1、用心 爱心 专心 119 号编辑 1初三数学第九章四边形知识精讲一. 本周教学内容：第九章 四边形复习目标1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理；2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用；3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系；4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。知识回顾（一）知识归纳：四 边 形 平 行 四 边 形 矩 形菱 形 正 方 形 中 心 对 称梯 形 等
2、 腰 梯 形直 角 梯 形 平 行 线 等 分 线 段 中 位 线（二）几种特殊四边形的判定：1. 平行四边形：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。2. 矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角是直角的四边形。3. 菱形：（1）四条边都相等的四边形；（2）一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形。4. 正方形：（1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。5. 等腰梯形：（1）两腰相等的梯形；（2）在同一底上的
3、两个角相等的梯形。用心 爱心 专心 119 号编辑 2（三）几种特殊四边形的性质： 图 形 边 角 对 角 线 对 称 性 平 行 四 边 形 对 边 平 行 且 相 等 对 角 相 等 两 条 对 角 线 互 相 平 分 中 心 对 称 矩 形 同 上 四 个 角 都 是 直 角 互 相 平 分 且 相 等 中 心轴 对 称 菱 形 四 条 边 都 相 等 对 角 相 等 互 相 垂 直 平 分 且 每 条 对角 线 平 分 一 组 对 角 中 心轴 对 称 正 方 形 同 上 四 个 角 都 是 直 角 互 相 垂 直 平 分 且 相 等 ， 每条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 中
4、心轴 对 称 等 腰 梯 形 两 腰 相 等 同 一 底 上 两 角 相 等 对 角 线 相 等 中 心轴 对 称 （四）与四边形有关的其它重要定理：（1）多边形内角和：（n2）180外角和：360四 边 形 内 角 和 ： ， 有 条 对 角 线 。360n32（2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。推论 1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。推论 2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。（3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。（4）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底
5、，并且等于两底和的一半。（5）中心对称及中心对称图形的判定和性质。【典型例题】例 1. 凸多边形的 n 个内角与某一个外角的和为 1450，则 n 等于（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 10分析：这是道选择题，我们可以用计算的方法找到正确答案：因为 1450较大，故从 n10 开始，1450180（102）10从 n8 开始，1450180（82）370故应选择 D。若是道计算题，则可列出不等式：n21045180推 出 ： ，98用心 爱心 专心 119 号编辑 3例 2. （03，河北）如图，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上的一点，且BDBC，P 为 CE
6、上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQPR 的值是（ ）ADBCFRABCD213223分析：由已知可知：CBE45，BEBC1，由于 P 点的任意性，使我们觉得不好下手，但细细一想，这个图形似曾见过：在书上第 193 页 B 组 2 要求我们证过：等腰三角形底边上任一点与两腰的距离和等于腰上的高，也就是过 E 作 EFBC 于 F，则可利 用 矩 形 的 性 质 和 全 等 三 角 形 的 性 质 证 明 ， 而 的 长 为 。QRE2故应选择 A。例 3. 如图：已知 AB、CD 相交于点 O，ACDB，AOBO，E、F 分别是 OC、OD 的中点。求证：四边形 AF
7、BE 是平行四边形。 ACBD分析：从已知条件易得：AOCBOD，从而可得 OCOD，ACBD，而要证明四边形AFBE 为平行四边形的方法是很多的，我们可以选择“对角线互相平分的四边形”来证明，也用心 爱心 专心 119 号编辑 4可以选择“一组对边平行且相等的四边形”来证明。证明：AB、CD 相交于 OAOCBODACBD，OACOBD又OAOB，OACOBDOCODE、F 分别为 OC、OD 的中点OECFOD1212，OEOF，又 OAOB四边形 AFBE 为平行四边形另一种方法只须证AECBFD 即可。例 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ADC90，ACCB，E、F 分别是 AC、
8、AB 的中点，且DEAACB45，BGAC 于 G。（1）求证：四边形 AFGD 是菱形。（2）若 ACCB10cm，求菱形的面积。 FABDH45EC分析：已知条件中有两个直角三角形ADC，AGB，且 E、F 分别为斜边中点，由斜边上中线等于斜边的一半，故有不少等腰三角形。同时，EF 又是ABC 的中位线，由于 ACBC，可得 EFDE，因此我们可以考虑结合中位线的性质和判定，运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”来证明。另外，由于已知DEAACB45，我们又可以利用全等形及计算的方法，运用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明。证明：（法一）连结 EF，DF 交 AC 于 H（1）ADC
9、为直角，DE 为斜边上中线DEAC2EF 为ABC 中位线FB 1ACBC，DEEF用心 爱心 专心 119 号编辑 5AEFACB45，DEA45DEF90DEF 为等腰直角三角形，EF 为顶角的平分线DFEA，DHHFBGAG，FHBGF 为 AB 中点，H 为 AG 中点，即 AHHGAG、DF 互相垂直平分四边形 AFGD 为菱形（2）在 RtBGC 中，BCG45，BGGC，BC10cmBGcmC5EHDFEHcm125，Ac010，S cmFGD菱 形 2252证明：（法二）连结 EF在 RtADC 中，ADC90，E 为 AC 中点CA1 ， G4518045267. ， B F
10、AG1802675.BGAG，F 为 AB 中点FGFAAGF67.5又 为 中 位 线 ， EBCEFBC12FDA， 45 又 EGEG EGFS()DGGF Do180675. AEoo用心 爱心 专心 119 号编辑 6DGAFAFGD， 四 边 形 为 菱 形例 5. 如图，已知正方形 ABCD 中，P、Q 分别是 BC、CD 上的点。（1）若PAQ45，求证：PBDQPQ。（2）若PCQ 的周长等于正方形周长的一半，求证：PAQ45 CADBEQP分析：一般地，证线段和差倍分可通过“截长补短”将问题转化成证线段之间的相等关系，因此可以考虑延长 PB 到 E 使 BEDQ，再证明 P
11、EPQ 即可。而第二问可看出PCQ 的周长若为正方形周长一半，也就是 PQPBDQ，因此仍可用（1）问的想法去解决。证明：（1）延长 PB 至 E 使 BEPQ，连结 AE ，ABDABo90RtQtS() ，EQ ， PABDoo4590 APoo9045又APAPPEQPEPQPBDQPQ（2）辅助线作法与（1）同。 周 长 正 方 形 周 长PC12ABCD即 QPQ用心 爱心 专心 119 号编辑 7PQBD由 BEDQ 得：PQPE再由 BEDQ 可证 RtABERtADQAEAQEAQ90APES() Q129045例 6. 等腰梯形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别为 AD、
12、BC 的中点，E、F 分别是 BM、CM 的中点。（1）求证：四边形 MENF 是菱形。（2）若 MENF 是正方形，那么梯形的高与底边 BC 有何关系？ADBNC分析：本题中有四个中点 M、N、E、F，故肯定会想到中点定义及中位线定理，因此想通过“四条边都相等”来证明菱形，在证的过程中我们要完成 MBMC 的证明。故可证 MN 就是梯形的高，在条件（2）下BMC 为直角，故 MN 与 BC 的关系就出来了。证明：等腰梯形 ABCD，ADBCABDC，AD又M 为 AD 中点AMMDAMBDCS()BMCME、N、F 分别为 BM、BC、CM 中点EFNBME1212，E四边形 MENF 为菱
13、形（2）若 MENF 为正方形，EMF90BMCM，N 为 BC 中点用心 爱心 专心 119 号编辑 8 且MNBC12梯形的高是底边 BC 的一半例 7. 如图，四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD，ADAB，点 P 在腰 AD 上移动，要使 PBPC最小。 ABCD（1）则应满足（ ）A. PBPC B. PAPDC. BPC90 D. APBDPC（2）试标出 P 点的位置。分析：看到“要使 PBPC 最小”联想到轴对称和轴对称图形那一节，P 91. 例 3 就是在河边修水泵站的问题，利用的就是轴对称的性质，我们以 AD 为对称轴，作出 C 点的对称点 C，连结 BC与 AD 交于
14、P 点，这时 PCPC，故 PBPCPBPCBC，为什么这时 PBPC 最小呢？我们只要在 AD 上再取一点 P，连 PC，PB，PC，这时 PCPC，而PCPBPCPB。在PBC中，PBPCBC，即 PBPCPBPC，PBPC 最小。通过分析可知：APBCPDDPC，故应选择 D。例 8. 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN 如图（1） ；第二步：再把 B 点叠在折痕线 MN 上，折痕为 AE，点 B 在 MN 上的对应点 B，得 RtABE如图（2） ；第三步：沿 EB线折叠得折痕 EF，如图（3） 。利用展开图（4）探究。（1）AEF
15、 是什么三角形？证明你的结论。（2）对于任意矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。用心 爱心 专心 119 号编辑 9(1)AMBDNPCEB2(3)BEEFDACGMF4DBC解：（1）AEF 是等边三角形由翻折可得：ABEABE，BEBE，ABE90，BAEBAEM、N 为 ABCD 对折的折痕B为 EF 中点AB为 EF 的中垂线可证 AEAF，BAEBAFBAAD，BAEBAEBAF30EAF60AEF 为等边三角形（2）从上一问中可看出当 F 恰好与 D 点重合时能够得到等边三角形 AEF，这时，ADEB3因 此 当 时 能 够 叠 出 这 样 的 等 边 三 角 形
16、 。2用心 爱心 专心 119 号编辑 10反 之 ， 时 ， 则 无 法 折 出 这 样 的 等 边 三 角 形 。ABD23例 9.如 图 ： 已 知 梯 形 中 ， ， ， ， 梯平 行 四 边 形CA/BDSABFDC138形 的 高 ， 且AED53212980（1）求B 的度数。（2）设点 N 是梯形对角线 AC 上一点，DN 的延长线与 BC 相交于点 K。当 时 ， 求 作 以 、 的 长 为 根 的 一 元 二 次 方 程 。SCKAAD532EBKFGLDCNH分析：由已知可知这是一个一腰 AB 等于上底 AD 的梯形，四边形 ABFD 是平行四边形，由于 ABAD，因此平
17、行四边形 ABFD 是菱形。由于 AE 既是ABC 的高，又是平行四边形 AEFD 的高，故它们面积的比可转化为 BC 与 AD的比，再加上已知的等量关系可求出 AD、BC 长，从而可得出B 的度数。解： （ ） 平 行 四 边 形112138SADEBCFBCAD36又 1980解由、组成的关于 AD、BC 的方程组得：用心 爱心 专心 119 号编辑 11ADBC58013又 E52在 中 ，RtABEsin532B60（2）过 N 点作梯形的高 GH ，DSDNGA5121253G36HN5215ADBCK/， KG35， 以 、 的 长 为 根 的 一 元 二 次 方 程 为 ：CDA
18、x28150例 10. 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块，由 6 个颜色不同的正方形组成，设中间最小一个正方形边长为 1，则这个矩形面积是（ ）用心 爱心 专心 119 号编辑 12(4)5321DABCA. 120 B. 143 C. 132 D. 156分析：要求矩形的面积，必须设法求出矩形的长和宽，由于这 6 个小色块都是正方形最小正方形边长为 1，若设（1） 、 （2）两全等的正方形边长为 x，则其它各正方形边长都能表示出来，再利用矩形对边相等列方程，求出 x，问题就解决了。解：设（1） 、 （2）正方形的边长为 x，则（3）正方形边长为 x+1BCx3而（4）正方形边长为 x+
19、2， （5）正方形边长为 x+3AD5x， 12xC1331，矩 形 面 积 AD14应该选择 B。一. 选择题。1. n 边形的内角和与外角和的比是 3：2，则 n 等于（ ）A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 矩形的两条对角线所成钝角是 150，对角线长是 8，则矩形的面积为（ ）A. 16 B. C. 32 D. 1323. 下列性质中，菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）A. 内角和等于 360B. 对角相等C. 对角线平分一组对角D. 邻角互补4. 等腰梯形的两底差为 4，中位线长为 6，腰长是 4，则面积为（ ）A. B. C. D. 23612323用心 爱心 专心 119
20、 号编辑 135. 顺次连结四边形四边的中点得到正方形，则原对角线（ ）A. 互相平分 B. 互相垂直C. 相等且互相平分 D. 相等且互相垂直6. 下列命题中正确的是（ ）A. 梯形的两个底角相等B. 一组对边平行的四边形是梯形C. 等腰梯形对角线互相平分D. 直角梯形的两直角顶点到对腰中点等距离7. 下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的条件是（ ）A. ABCD，ADBCB. ABCD，ABCDC. ABCD，ADBCD. ABCD，ADBC8. 平行四边形一条边长为 14，下列各数中分别可作为它的对角线长的是（ ）A. 10 与 16 B. 12 与 16C. 20 与
21、22 D. 10 与 409. 下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等边三角形中，是轴对称而不是中心对称图形的序号是（ ）A. （1） （2） B. （3） （4）C. （2） （3） D. （1） （3）10. 如图，在平行四边形 ABCD 中，AEBC 于 E，AFCD 于 F，若 AE4，AF6，平行四边形 ABCD 的周长为 40，则 为（ ）SABCD平 行 四 边 形A. 24 B. 36 C. 40 D. 48 DFCEB11. 已知 M 是平行四边形 ABCD 的 AB 边的中点 CM 为 BD 于 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD 面积的比是
22、（ ）A. B. C. D. 1641352用心 爱心 专心 119 号编辑 14DCBAM12. 如图：梯形 ABCD 中，AFBC，M 是 CD 的中点，延长 AM 交 BC 的延长线于 E，B45，AF3cm，EF5cm，则 ADBC（ ）A. 8cm B. 12cm C. 10cm D. 6cm ADBFCEM二. 填空题。1. 一个多边形的内角和与外角和的比是 7：2，则这个多边形的边数为_，它有_条对角线。2. 一个多边形除了一个内角外，其余内角的和为 1490，则这个多边形的边数为_，它的外角和_度。3. 平行四边形两邻边分别为 与 且这两邻边夹角为 60，则这个平行四边形的面4
23、63积为_。4. 用长为 100cm 的铁丝制成一个矩形，其面积为 ，那么这个矩形的对角线长625cm用心 爱心 专心 119 号编辑 15_cm。5. 菱形较大角是较小角的 3 倍，并且高为 4cm，这个菱形的面积为_ 。cm26. 等腰梯形中，已知一底角 45，高为 h，中位线长为 m，则梯形的上下底长为_。7. 直角梯形的一条对角线将它分成两个三角形，其中一个是等边三角形，如果它的中位线长为 ，那么它的下底长是_。34a8. 直角梯形的中位线 EF 长为 a，垂直于底的腰长 AB 为 b，则图中阴影部分的面积为_。 ADBCFE三. 如图：已知，平行四边形 ABCD 且EADBAF。（1
24、）求证：CEF 是等腰三角形。（2）CEF 的哪两边之和恰好是平行四边形 ABCD 的周长？证明你的结论。 AEFBCD用心 爱心 专心 119 号编辑 16四. 如图：已知，梯形 ABCD 中，ABCD，E、F 为边 AB 上两点，且AEBF，DECF，EFCD。求证：ADBC AEFBDC五. 如图：正方形 ABCD 中，E 为 BC 中点，F 为 CD 上的点，AEEF。求证：（1） ；（2）若 AB2，求 AF 的长。CFD13ADBCEF用心 爱心 专心 119 号编辑 17参考答案一. 选择题。1. B 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D7. C 8. C 9. B 10. D 11. C 12. A二. 填空题。1. 9，27 2. 11，3603. 4. 246255. 6. 1mh，7. a 8. ab4三. （2）CFCE 恰为平行四边形 ABCD 周长。四. 过 D 点作 CF 平行线去证明DEACFB。五. （1） ；（2）ABECF5
