1、第五章 空间任意力系,51 空间任意力系的简化52 空间任意力系的平衡条件,空间任意力系：各力的作用线不在同一平面内，也不汇交 于一点的力系。又称空间一般力系。,研究方法：,空间任意力系(未知),空间汇交力系(已知),空间力偶系(已知),实例：,迎 面风 力,侧 面风 力,51 空间任意力系的简化,空间任意力系,空间汇交力系：,空间力偶系：,且：,且：,空间任意力系,空间汇交力系：,空间力偶系：,=,空间汇交力系合力：,称 为空间任意力系的主矢。,空间力偶系合力偶：,称 为平面任意力系对简化中心 O 点的主矩。,=,的作用线过O点，与O点位置无关。,与O点位置有关， O点位置不同， 不同。,=
2、,=,取坐标系 Oxy ，则,主矢的解析式：,=,=,取坐标系 Oxy ，,对O 点主矩的解析式：,结论：空间任意力系向一点简化，可得到一个力和一个力偶，这 个力等于该力系的主矢，力的作用线通过简化中心O点， 这个力偶的力偶矩矢等于该力系各力对简化中心 O 点的主 矩。并且,可知：O 点位置不同时，主矢 不变，主矩 不同。,=,=,52 空间任意力系的平衡条件,一、空间任意力系的平衡条件,即：,得平衡方程,力系各力在 x 轴上投影的代数和为零；,力系各力在 y 轴上投影的代数和为零；,力系各力对 x 轴力矩的代数和为零；,空间任意力系的平衡条件： 、 均为零。,力系各力在 z 轴上投影的代数和
3、为零；,力系各力对 y 轴力矩的代数和为零；,力系各力对 z 轴力矩的代数和为零。,上式称为空间任意力系的平衡方程，可求解 6 个未知量。,沿 x、y、z 轴方向的移动；,绕 x、y、z 轴的转动。,物体受空间任意力系作用：,可能产生的运动有：,若保持平衡，应有：,不能沿 x、y、z 轴方向移动；,不能绕 x、y、z 轴转动。, 应有,二、空间平行力系的平衡条件,只需,可求解 3 个未知量。,设力系各力平行于 z 轴：,即总有：,则各力在 x、 y 轴上的投影均为零，,1、球形铰链,空间约束：,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束
4、力。阻碍移动为约束力，阻碍转动为约束力偶。,2、向心轴承，蝶铰链，滚珠（柱）轴承,3、止推轴承,4、空间固定端约束,约束力：,FAx、FAy、FAz,MAx、MAy、MAz,例1 在三轮货车上放着一重G=1 000 kN的货物，重力G的作用线 通过矩形底板上的点M。 已知O1O2=1m，O3D=1.6m，O1E=0.4 m，EM =0.6 m，点D 是线段O1O2的中点，EMO1O2。 试求A，B，C各处地面的铅直约束力。,4.联立求解,1. 取货车为研究对象；,3. 选坐标系，列平衡方程,解：,2. 作受力图；,x,z,y,200,75,A,B,Fy,Fz,Fx,例2 镗刀杆的刀头在镗削工件
5、时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴 向力 Fx的作用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y =75 mm，z = 0。 若不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 处约束力的各个分量。,1. 取镗刀杆为研究对象；,3. 选坐标系，列平衡方程,解：,2. 作受力图；,刀杆根部是固定端，约束力为作用在A点的三个正交分力和绕 x、y、z 轴的三个力偶。,4.联立求解,FAx=750 N FAy=1500 N FAz =5000 N,MAx =375 Nm MAy = 1000 Nm MAz = 243.8 Nm,SFx= 0 F
6、Ax Fx = 0,SFy= 0 FAy Fy = 0,SMx= 0 MAx Fz0.075 = 0,SFz= 0 FAz Fz = 0,SMy= 0 MAy +Fz0.2 = 0,SMz= 0 MAz + Fx0.075 Fy0.2 = 0,例3 水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m， r2=0.2 m。套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1= 3400 N，F2= 2000 N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角a =30，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承A、B处的约束力。,r1,r2,以整个系统为研究对象，建立如图坐标系Ox
7、yz，,解：,为看清胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。,画出系统的受力图。,下面以对 x 轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。,力FAx和FBx平行于轴 x，力F2和F1通过轴 x。它们对轴 x 的矩均等于零。,力FAz和FBz对轴 x 的矩分别为 FAz0.25 m和FBz1.25 m。,力 F3 和 F4 可分解为沿轴 x 和沿轴 z 的两个分量，其中沿轴 x 的分量对轴 x 的矩为零。,所以力 F3 和 F4 对轴 x 的矩等于 (F3+F4)cos 300.75 m,系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。,SFx= 0 FAx+ F Bx +(F3 + F4)sin3
8、0= 0,SFz= 0 FAz+ FBz (F3+F4)cos30 (F1+F2) = 0,SMx= 0 FAz0.25 + FBz 1.25 (F3 +F4)cos30 0.75 = 0,SMy= 0 (F1 + F2)0.4 +(F3 F4)0.2 = 0,又已知 F3 =2F4，故由以上方程可以解出所有未知量。,SMz= 0 FAx0.25 FBx 1.25 (F3 +F4)sin30 0.75 = 0,但每个方程中含有二个未知量，求解不便。,若将x、z 轴设于轴承A处，则 SMx=0 方程中只有FBz 一个未知量，求解较简便。,SFx= 0 FAx + F Bx +(F3 + F 4)
9、sin30= 0,SFz= 0 FAz + FBz (F3 +F 4)cos30 (F1 +F 2) = 0,SMx= 0 FBz1.25 (F3 +F4)cos301 (F1 +F2)0.25 = 0,SMy= 0 (F1 +F 2)0.4 +(F3 F4)0.2 = 0,SMz= 0 FBx1.25 (F3 +F4)sin300.75 = 0,求解较简便。,例4 涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡 轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中FO， MO ， 斜齿轮 的压力角为a，螺旋角为b，节圆半径 r 及 l1 , l2 尺寸均已知。 发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受
10、的反作用力F 以及径向推力轴承A和径向轴承B 处的约束力。,取整个系统为研究对象，建立如图坐标系Oxyz。,在径向推力轴承A处的约束力有三个分量：FAx、FAy、FAz 在径向轴承B处的约束力只有两个分量：FBx、FBz,解：,画出系统的受力图。,在斜齿轮上所受的压力F 可分解成三个分力： 周向力Fy，径向力Fx和轴向力Fz。且：,Fx= F cosa cosb Fy= F cosa sinb Fz= F sina,系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。,系统的受力图为：,SFx= 0 FAx + FBx +Fx = 0,SFz= 0 FAz +FBz Fz = 0,SFy= 0 FA
11、y + FO Fy = 0,SMx= 0 FBzl2 + Fyr Fz(l1 + l2) = 0,SMz= 0 FBxl2 Fx(l1 + l2) = 0,SMy= 0 Fxr MO = 0,由以上方程可以求出所有未知量。,A,B,D,E,例5 某种汽车后桥半轴可看成支承在各桥壳上的简支梁。A处是径向止 推轴承，B处是径向轴承。已知汽车匀速直线行驶时地面的法向约 束力FD=20 kN，锥齿轮上受到有切向力Ft , 径向力Fr ，轴向力Fa 的作用。 已知Ft=117 kN， Fr=36 kN， Fa=22.5 kN，锥齿轮的节 圆平均直径d= 98 cm，车轮半径r=440 cm，l1=300
12、 mm，l2=900 cm， l3=80 cm。 如果不计重量，试求地面的摩擦力和A、B两处轴承中的约束力。,列平衡方程,解：,取整体系统为研究对象，受力分析如图。,4.联立求解,FAx = 7 kN FAy =22.5 kN FAz = 28.6 kN,FBx = 123 kN FBz = 44.6 kN F = 13 kN,SFx= 0 F + FAx + FBx + Ft = 0,SFy= 0 FAy Fa = 0,SFz= 0 FD + FAz + FBz Fr = 0,SMx= 0,SMy= 0,SMz= 0 Fl1 FBxl2 Ft (l2 + l3) = 0,例6 图中胶带的拉力
13、F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力F = 2000 N。 已知带轮的直径D=400 mm，曲柄长R = 300 mm，胶带1和 胶带2与铅垂线间夹角分别为a 和 b，a =30，b =60，其它 尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。,以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。,列平衡方程：,解：,SFx= 0 F1sin30 + F2sin60 +FAx + F Bx = 0,SFy= 0 0 = 0,SFz= 0 F1cos30F2cos60 F +FAz + FBz = 0,又有 F2=2F1,SFx= 0 F1sin30 + F2sin60 +FAx + F Bx = 0,
14、SFy= 0 0 = 0,SFz= 0 F1cos30F2cos60 F +FAz + FBz = 0,SMx= 0 F1cos300.2 +F2cos600.2 F0.2 +FBz0.4 = 0,SMz= 0 F1sin300.2 +F2sin600.2 FBx0.4 = 0,求解得：,F1 = 3000 N F2 = 6000 N,FAx = 1004 N FAz = 9397 N,FBx = 3348 N FBz = 1799 N,37,一、空间任意力系的平衡方程,空间平行力系的平衡方程,设力系各力平于 z 轴：,基本形式：,空间任意力系习题课,38,三、解题步骤与技巧,二、空间任意力系
15、的几个问题, x , y, z 轴可以任选相互平行的六个轴。 即三个取矩轴和三个投影轴可以不重合。, 取矩方程不能少于三个（MO是矢量）, 空间任意力系独立的方程为六个（空间物体六个自由度）,1. 解题步骤 （与平面任意力系相同） 选研究对象 画受力图（受力分析） 选坐标、取矩轴、列平衡方程 求解未知数,39,2. 解题技巧与注意事项 选坐标轴最好与未知力或，取矩轴最好与未知力平 行或相交； 用取矩轴代替投影轴，常常方便解题。,40,例7 已知：AB=3m，AE=AD=4m，P=20kN； 求：绳BE、BD的拉力和杆AB的受力。,解：分别研究 C 点和 B 点作受力图,41,对C点：,对B点：
16、, FAB = 230 kN,FBE = FBD = 4 19 kN, FBC = 546 kN,SFy= 0 FBCsin15 Psin45 = 0,SFx= 0 FBEcosq cos45 + FBDcosq cos45 = 0,SFy= 0 FBCsin60FBEcosqcos45+FBDcosqcos45= 0,SFz= 0 FAB+FBCcos60 FBEsinq FBDsinq = 0,例8 已知：C轮半径RC=100mm，D轮半径RD=50mm，Fx=466N， Fy=352N，Fz=1400N。求：平衡时(匀速转动)力F=？(F 力作用在C轮的最低点） 和轴承A ，B处的约束力
17、？,解： 1. 选研究对象,2. 作受力图,3. 选坐标列方程,SFy= 0 FAy +Fy= 0 FAy = 352 N,SMy= 0 Fz 50 + F cos20100 = 0 F = 745 N,SMz= 0 Fx300Fy50FBx200Fcos2050=0 FBx=436N,SFx= 0 FAx+ FBx Fx F cos20 = 0 FAx = 730N,SMx= 0 FBz200+Fz300 Fsin2050 = 0 FBz = 2036 N,SFz= 0 FAz+ FBz + Fz + Fsin20 = 0 FAz = 381.2 N,要巧选投影轴和取矩轴，使每一个方程有一个未知数，方便求解。,例9 如图所示三轮小车，自重 G = 8 kN，作用于E点，载荷 F1 =10 kN，作用于C点。 求小车静止时地面对车轮的约束力。,受力分析如图。,列平衡方程,求解得：,解： 以小车为研究对象,为空间平行力系。,SFz= 0 FA+ FB +FD G F1 = 0,SMx= 0 FD2 G 1.2 F1 0.2 = 0,SMy= 0 F1 0.8 +G 0.6 FD0.6 FB 1.2 = 0,FD = 5.8 kN,FB = 7.77 kN,FA = 4.43 kN,
