运算 ,但函数被看成周期函数 ,从而会引起错误。傅立叶变换计算范围和P=A+B傅立叶变换计算范围正确延拓正确没有适当延拓输入图像的频率域滤波结果 适当延拓的图像适当延拓输入图像的频率域滤波结果原始图像之一损失不正确
