1、5.3 经济学中的 SDE 模型经济学是 SDE 的主要应用领域之一.考虑到经济运行中充满了不确定性,而这种不确定性乃是大量随机因素干扰的结果,在对经济过程的数学描述中运用SDE 应当是不可避免的.早在 20 世纪 70 年代,著名经济学家 Merton 等人就将SDE 应用于经济与金融中,且获得了令人瞩目的结果.近年来,SDE 在经济学中的运用更为普遍与深入.用 SDE 构建的经济模型已如此之多,此处根本不可能作什么概括.下面仅介绍三个典型的经济模型,它们在现代动态宏观经济理论中起着基本的作用.用这些模型作为解释 SDE 方法的例子,应该说是很具启发性的.考虑到不可避免地要用到一些经济学的术
2、语与记号,下面作一最低限度的介绍.设想我们考虑的是某个独立运行的经济系统,与其相关的经济变量都是随机过程.分别以 K,H,A,L,Y 记该经济中物质资本、人力资本、技术、劳动力与产出的总量;以 k=K/L 记物质资本的人均量,h=H/L 仿此.假定 K,H,A,L,的增长服从如下微分方程:12d,d,(),KHAttHawLntbt 5.31ab.c)（ ）（ ）（其中 与 本别为 与 的增长路率, 与 分别为 与 的期望增长率,假KHAL定 是常数. 与 的增长分别受到 Brown 运动 与 的扰动,其扰动强度nA1()wt2t分别为 ,假定 相互独立.对于 与 不考虑其自身的扰动.以ab与
3、 12,0w与 KH上所做的种种假设不免有些理想化,但这能使下面建立的模型较为简单.5.3.1 Solow 模型Solow 模型是现代经济增长理论中具有奠基意义的模型,在 SDE 形式下,它可表成d()d(),ksfktbwt5.32)（其中 表示储蓄率; 是生产函数,假定满足如下条件:0syf()0,(),()0,(),0fkffkfkf 5.3)（依式 .22,nbwn531c)（方程 的推导并不难:假定 是一次齐次的生产函5.32)（ d,(,)KsYtFL数,记 则(,1fkF（用（1.3.31） ）ddd=1KLL（用（1.3.1c） ）22()Ykstnbwntb2()d()ftk
4、t下面分析方程 .方程 显然有零解.其次,因 在 内是局53（ 53（ ()fk0,部 Lipschitz 的,对每个 ,方程 必存在局部解 （依定理0k2)（ ,t3.1.4）.我们关心的是, 是否为整体解且保持为正？这由以下定理解决.()t定理 5.3.1 设 ,则对任何 ,方程 的解是 定2bn0k5.32)（ 0(),)kt义于 上,且 a.s.地有 .0()ktt证 采用定理 5.2.2 的证法.定义停时N.1inf0:()(),ltktktll 有 定 义 且只要证 故可取 使得 .定2(),.,lPtltbn因 0,2/(1)bn义 则 设 是结合方程n(0)Vkk()()(1)
5、.VVkL的微分算子,则5.32)（ 21 2()(1)bkkksf k L2 2()()()()sfbsfkk 利用条件 易算出5.3)（0()()lim,lim0.k kf ff f 其次,用 得2/(1)bn22(1)(1)0bnb利用以上事实立得 因此必 是某个正常数.于(0),kc是 01E()()E()d.ltlVktLVskc另一方面,当 时有 ,于是lt1(=ll） 或 11E)()(),(,.lllcVktPtVl这推出 ,如所要证.()0)lPtl条件 意味着与劳动力的增长比较,劳动力的随机波动是偏小的.定理2bn5.3.1 表明,在此条件下,经济一旦启动,就将一直运行下去
6、,绝不会在有限时间内因崩溃或过度膨胀而终止.下面保持 这一条件而分析方程 的解的渐近状态.我们特别关心2bn532)（的是:能否求出经济增长率的一个下限？试用2.3 中的方法,取 Liapunov 函数,今估计 （依（2.3.31） ）:2()Vk22122()1)ksfbkbkf注意到, （用（5.3.3） ）2d()()0fkffk即 单调下降,有()/fk202()inflim)(kkfsbbn这就得到（参见定理 2.3.9）: 有0,k（5.3.4）12limn(,)/,a.sttbn近似地可以说,式（5.3.4）表明 的增长率至少为 .因已设 ,式0,kt 2/2bn（5.3.4）并
7、不能保证 有正增长,但可保证绝不能有过大的负增长.若撤去0()t条件 ,则可能出现三种结局:2bn（）在有限时间内经济因 而中止;0(,)kt（）在有限时间内经济因无界增长而爆炸;（）至少以 为增长率持久地增长.2/()bn5.3.2 人力资本模型在同时考虑物质资本 与 人力资本的情况下,假定经济依据如下生产函数KH运行:(5.3.5)1YKHL其中 与 solow 模型中的 相对照,现在设0,1/2.dst,12,KYtt其中, 分别为产出用于物质资本与人力资本投资的份额,于是12,(0)s（用（1.3.31） ）1ddsYLktK（用（1.3.1）,（5.3.5） ）1(),sytbk其中
8、 依式（5.3.1c）.对 可求出类似的222,d,khnnbdh式子,于是得到关于 的如下 SDE:(,)kh（5.3.6）12d()d(),syktbth或写成矩阵形式:12dd()sykktbth5.36（ ）对于方程（5.3.6）有类似于定理 5.3.1 的以下结果.定理 5.3.2 设以下条件满足:（5.3.7）2/(),bn则对任何初值 ,方程（5.3.6）的解 定义于区间 上,20(,)khR,(kth0且 a.s.地保持为正.证 仍用定理 4.6.1 的证法.定义停时,11inf0:()(),()ltktktlhtl 有 定 义 且 或只要证 .约定 .定义,0lPtlt,12
9、(,)ln)(ln)()VkhkhVkh 则 12(,)()()kkVLL2211221()2() bbshknbksh （5.3.8）22()const由条件（5.3.7）推出 22()0,()0nbnb由 推出 .这就由（5.3.8）得到 是某个正,1/2,(,)VkhcL常数.于是 001E(),(,),(d()lltVkhLksc另一方面,当 时以下四种情况之一必发生:lt11(),(),(),()llllkh于是 1 1112E(),()()()llllcVttPVltU显然 ,故得 ,如所要证 .()Ull0l类似于 solow 模型,若令 ,则2(,)Vkh2T221222,(,
10、)()()(),0bkhksysybbhnkhL因此,若 是方程（5.3.6）的整体解且 a.s.保证为正,则(),kt（5.3.9）122limn(),a.stkthbn于是得出经济可能的三种结局是:()因在有限时间内 或 趋于零而中止;()kth()在有限时间内 或 无界增长;()kth()经济持久地运行且增长率不低于 .2bn若条件（5.3.7）满足,则仅有情况()出现,以上事实与 solow 模型非常类似.5.3.3 RD 模型前面两个模型都不涉及技术因素,因而不能解释技术进步对于经济增长的作用.今考虑将技术水平 纳入模型之内.设 依式(5.3.1b)增长,AA, (5.3.10)1,
11、()YCKLCKL其中 均为正参数. 的表达式表明,技术增长率 与物质资,AYCA A本及劳动力的投入正相关,而与现有技术水平负相关;后者意味着,技术水平愈高,其增长就愈不容易.为记号简单起见,约定 , 且设 .于是AxKy(/)sY(用(1.3.28)22212dd(1)d1d(1)d+dxKLALKApxytawb其中. (5.3.11a)22(1)()pnab类似地求出 ,因而得到关于 的如下 SDE:1dy(,)xy(5.3.12)12d+d()ptawbq其中(5.3.11b)2(1)nab(5.3.12)可写成如下矩阵形式:,12ddiag(,)dwxpxabytyqy 这正是在5
12、.2 中讨论过的 Lotka-Volterra 系统.由(5.3.12)表示的模型就是随机形式下的 RD 模型,它是现代经济增长理论中的主要模型之一.鉴于 RD 模型是一个 LV 系统,此处正是应用上节结果的地方.虽然方程(5.3.12)的扰动部分与（5.2.41）略有不同,但仍可应用定理 5.2.13 得到定理 5.3.3 设以下条件满足:, (5.3.13),则对任何初值 ,方程(5.3.12)存在唯一以 为初值的正整体解20(,)xyR0(,)xy,且对任何 成立()xtyp(5.3.14)2limE()ptxtyK其中 是与初值无关(但可能与 有关)的正常数.特别, 与 都是最终一Kp
13、()xty致均方有界的.直观上,定理 5.3.3 意味着在条件(5.3.13)之下,经济一旦启动,则无论资本与技术均将持久地保持正增长.至于条件(5.3.13)的直观意义,粗略地说就是:高的技术水平对于技术继续增长的负面影响明显地强于资本对技术进步的正面影响,而生产规模收益递降 .这些因素都对经济的爆发性扩张起抑制(1)作用.一般认为,条件(5.3.13)是现实合理的.命题 5.2.8 亦可用于方程(5.3.12),得出如下渐近轨道估计结果.定理 5.3.4 设存在常数 ,使得矩阵12,0c122c负定,即. (5.3.15)21214()cc则对任何 ,方程(5.3.12)存在唯一以 为初值的正整体解20(,)xyR0(,xy,且满足()t,a.s (5.3.16)2()lim0lntxyt若取 ,则条件(5.3.15)简化为12c(5.3.17)24()条件(5.3.13)与(5.3.17)并不可相互比较.不过容易看出,满足条件(5.3.17)的参数组 甚多,其中具有现实意义者亦不少.(,)
