1、28第二章 条件极值问题的变分法2.1 函数的条件极值问题，拉格朗日乘子这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。对于一个函数，如 ，其绝对极小值是根据下面条件求得，),(yxF（2-1）0),(,yxF解（2-1）式，可以求出相应的解 ，将 与 代入函数 则可获得函数的绝对极小（极大）值。1,yx1y,如果我们给定一约束条件 ，则表示 在给定的约束条件 的情形下，求 的极值。显)(),(xF),(),(yxF然，这种带有约束条件下求极值，相当于把所求范围缩小了，如果存在有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，
2、而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。对这类条件极值问题，一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理解， 的极值条件),(可以写成（2-2）0ddyFx约束条件可以写成（2-3）),(因此（2-2）式中的 , 不是独立的，而是由（ 2-3）式的微分关系式xdy（2-4）0dyx连系着的。假定 ，解（2-4）式，得0（2-5）yxd而（2-2）式可化为（2-6）0d)(d)(dxyFxyFx于是把（2-6）式与（2-3）式连在一起，是求解极值点 的两个方程式。1,如果用拉格朗日乘子法，可构造以下函数，如（2-7）),(),()(xyFy
3、x式中 称为拉格朗日乘子。 的极值条件为),(yxF（2-8）0d,dd y这里把 都看作是独立的任意变量，于是从（2-8）式可得到d,yx， ， （2-9）0xF0yF),(x消去 ，得29， （2-10）0yxF0),(yx这与（2-3）式和（2-6）式完全相同，所以用拉格朗日乘子法与上面介绍的方法是等价的。现在让我们在约束条件（2-11）0),(,),(2121nknx 下求函数（2-12）,F的极值，其中 。同样可用拉格朗日乘子法，设拉格朗日乘子为 ，并用nk k21（2-13）),(),( 211321 niinxxx 把 作为 , 的 个独立变量的函数，求其极值。Fnx,21k,2
4、1 n（2-14） nj kiijjikijxxF1 11dd由于 都是独立变量，于是由 ，得ijx, 0d*F（2-15） ),21(0),(21 kixnjxnijkij 这是求解 个变量的 个方程。knkn（2-15）式还可以通过以下方法求得。（2-12）式的变分极值要求（2-16）njjxF10d因为有（2-11）式的 个约束条件，所以这些 中只有 个是独立的。从（2-11）式的 个约束条件可以求得下列kjxknk微分条件（2-17）jjjiix1 ),2(0d将（2-17）式乘以 ，与（2-16）式相加，得i（2-18） nj jjikijjinji xxFxF111 0dd这里的
5、是任选的，如果我们选择 个待定的 ，使下面 个条件),21(kiki（2-19）kijij kj1 ),2(0满足，则（2-18）式就可以写成（2-20）nkj jjikij xxF11d这里 是作为独立量出现的，于是),2,1(dnkjx（2-21）),2,1(01 nkjjiij 将（2-19） 、 （2-21）及（2-11）式合在一起，即可得到（2-15）式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。302.2 泛函在约束条件 下的极值问题),21(0),(21 kiyxni 泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。【定理】 泛函（2-22）xyyxFnnd),;,(2
6、1 2121在约束条件（2-23 ）;,(0),(2 kiyni 下的变分极值问题所确定的函数 ，必满足由泛函),321xyyn（2-24）2121 d1xxiki FF的变分极值问题所确定的欧拉方程（2-25）),(0)(dnjyxjj 其中 为 个拉格朗日乘子。我们把 和 都看作是泛函 的变量，所以 同样也可)(xi),21k i0i以看作是泛函 的欧拉方程。（2-25）式也可以写成（2-26）),21(0)(d)(1 njyFxyFjjikij 现在让我们证明这个定理。首先求泛函（2-22）式的变分，它经过分部积分（用端点给定不变的条件）可以写成（2-27）njxjjj x12 d)(注
7、意到这里的 不是独立的，它是由约束条件（2-23）连系着的。设 为特定函数，于是有jy i),21(k（2-28）,0),(2121 iynixi 变分得（2-29）njxjjiii kix1 ),21(d)(2 把（2-27）式和（2-29）式相加，记 ，得极值条件kii（2-30）0d)()(112 njx jjkijij xyFxyyF因为 是 个任意特定函数，假定这 个函数由下列 个线性方程决定的，)(xik,21 ki jjixx1 0)(d)(（2-31）)21k，这里只要求行列式（2-32）0212211kkk kji yyyyy 就可以从（2-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的
8、解。根据（2-31 ）式，变分方程（2-30）式中，剩下的变分项只有31关系到 等 项了。即nkkyy21， k（2-33）0d)()(112 nkjx jki jjij xyFxyyF这 项 都是独立任意的。运用变分法预备定理后，得n),(j 0)(d)(1i jjij xy（2-34）),2,1nk将（2-31） 、(2-34)两式加在一起，便证明了（2-26）式是正确的，即证明了上述定理。下面讨论对于约束条件 的泛函极值问题。),(2121nni yx对于泛函（2-35）xyyxFnnd),(1 2121在约束条件 0),(2ni yx（2-36）);,(ki下的变分极值问题所确定的函数
9、 必须满足由泛函),21yn（2-37）2121 d)(1xxiki FxF的变分极值问题确定的欧拉方程（2-38）),(0)(dnjyxjj 或（2-39）),21(0)(1 njyxFyFjikikijij 在（2-37）式的变分中，我们把 和 都看作是 的变量，所以 也同样可以),21(njy),2(ki i看作是泛函 的欧拉方程。2.3 泛函在积分约束条件 21 d),(2121x inni xyy下的极值问题),21(ki将约束条件用泛函形式表示为 0d),;,(21 2121 x inni xyy， 为常数 （2-40）(kii【定理】 泛函（2-41）21 d),2121x nn
10、xyyF在约束条件（2-40）式下的变分极值所确定的函数 必须满足泛函)(,xy ki iix1dd2121kiixkiixF121（2-42）kiix1d21的变分极值问题所确定的欧拉方程32（2-43）),21(0dnjyFxjj 在（2-42）式的变分中，我们把 和 都看作泛函的变量，但 在这里是待定),21(njy),21(kini常量。所以（2-40）式同样可以看作是泛函 的欧拉方程。（2-43）式也可以写成（2-44）),21(0d1 njyyFxyFkijikijij 现在可以引进新的未知函数，把约束条件 ixi21的极值问题，化为 型的条件极值问题，引进符号0i（2-45）),
11、21(d),()(1 2121 kixyyzx nnii 因此有 ， ，对 求导数，得)(1xzi iixz)(2（2-46）,2121 innii 因此，约束条件（2-40）式可以由（ 2-46）式来代替。于是，我们的极值问题变为泛函（ 2-41）式在约束条件（2-46）式下的变分极值问题，根据2.2 节的定理，这种极值问题可以化为求泛函（2-47） 2121 d)()(1 xxki ii FzxF的无条件极值问题，其中 ki ninyxyF1212,(),( （2-48）)(xzi把 当作独立函数， （2-47）式在变分后给出欧拉方程nnnn zyy , 2212121 ，（2-49）),
12、21(0dnjyFxjj （2-50）,kizi （2-51）)()(把（2-48）式代入（2-49）及（2-50）式中，可以把它们进一步简化为（2-52）),21(0d1 njyxyFxyFkijijkijij （2-53）),(0)(klxl （2-51）izi 由（2-53）式证明了 都是常数， （2-52 ）式为l（2-54）),21(0d1 njyyFxyFkijijkijij 而（2-51）式就是约束条件（ 2-46）式， （2-54）式共有 个方程，也就是泛函n（2-55） kiixkiix1121)(33的欧拉方程，其中 ， ， ， 为拉格朗),(2121nnyyxF ,(12
13、1yyxnii ),2ny i日乘子，且 都是常数。显然， （2-55）式就是（2-42 ）式，由此，定理得到证明。i还应当指出，欧拉方程组的通解中有 个积分常数 和 个拉格朗日乘子 ，这 个nc,21 kk, 常数由约束方程（2-40）式及边界条件（2-56）)21()()(2njyxyxjjjj 来确定。【例 2-1】 在周长已知的情况下，求所围面积为最大的曲线。本题的约束条件为周长 L 为已知，即（2-57）syxsysLdd)(S02S022 现在要求在满足（2-57）条件下，求泛函（即所围面积）（2-58）S0S)(1xP为极值，这里 。该问题相当于求无条件泛函)()(sysx，（2
14、-59）LsyyR0 212d)()(2的极值。记 为F 21)()(1xyxF则有（2-60） 212*212* )( ,)(1, yxyFxyx如果 为弧长，则 ，则（2-60）式中的后两式可以写为s12yx（2-61）yyF 1,*代入欧拉方程，可得（2-62）0,0x积分一次，得（2-63）21cycy消去 y，得（2-64）22x它的解为（2-65）2cossinBA将（2-65）式代入（2-63）式的第一式，可得（2-66）1iy根据封闭围线条件， ，有)0()0(yLx，（2-67）0sin)1(cos)(inLBA（2-67）式中， 、 不等于零的解的条件是上面方程系数行列式等于零，即AB34（2-68）0sin1cosiL0in)1(cos2L或（2-69）1cosL其解为或 （2-70）nL2),2(2n从（2-67）第二式，得 01cosimsin)1(com22 ALALBnLL于是（2-65） 、 （2-66）式可以写成（2-71）12cosiCLnAyx消去 s，得一族圆（2-72）212)()(Ax为圆的半径，且有 ，圆心坐标为 ，故知最大面积应该是一个圆。AAL2),(12C
