1、第 1 页数字信号处理 MATLAB 习题第 2 页数字信号处理 MATLAB 习题M1-1 已知 ， ， ，以抽1()cos6)gtt2(cos14)gtt3(cos26)gtt样频率 对上述三个信号进行抽样。在同一张图上画出 ，0samfHz 1(gt和 及抽样点，对所得结果进行讨论。2()gt3t解：第 3 页从以上两幅图中均可看出，三个余弦函数的周期虽然不同，但它们抽样后相应抽样点所对应的值都相同。那么这样还原回原先的函数就变成相同的，实际上是不一样的。这是抽样频率太小的原因，我们应该增大抽样频率才能真实还原。如下图：f=50Hz第 4 页程序代码f=10;t=-0.2:0.001:0
2、.2;g1=cos(6.*pi.*t);g2=cos(14.*pi.*t);g3=cos(26.*pi.*t);k=-0.2:1/f:0.2;h1=cos(6.*pi.*k);h2=cos(14.*pi.*k);h3=cos(26.*pi.*k);% subplot(3,1,1);% plot(k,h1,r.,t,g1,r);% xlabel(t);% ylabel(g1(t);% subplot(3,1,2);% plot(k,h2,g.,t,g2,g);% xlabel(t);% ylabel(g2(t);% subplot(3,1,3);% plot(k,h3,b.,t,g3,b);%
3、xlabel(t);% ylabel(g3(t);plot(t,g1,r,t,g2,g,t,g3,b,k,h1,r.,k,h2,g.,k,h3,b.)第 5 页xlabel(t);ylabel(g(t);legend(g1(t),g2(t),g3(t);M2-1 利用 DFT 的性质，编写一 MATLAB 程序，计算下列序列的循环卷积。(1) gk=1,-3,4,2,0,-2,hk=3,0,1,-1,2,1；(2) xk=cos( k/2),yk=3k,k=0,1,2,3,4,5。解：(1)循环卷积结果6.0000 -3.0000 17.0000 -2.0000 7.0000 -13.0000
4、程序代码第 6 页g=1 -3 4 2 0 -2;h=3 0 1 -1 2 1;l=length(g);L=2*l-1;GE=fft(g,L);HE=fft(h,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:lif n+l=Ly2(n)=y1(n)+y1(n+l);elsey2(n)=y1(n);endendy2stem(0:l-1,y2)xlabel(k)ylabel(y(k)title(循环卷积)(2)循环卷积结果-71.0000 -213.0000 89.0000 267.0000 73.0000 219.0000第 7 页程序代码k=0:5;x=cos(pi.*k./2);y=
5、3.k;l=length(x);L=2*l-1;GE=fft(x,L);HE=fft(y,L);y1=ifft(GE.*HE);for n=1:lif n+l=Ly2(n)=y1(n)+y1(n+l);elsey2(n)=y1(n);endendy2stem(0:l-1,y2)xlabel(k)ylabel(y(k)title(循环卷积)第 8 页M2-2 已知序列 cos(/2),|0kNx其 他(1)计算序列 DTFT 的表达式 ,并画出 N=10 时， 的曲()jXe()jXe线。(2)编写一 MATLAB 程序，利用 fft 函数，计算 N=10 时，序列xk的 DTFT 在 的抽样值
6、。利用 hold 函数，将抽样点画2/mN在 的曲线上。()jXe解：(1) ()cos(/2)Nj jk jkkeDTFxeke程序代码N=10;k=-N:N;x=cos(k.*pi./(2*N);W=linspace(-pi,pi,512);第 9 页X=zeros(1,length(W);for k=-N:NX1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;endplot(W,abs(X)xlabel(W);ylabel(abs(X);(2)程序代码N=10;k=-N:N;x=cos(k.*pi./(2*N);X_21=fft(x,21);L=-10:10;W=lins
7、pace(-pi,pi,1024);X=zeros(1,length(W);for k=-N:NX1=x(k+N+1).*exp(-j.*W.*k);X=X+X1;end第 10 页plot(W,abs(X);hold on;plot(2*pi*L/21,fftshift(abs(X_21),o);xlabel(W);ylabel(abs(X);M2-3 已知一离散序列为 。用长00coscs()xkAkBk度 N=64 的 Hamming 窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的 A和 B 的取值，确定用 Hamming 窗能分辨的最小的谱峰间隔中 c 的值。2wN解：f1=100Hzf2=
8、120Hz 时f2=140Hz 时第 11 页f2=160Hz 时第 12 页由以上三幅图可见f2=140Hz 时，各谱峰可分辨。则 40fHz又 2wcN且 12408wTf所以 c=3.2（近似值）程序代码N=64;L=1024;f1=100;f2=160;fs=800;A=1;B1=1;B2=0.5;B3=0.25;B4=0.05;T=1/fs;ws=2*pi*fs;k=0:N-1;x1=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B1*cos(2*pi*f2*T*k);x2=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B2*cos(2*pi*f2*T*k);x3=A*cos(2*pi*f1*T*k
9、)+B3*cos(2*pi*f2*T*k);x4=A*cos(2*pi*f1*T*k)+B4*cos(2*pi*f2*T*k);hf=(hamming(N);x1=x1.*hf;x2=x2.*hf;x3=x3.*hf;x4=x4.*hf;X1=fftshift(fft(x1,L);X2=fftshift(fft(x2,L);X3=fftshift(fft(x3,L);X4=fftshift(fft(x4,L);W=T*(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);subplot(2,2,1);plot(W,abs(X1);title(A=1,B=1);xlabel(W);ylabel
10、(X1);subplot(2,2,2);第 13 页plot(W,abs(X2);title(A=1,B=0.5);xlabel(W);ylabel(X2);subplot(2,2,3);plot(W,abs(X3);title(A=1,B=0.25);xlabel(W);ylabel(X3);subplot(2,2,4);plot(W,abs(X4);title(A=1,B=0.05);xlabel(W);ylabel(X4);M2-4 已知一离散序列为 ,0k63。其中, 01cos.75cosxk， 。02/1512.3/5(1) 对 xk做 64 点 FFT, 画出此时信号的谱。(2)
11、 如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰，是否可对(1)中的64 点信号补 0 而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实，并解释其原因。解：(1)第 14 页程序代码W0=2*pi/15;W1=2.3*pi/15;N=64;k=0:N-1;x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x);plot(k/N,abs(X);grid on;title(64点FFT);(2)第 15 页第 16 页由以上三幅图看出：不能对(1)中的 64 点信号补零而分辨出两个谱峰，这样的方法只能改变屏幕分辨率，但可以通过加 hamming 窗来实现对谱峰的分辨。程序代码W0=2*pi/15;W1=2
12、.3*pi/15;N=64;L=1024;k=0:N-1;x=cos(W0*k)+0.75*cos(W1*k);X=fft(x,L);plot(0:L-1)/N,abs(X);grid on;title(1024点FFT);M2-5 已知一连续信号为 x(t)=exp(-3t)u(t)，试利用 DFT 近似分析第 17 页其频谱。若要求频率分辨率为 1Hz，试确定抽样频率 fsam、抽样点数N 以及持续时间 Tp。解：本题使用矩形窗，则 ，1samssamfNf1pTf第 18 页由以上三幅图可以看出当 fsam 越来越大时，近似值越来越接近第 19 页于实际值。即 fsam 越大拟合效果越好
13、，造成的混叠也是在可以允许的范围内。程序代码fs=100;ws=2*pi*fs;Ts=1/fs;N=fs;x=exp(-3*Ts*(0:N-1);y=fft(x,N);l=length(y);k=linspace(-ws/2,ws/2,l);plot(k,Ts*fftshift(abs(y),b:);hold on;w=linspace(-ws/2,ws/2,1024);y1=sqrt(1./(9+w.2);plot(w,y1,r)title(fs=100Hz时的频谱)legend(近似值 ,实际值);M2-6 试用 DFT 近似计算高斯信号 的频谱抽样值。)exp()2dttg通过和频谱的理
14、论值 比较，讨论如何根据时域的信4exp()j(2dG号来恰当地选取截短长度和抽样频率使计算误差能满足精度要求。解：第 20 页第 21 页由以上三幅图可以看出：当时域截取长度相同时，抽样间隔越小时误差越小，当抽样间隔一定时，时域截取长度越长，误差越小。当取抽样间隔为 1S，时域截取长度为 2S 时，误差较大，绝对误差在 0.5 左右；当抽样间隔为 0,5S，时域截取长度为 2S 时，误差比间隔为 1S 时小，绝对误差不大于 0.2；当抽样间隔为 0.5S 时域截取长度为 4S 时，误差更小，绝对误差不大于 0.04。因为时域截取长度越长，保留下来的原信号中的信息越多，抽样间隔越小，频谱越不容
15、易发生混叠，所以所得频谱与理论值相比，误差更小。程序代码Ts=0.5;N=4;N0=64;k=(-N/2:(N/2)*Ts;第 22 页x=exp(-pi*(k).2);X=Ts*fftshift(fft(x,N0);w=-pi/Ts:2*pi/N0/Ts:(pi-2*pi/N0)/Ts;XT=(pi/pi)0.5*exp(-w.2/4/pi);subplot(2,1,1)plot(w/pi,abs(X),-o,w/pi,XT);xlabel(omega/pi);ylabel(X(jomega);legend(试验值 ,理论值 );title(Ts=,num2str(Ts) N=,num2str(N);subplot(2,1,2)plot(w/pi,abs(X)-XT)ylabel(实验误差 )xlabel(omega/pi);
