1、转数学奥林匹克专题讲座六(2009-01-31 12:33:22)标签：杂谈 分类：他山之石转数学奥林匹克专题讲座六第 10 讲 应用问题选讲我们知道，数学是一门基础学科。我们在学校中学习数学的目的，一方面是为学习其它学科和学习更深的数学知识打下一个基础，更重要的是为了现在和将来运用所学的数学知识去解决一些日常生活、科学实验、工农业生产以及经济活动中所遇到的实际问题。运用数学知识解决实际问题的基本思路是：先将这个实际问题转化为一个数学问题（我们称之为建立数学模型），然后解答这个数学问题，从而解决这个实际问题。即：这里，建立数学模型是关键的一步。也就是说，要通过审题，将实际问题与自己学过的数学知
2、识、数学方法联系起来，将其归结到某一类型的数学问题，然后解答这个数学问题。下面介绍一些典型的数学模型。一、两个量变化时，和一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的和始终保持不变，那么它们的差与积之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，和始终保持不变，那么它们的差越小，积就越大。若它们能够相等，则当它们相等时，积最大。这个规律对于三个和三个以上的变量都是成立的。例 1 农民叔叔阿根想用 20 块长 2 米、宽 1.2 米的金属网建一个靠墙的长方形鸡窝。为了防止鸡飞出，所建鸡窝的高度不得低于 2 米，要使鸡窝面积最大，长方形的长和宽分
3、别应是多少？解：如上图，设长方形的长和宽分别为 x 米和 y 米，则有x2y1.22024。长方形的面积为因为 x 和 2y 的和等于 24 是一个定值，故它们的乘积当它们相等时最大，此时长方形面积 S 也最大。于是有x=12， y6。例 2 如果将进货单价为 40 元的商品按 50 元售出，那么每个的利润是 10 元，但只能卖出 500 个。当这种商品每个涨价 1 元时，其销售量就减少 10 个。为了赚得最多的利润，售价应定为多少？解：设每个商品售价为（50+x）元，则销量为（500-10X）个。总共可以获利（50 x-40 ）（500-10x ）=10（10+X）（50-X）（元）。因（1
4、0+x）+（50x）=60 为一定值，故当 10+X=50X 即 X=20 时，它们的积最大。此时，每个的销售价为 5020=70 （元）。例 3 若一个长方体的表面积为 54 厘米 2，为了使长方体的体积最大，长方体的长、宽、高各应为多少厘米？解：设长、宽、高分别为 x，y ，z 厘米，体积为 V 厘米 3。2 （xy yz+zx）=54，xyyz+zx=27。因为 V2=（xyz） 2=（xy）（yz）（zx），故当 xy=yz=zx 即 x=y=z=3 时，V 2 有最大值，从而 V 也有最大值。例 4 有一块长 24 厘米的正方形厚纸片，在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无
5、盖的纸盒，现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？解：如上图，设剪去的小正方形的边长为 x 厘米，则纸盒的容积为V=x （24-2x）（24-2x）=22x（12-x）（12-x）。因为 2x+（12-x）+ （ 12-x）=24是一个定值，故当2x=12-x12-x ，即 x=4 时，其乘积最大，从而纸盒的容积也最大。二、两个量变化时，积一定的问题两个变化着的量，如果在变化的过程中，它们的乘积始终保持不变，那么它们的差与和之间有什么关系呢？观察下面的表：我们不难得出如下的规律：两个变化着的量，如果在变化的过程中，乘积始终保持不变，那么它们的差越小，和就越小。若它们能够相等
6、，则当它们相等时，和最小。例 5 长方形的面积为 144 cm2，当它的长和宽分别为多少时，它的周长最短？解：设长方形的长和宽分别为 xcm 和 ycm，则有xy144。故当 x=y=12 时，x+y 有最小值，从而长方形周长 2（xy ）也有最小值。例 6 用铁丝扎一个空心的长方体，为了使长方体的体积恰好是 216cm3，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝长度最短？解：设长方体的长、宽、高分别为 xcm，ycm，zcm ，则有 xyz216。铁丝长度的和为 4（x y z），故当 xy=z6 时，所用铁丝最短。例 7 农场计划挖一个面积为 432 m2 的长方形养鱼池，鱼池周围两侧
7、分别有 3m 和4m 的堤堰如下图所示，要想占地总面积最小，水池的长和宽应为多少？解：如图所示，设水池的长和宽分别为 xm 和 ym，则有xy432。占地总面积为 S=（x6）（y 8）cm 2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我们知道 6y 8X=48432 为一定值，故当 6y=8X 时，S 最小，此时有6y=8X=144，故 y=24，x=18。例 8 某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张 240 元，使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有 48 名学生，老师打算组织学生集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包
8、车费均为 40元。若要使每个同学游 8 次，每人最少交多少钱？解：设一共买了 X 张卡，一共去游泳 y 次，则共有Xy=488=384（人次），总用费为（240x40y）元。因为 240x 40y=24040384 是一定值，故当 240x=40y，即 y=6x 时，和最小。易求得 x=8，y=48。此时总用费为2408 4048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。三、利用不等关系来解答的应用题例 9 某公司在 A，B 两地分别库存有某机器 16 台和 12 台，现要运往甲、乙两家客户的所在地，其中甲方 15 台，乙方 13 台。已知从 A 地运一台到甲方的运费为 50
9、0 元，到乙方的运费为 400 元，从 B 地运一台到甲方的运费为 300 元，到乙方的运费为 600 元。已知运费由公司承担，公司应设计怎样的调运方案，才能使这些机器的总运费最省？解：设由 A 地运往甲方 x 台，则 A 地运往乙方（16-x）台，B 地运往甲方（15-x ）台，B 地运往乙方（x 3 ）台。于是总运价为：S=500x+400（16-x）300（15-x ）+600（x-3 ）400x+9100。显然，x 要满足不等式 3x15，于是当 x=3 时，总运价最省，为 400 3 9100=10300（元）。调运方案为：由 A 地运往甲方 3 台，A 地运往乙方 13 台，B 地
10、运往甲方 12 台，B地运往乙方 0 台。例 10 某校决定出版“作文集”，费用是 30 册以内为 80 元，超过 30 册的每册增加1.20 元。当印刷多少册以上时，每册费用在 1.50 元以内？解：显然印刷的册数应该大于 30。设印刷了（30x）册，于是总用费为（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x），以内。例 11 现有三种合金：第一种含铜 60，含锰 40；第二种含锰 10，含镍90；第三种含铜 20，含锰 50，含镍 30。现各取适当数量的这三种合金，组成一块含镍 45的新合金，重量为 1 千克。（1）求新合金中第二种合金的重量的范围；（2）求新合金中含锰的重量的
11、范围。解：设第一种合金用量为 x 千克，第二种合金用量为 y 千克，第三种合金用量为 z 千克，依题意有（1）如果不取第一种合金，即 x=0，那么新合金中第二种合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三种合金，即 z=0，那么新合金中第二种合金重量最大。解得 y0.5。新合金中第二种合金的重量范围是 0.25 克到 0.5 克。（2）由可得 z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含锰的重量为S40x+10y+50z=40（2y-0.5 ）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因为 0.25y0.5，所以 0.25S0.4，即新合金中含锰的重量范围是 0.25 克到 0.4克。例
12、12 某商店需要制作如下图所示的工字形架 100 个，每个由三根长为 2.3 米、1.7米、1.3 米的铝合金材料组装而成。市场上可购得该铝合金材料的原料长为 6.3 米。问：至少要买回多少根原材料，才能满足要求（不计损耗）？解：每根原材料的切割有下表的七种情况：显然，三种方案损耗较小。方案依次切割原材料 42 根、14 根、29根、1 根，可得 2.3 米、1.7 米、1.3 米的材料各 100 根，共用原材料 4214291=86（根）。练习 101销售某种西服，当每件售价为 100 元时可售出 1000 件。如果定价每下降 1，那么销售量将提高 0.5，又知道这批西服是每件 80 元成本
13、购进的。问：应如何定价才能使获利最大？2下图是一个面积为 4m2 的窗户，当 ab 的值是多少时，窗户的框架所用的材料最省？3有一个长为 80cm、宽为 40cm 的木板，要以它为原材料做一个无盖的木盒，应该如何制作才能使木盒的容积最大？最大的容积是多少？4某厂要建造一个无盖的露天水槽，其底为正方形，容量为 64000m3。在建造时，槽底的造价是四壁的 2 倍，这个水槽的底面边长和高的比例是多少时，造价最省？5A 城有化肥 200 吨，B 城有化肥 300 吨，现要将化肥运往 C，D 两村。已知从A 城运往 C，D 两村的运价分别是每吨 20 元和 25 元，从 B 城运往 C，D 两村的运价
14、分别是每吨 15 元和 22 元。某个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，如何调运才能使运费最省？6有两个学生参加 4 次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于 90 分的整数。他们又参加了第 5 次测验，这样 5 次的平均分数都提高到了 90 分，求第 5 次测验二人的得分（满分为 100 分）。7某机械厂要把一批长 7300 毫米的钢筋截成长 290 毫米、210 毫米和 150 毫米的钢筋各一段组成一套钢筋架子。现在做 100 套钢筋架子，至少要用去长为 7300 毫米的钢筋多少根？8下表所示为 X，Y ，Z 三种食品原料的维生素含量（单位：单位/千克）及成本：现在要将三种食物混合
15、成 100 千克的混合物，要求混合物至少需含 44000 单位的维生素 A 及 48000 单位的维生素 B0 如果所用的食物中 x，Y，Z 的重量依次为 X 千克、y千克、Z 千克，那么请定出 X，y，Z 的值，使得成本为最少。练习 101.91 元。解：设定价为每件（100-x）元，则销售量为 1000（1+0.5x）件。利润为（100-x-80 ）1000（1+0.5x ）=500（20-x）（2+x）。因为（20-x）+（2+x ） =22 为一定值，故当 20-x=2+x 即 x=9 时利润最高。此时每件定价为 100-9=91（元）。2.23 。解：窗户的框架长为 3a+2b，而
16、ab=4 是一个定值，从而 3a2b=6ab=24 也是一个定值，故当 3a=2b 即 ab=23 时窗户框架所用材料最省。3.32000cm 3解：设木盒的长、宽、高分别为 xcm，ycm，zcm ，则它的容积为 V=xyzcm3。因为xy+2xz+2yz=4080=3200为一定值，故它们的积xy2xz2yz=4（xyz） 2=4V2，在 xy=2xz=2yz 时最大，从而 V 也最大，此时有 x=y=2z。经计算得x=40， y=40，z=20。具体制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作为木盒的底面，再将剩下的一半分成 20 cm40 cm 大小的四等份，每份作为木盒的一个
17、侧面就可以了。4.11 。解：设四壁的造价是 a 元/m 2，则底面造价为 2a 元 /m2。又设其底面边长为 xm，高为 ym，则有x 2y=64000。总造价为a4xy+2ax 2=2a（2xy+x 2）=2a （xy+xy+x 2）。因为 xyxyx2=（x 2y） 2=640002 为一定值，故当 xy=xy=x2 即 xy=1 1 时，总造价最省。5. 解：设 A 城化肥运往 C 村 x 吨，则运往 D 村（200-x ）吨；B 城化肥运往 C 村（220-x）吨，运往 D 村（ 80+x）吨，总运费 y 元，则y=20x+25（200-x ）+15（220-x）+22（80+x）=
18、2x+10060。又易知 0x200，故当 x=0 时，运费最省，为 10060 元。运输方案如下：A 城化肥运往 C 村 0 吨，运往 D 村 200 吨；B 城化肥运往 C 村 220吨，运往 D 村 80 吨。6.98，94。解：设某一学生前 4 次的平均分为 x 分，第 5 次的得分为 y 分，则其 5 次总分为4x+y=590=450。于是 y=450-4x。显然 90y100 ，故90450-4x100，解得 87.5x90。于是两个学生前 4 次的平均分分别为 88 分和 89 分。第 5 次得分分别为 450-488=98（分）和 450-489=94（分）。7.90 根。解：
19、每一根 7300 毫米的钢筋有如下三种损耗较小的截法：2902+1501=7300， 2102+1502=7200， 2102+2902=7100。 设按方案截得的钢筋有 x 根，按方案截得的钢筋有 y 根，按方案截得的钢筋有z 根，则长为 290，210，150 毫米各有 100 根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是 x=40，y=30 ，z=20。一共至少用去长为 7300 毫米的钢筋 90 根。8. 30，20， 50。解：x+y+z=100， 400x+600y+400z44000， 800x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y
20、+2z240。 由-2，得 y20。由-2，得 2x-y40。由得 z=100-x-y。成本为6x+5y+4z=6x+5y+4 （100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480。第 11 讲 计数的方法与原理计数方法与原理是组合数学的主要课题之一，本讲介绍一些计数的基本方法及计数的基本原理。一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京，他要了解所有可供乘坐的车次共有多少，一个最易行的办法是找一张全国列车运行时刻表，将所有从武汉到北京的车次逐一挑出来，共有多少次车也就数出来了，这种计数方法就是枚举法。所谓枚举法，就是把所要求计数的所有对象一一列举出来，最后计算
21、总数的方法。运用枚举法进行列举时，必须注意无一重复，也无一遗漏。例 1 四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。问：一共有多少种不同的方法？解：设四个学生分别是 A，B ，C ，D ，他们做的贺年片分别是 a，b，c，d。先考虑 A 拿 B 做的贺年片 b 的情况（如下表），一共有 3 种方法。同样，A 拿 C 或 D 做的贺年片也有 3 种方法。一共有 33 3=9（种）不同的方法。例 2 甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。问：一共有多少种可能的情况？解：如下图，我们先考虑甲胜第一局的情况：图
22、中打 的为胜者，一共有 7 种可能的情况。同理，乙胜第一局也有 7 种可能的情况。一共有 77=14（种）可能的情况。二、加法原理如果完成一件事情有 n 类方法，而每一类方法中分别有 m1，m2，mn 种方法，而不论采用这些方法中的任何一种，都能单独地完成这件事情，那么要完成这件事情共有N=m1+m2+mn种方法。这是我们所熟知的加法原理，也是利用分类法计数的依据。例 3 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。例如1331，7，202 都是回文数，而 220 则不是回文数。问： 1 到 6 位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第 2000 个回文数是多少？解：一
23、位回文数有：1，2， ，9，共 9 个；二位回文数有：11，22，99，共 9 个；三位回文数有：101，111，999，共 90 个；四位回文数有：1001 ， 1111，9999，共 90 个；五位回文数有：10001，10101 ，99999 ，共 900 个；六位回文数有：100001，101101，999999 ，共 900 个。到六位数为止，回文数共有99 9090 900900=1998（个）。第 1999 个回文数是 1000001，第 2000 个回文数是 1001001。例 4 设有长度为 1，2，9 的线段各一条，现在要从这 9 条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少
24、种不同的取法？这里规定当用 2 条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。解法 1：因为所以正方形的边长不大于 11。下面按正方形的边长分类枚举：（1）边长为 11：9 2=8+3=74=6 5，可得 1 种选法；（2）边长为 10：9 1=82=73=64，可得 1 种选法；（3）边长为 9：9=81=72=6 3=5 4，可得 5 种选法；（4）边长为 8：8=71=62=5+3 ，可得 1 种选法；（5）边长为 7：7=61=52=4 3，可得 1 种选法；（6）边长6 时，无法选择。综上计算，不同的取法共有11+511=9（种）。解法 2：由于这些线段互不等长，故至少要用 7 条线
25、段才能组成一个正方形。当恰取7 条线段组成正方形时，正方形的 3 条边各用 2 条线相接，另一条边只用一条线段；当恰用 8 条线段时，只能每边各用 2 条线段相接（容易看出，其他情况不可能发生）。因为 1+2 9=45， 45 不能被 4 整除，所以用 9 条线段，不可能组成正方形。由解法一知，拼出的正方形边长至多为 11，又易知正方形的边长不可能为 1，2，3 ，4，5 ，6。有了以上分析就容易计数了。（1）取出 7 条线段，有以下 7 种：7=1+625 34；81+72+635；918 2 736=4 5（这个式子有 5 种）；（2）取出 8 条线段，有以下 2 种：192 8 3746
26、 ；293 8 4756 。综上所述，不同的取法共有 72=9 （种）。三、乘法原理如果完成一件事必须分 n 个步骤，而每一个步骤分别有 m1，m2，mn 种方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种方法。这就是乘法原理，它是分步法的依据。乘法原理和加法原理被称为是计数的基本原理。我们应注意它们的区别，也要注意二者的联合使用。例 5 一台晚会上有 6 个演唱节目和 4 个舞蹈节目。求：（1）当 4 个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每 2 个舞蹈节目之间至少安排 1 个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？解：（1）先将 4 个舞蹈节目看成 1 个节目，与 6
27、 个演唱节目一起排，有 7！=7654321=5404（种）方法。第二步再排 4 个舞蹈节目，有 4！=432124（种）方法。根据乘法原理，一共有 504024=120960（种）方法。（2）首先将 6 个演唱节目排成一列（如下图中的“”），一共有 6！=65432 1=720（种）方法。第二步，再将 4 个舞蹈节目排在一头一尾或 2 个演唱节目之间（即上图中“”的位置），这相当于从 7 个“” 中选 4 个来排，一共有 7654840（种）方法。根据乘法原理，一共有 720840=604800（种）方法。例 6 有 8 个队参加比赛，如果采用下面的淘汰制，那么在赛前抽签时，实际上可以得到多
28、少种不同的安排表？解：8 个队要经过 3 轮比赛才能确定冠亚军。将第 1 轮的 4 组，自左至右记为1，2 ，3 ，4 组，其中第 1，2 组为甲区，3，4 组为乙区。8 个队抽签即是在上图的 8 个位置排列，共有8！=87654321=40320（种）不同的方法。但是，两种不同的排列不一定是实际上不同比赛的安排表。事实上，8 队中的某 4 队都分在甲区或乙区，实际上是一样的；同区的 4 队中某 2 队在某一组或另一组，实际上也是一样的；同组中的 2 队，编号谁是奇数谁是偶数实际也是一样的。由乘法原理知，在 40320 种排法中，与某一种排法实质上相同的排法有 22224=27=128（种），
29、故按实际不同比赛安排表的种数是四、对应法小孩子数苹果，往往掰着手指头，一个一个地掰，掰完左手掰右手，这种数苹果的方法就是对应法。小孩子把苹果与自己的手指头一对一，他掰了几个指头，也就数出了几个苹果。一般地，如果两类对象彼此有一对一的关系，那么我们可以通过对一类较易计数的对象计数，而得出具有相同数目的另一类难于计数的对象的个数。例 7 在 88 的方格棋盘中，取出一个由 3 个小方格组成的“L”形（如图 1），一共有多少种不同的方法？解：每一种取法，有一个点与之对应，这就是图 1 中的 A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上。从图 2 可以看出，棋盘内的每一个点对应着 4 个不同的取
30、法（“L”形的“角”在 22 正方形的不同“角”上）。由于在 88 的棋盘上，内部有 77=49（个）交叉点，故不同的取法共有494=196（种）。例 8 数 3 可以用 4 种方法表示为 1 个或几个正整数的和，如3，1 2 ，2+1，1+11 。问：1999 表示为 1 个或几个正整数的和的方法有多少种？分析与解：我们将 1999 个 1 写成一行，它们之间留有 1998 个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“”号。例如对于数 3，上述 4 种和的表达方法对应：111，11 1 ，111，111。显然，将 1999 表示成和的形式与填写 1998 个空隙处的方式之间一对一，而每一
31、个空隙处都有填“”号和不填“”号 2 种可能，因此 1999 可以表示为正整数之和的不同方法有五、容斥原理在应用加法原理时，关键在于把所要计数的对象分为若干个不重不漏的类，使得每类便于计数。但是具体问题往往是复杂的，常常扭成一团，难以分为不重不漏的类，而要把条理分清楚就得用加法原理的推广容斥原理。为了表达方便，我们用 A 表示 A 类元素的个数，用 B 表示 B 类元素的个数，用 AB 表示是 A 类或是 B 类元素的个数，用 AB 表示既是 A 类又是 B 类元素的个数。ABC，ABC 的意义类似。容斥原理 1 如果被计数的事物有两类，那么ABA BA B。容斥原理 2 如果被计数的事物有三
32、类，那么ABCA+BC-AB-BCA CABB 。容斥原理的实质在于包含与排除，或形象地称之为“多退少补”。容斥原理若用韦恩图进行分析和记忆，十分方便，留给读者研究。例 9 在 100 名学生中，有 10 人既不会骑自行车又不会游泳，有 65 人会骑自行车，有 73 人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？解：从 100 名总人数中减去既不会骑自行车又不会游泳的 10 人，就是会骑自行车或会游泳的人数100-10=90（人）。既会骑自行车又会游泳的有（6573）90=48（人）。例 10 在 1 至 100 的自然数中，不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5 整除的数，占这 10
33、0 个自然数的百分之几？解：由容斥原理 2 知，1 至 100 的自然数中，或能被 2 整除，或能被 3 整除，或能被 5 整除的自然数的个数是50 3320-16-6 374 。所以，在 1 至 100 的自然数中，不能被 2 整除，又不能被 3 整除，还不能被 5 整除的自然数有 10074=26（个），占这 100 个自然数的 26。六、归纳法对于比较复杂的问题，可以先观察其简单情况，归纳出其中带规律性的东西，然后再来解决较复杂的问题。例 11 10 个三角形最多将平面分成几个部分？解。设 n 个三角形最多将平面分成 an 个部分。n=1 时， a1=2；n=2 时，第二个三角形的每一条
34、边与第一个三角形最多有 2 个交点，三条边与第一个三角形最多有 23=6（个）交点。这 6 个交点将第二个三角形的周边分成了 6 段，这 6段中的每一段都将原来的每一个部分分成 2 个部分，从而平面也增加了 6 个部分，即a2 223。n3 时，第三个三角形与前面两个三角形最多有 4312（个）交点，从而平面也增加了 12 个部分，即：a3=22343。一般地，第 n 个三角形与前面（ n-1）个三角形最多有 2（n-1）3 个交点，从而平面也增加 2（n1）3 个部分，故an=223432（n-1）322 4 2（n-1）323n （n-1）3n 2-3n2。特别地，当 n10 时，a103
35、10 23102=272，即 10 个三角形最多把平面分成 272 个部分。七、整体法解答数学题，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题。例 12 正方形 ABCD 的内部有 1999 个点，以正方形的 4 个顶点和内部的 1999 个点为顶点，将它剪成一些三角形。问：一共可以剪成多少个三角形？共需剪多少刀？解：我们从整体来考虑，先计算所有三角形的内角和。汇聚在正方形内一点的诸角之和是 360，而正方形内角和也是 360，共有 3601999360 ，从而三角形的个数是由于每个三角形有三条边，而正方形纸原来的 4 条边当然不用剪；其余的边，由于是
36、两个三角形的公共边，剪一刀出两条边，所以共剪的刀数是练习 111一只青蛙在 A，B ，C 三点之间跳动，若青蛙从 A 点跳起，跳 4 次仍回到 A 点，则这只青蛙一共有多少种不同的跳法？2在国际象棋棋盘上放置两只“车”，如果它们彼此不构成威胁，那么一共有多少种不同的放法？3在 88 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的 “凸”字形图形？4从 19，20，21，97，98，99 这 81 个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？5平面上有 7 个不在同一直线上的点，以这 7 个点作为顶点做三角形，使得任何两个三角形至多只有一个公共顶点。最多可做出多少个满足条件的三角形？6下图是一
37、个道路图。A 处有一大群孩子，这群孩子向东或向北走，在从 A 开始的每个路口，都有一半人向北走，另一半人向东走，如果先后有 60 个孩子到过路口 B，那么先后共有多少个孩子到过路口 C？7在 1001，1002 ，2000 这 1000 个自然数中，可以找到多少对相邻的自然数，使它们相加时不进位？8有 10 个箱子，编号为 1，2， ，10 ，各配一把钥匙，10 把各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好，先撬开 1，2 号箱子，取出钥匙去开别的箱子，如果最终能把所有箱子的锁都打开，则说是一种好的放钥匙的方法。求好的方法的总数。练习 111.6 种。解：如下图，第 1 步跳到 B，4 步回到 A 有
38、 3 种方法；同样第 1 步到 C 的也有 3 种方法。共有 6 种方法。2.3136 种。解：第一步，放第一只“车”，有 64 种方法；第二步，放第二只“车”，因不能和第一只同行，也不能同列，故有 49 种方法。由乘法原理，一共有 6449=3136（种）放法。3.168 个。解：在每个 23 的长方形中可以找到 2 个“凸”字形图形， 88 方格棋盘中共有 84个 23 的长方形，所以可以找到842=168（个）。4.1600 种。解：从 19 到 99 共计 81 个不同的整数，其中有 41 个奇数、40 个偶数。若选取两数之和为偶数，则必须且只须选取的两个数有相同的奇偶性，所以选取的方
39、法数分为两类：第一类，选取两个不同偶数的方法数；第二类，选取两个不同奇数的方法数。依加法原理，这两类方法数的总和即为所求的方法数。第一类是从 40 个偶数中选取两个不同偶数的方法数，先取第一个偶数有 40 种方法，从其余 39 个偶数中选择第 2 个有 39 种方法，依乘法原理，共有 4039 种不同的方法，但注意选取第 1 个数比如 30，选取第 2 个数比如 32，与选第 1 个数 32，再选第 2 个数 30，是同一组。所以总的选法数应该折半，第二类是从 41 个奇数中选取两个不同奇数的方法数，与上述方法相同，5.7 个。2 个三角形至多有 1 个公共顶点，从而任意 2 个三角形没有公共
40、边，故至多另一方面，7 个是可以达到的。设 7 个点依次为 A1，A2，A7 。如右图，A1A2A3，A1A4A5，A1A6A7，A2A4A6，A2A5A7 ，A3A4A7，A3A5A6 这 7 个三角形两两没有公共边。故最多可以做 7 个三角形。6.48 人。解：如下图，设 A 处有 a 个孩子，图中各个路口边上的数字表示到过该又从下图看出，到过路口 C 的人数为7.156 个。解：相邻两数相加不需进位的数对中，前一个数可分成四类：（1）1999，1 个；由加法原理知，这样的数对共有1+5+25+125=156（个）。8.725760。解：设第 1，2 ，3， ，10 号箱子中所放的钥匙号码
41、依次为k1，k2，k3，k10 。当箱子数为 n（n2 ）时，好的放法的总数为 an。当 n=2 时，显然 a2=2（k1=1 ，k2=2 或 k1=2，k2=1 ）。当 n=3 时，显然 k33，否则第 3 个箱子打不开，从而 k1=3 或 k2=3，于是 n=2时的每一组解对应 n=3 的 2 组解，这样就有 a3=2a2=4。当 n=4 时，也一定有 k44，否则第 4 个箱子打不开，从而 k1=4 或 k2=4 或k3=4，于是 n=3 时的每一组解，对应 n=4 时的 3 组解，这样就有 a4=3a3=12。依次类推，有a10=9a9=98a8=98765432a2=29！ =725760。即好的方法总数为 725760。
