1、微分中值定理,及导数的应用,第一节 微分中值定理,一、费马定理,二、微分中值定理1. 罗尔中值定理2. 拉格朗日中值定理,3. 柯西中值定理,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式,一、费马（Fermat)定理,先定义极值,费马引理 设函数f(x)在点 的某邻域 内有定义，并且,在 处可导，如果对任意的 ，有,那么,证明 不妨设 时， （如果 可类似的证明）. 于是，对于 ，有,从而当 时，,当 时,根据函数f (x)在 可导的条件和极限的保号性，便得到,所以,几何解释:,二、微分中值定理,几何解释:,例如,证,1)
2、 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,关于罗尔定理的几点说明,罗尔定理的三个条件对于结论的成立都是重要的.,例,2）罗尔定理的条件是结论成立的充分条件, 但不是必要条件.,3) 罗尔定理的结论中不是唯一的.,关于罗尔定理的几点说明,4) 将罗尔定理的条件（2）换为a,b上可导,结论仍成立.,例1,练习,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,1. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,求证存在,使,2. 设,可导，且,在,连续，,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,1. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,
3、验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,求证存在,使,2. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：,注：,拉格朗日中值公
4、式的几种表达形式,注：微分中值定理是联系函数与导数的桥梁。在利用导数性质讨论函数（增量）的性质时，常用此定理。,例2,证,练习:,又,故所证等式在定义域 上成立.,例3,练习,证,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,弦的斜率,切线斜率,证,作辅助函数,特别,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不 一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,注：柯西中值定理将两个函数的增量比与它们的导数比联系起来。在利用两个函数的导数讨论这两个函数的比值或增量比时，常用到柯西中值定理。,注意,柯西中值定理中分子、分母的导数是在同一点处的导数！,例4,证,分析：结论可变形为,例5.试证至少存
5、在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,法2 令,则 f (x) 在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,内容小结,1. 微分中值定理的条件、结论及关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,2. 微分中值定理的应用,(1) 证明恒等式,(2) 证明不等式,(3) 证明有关中值问题的结论,关键:利用逆向思维 设辅助函数,费马引理,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数
6、论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,罗尔(1652 1719),罗尔是法国数学家，1652年4月21日生于昂 贝尔特，1719年11月8日卒于巴黎。罗尔在数 学上的成就主要是在代数方面，专长于丢番 图方程的研究。 罗尔于1691年在题为任意 次方程的一个解法的证明的论文中指出了： 在多项式方程 的两个相邻的实根之间，方程 至少有一个根。在一百多年后，1846年尤斯 托（Giusto Bellavitis）将这一定理推广到可 微函数，尤斯托还把此定理命名为罗尔定理。,拉格朗日 (1736 181
7、3),法国数学家.,他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来, 数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论, 微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远 .,对数学的影,他是经典分析的奠基人之一,他为微,积分所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面 .,一生发表论文800余篇, 著书 7 本 ,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,至少有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,3. 思考: 在,即,当,时,问是否可由此得出,不能 !,因为,是依赖于 x 的一个特殊的函数.,因此由上式得,表示 x 从右侧以任意方式趋于 0 .,应用拉格朗日中值定理得,上对函数,
