1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.等比数列的前n项和公式当q1时，Sn= 或 ；当q=1时，Sn= .2.等比数列的前n项和公式的推导方法设Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,则qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+ a1qn,两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时， ,这一方法通常称为 .,乘公比错位相减法,学点一 等比数列前n项和公式,【解析】（1）解法一：a1=1,q=2,a5=a1q4=1 24=16，a10=a1q9=129=512.a5+a6+a10= =1 008.解法二：由a1=1,q=2,可求得a5=16,a10=512.,（1）求等比数
2、列1,2,4,从第5项到第10项的和； （2）在等比数列an中，已知a3= ,S3= ，求a1与q.,【分析】利用前n项和公式.,a5+a6+a10=S10-S5+a5= =1 008.解法三：由题意知a1=1,q=2,a5+a6+a10=S10-S4=1 023-15=1 008.（2）a3= ,S3= ,当q=1时，a1=a3= ,S3=3a1=3 = ,【评析】在等比数列an中，若已知五个量a1,an,q,n,Sn中的三个量，则应用等比数列的通项公式和前n项和公式可以求出其他两个量.,符合题意;当q1时，由通项公式及前n项和公式得综上知：a1= ，q=1或a1=6,q=- .,在等比数列
3、an中，a1+an=66，a2an-1=128,且前n项和Sn=126,求n及公比q.,解:a1an=a2an-1=128,又a1+an=66,a1, an可看作方程x2-66x+128=0的两根，解方程得 x1=2,x2=64，a1=2, an =64或a1=64, an =2.若a1=2, an =64,显然q1，由 =126,得2-64q =126-126q,q=2.由an =a1qn-1,得2n-1=32,n=6.若a1=64,an=2,同理可求得q= ,n=6.综上所述，n的值为6，公比为2或 .,学点二 用乘公比错位相减法求和,求数列1,3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1（
4、a0)的前n项和.,【分析】讨论a是否为1.当a=1时，数列为等差数列，当a1时，数列较复杂，利用乘公比错位相减法求Sn.,【解析】当a=1时，数列变为1,3,5,7,(2n-1),则当a1时，有Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1, aSn=a+3a2+5a3+7a4+(2n-1)an, ,-得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an,(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+an-1)=1-(2n-1)an+2 =1-(2n-1)an+又1-a0, .,【评析】（1）一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列且公比为q，求数列
5、anbn的前n项和时，可采用本题解法乘公比错位相减法.要善于识别题目类型，特别是当等比数列公比为负数的情形更值得注意.（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.（3）应用等比数列求和公式时，必须注意公比q1这一前提条件.如果不能确定公比q是否为1，应分两种情况讨论，这在以前高考中经常考查.,设an是等差数列，bn是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13. （1）求an,bn的通项公式； （2）求数列 的前n项和Sn.,解：,学点三 灵活运用前n项和公式,an为首项是正数的等比数列
6、，前n项和Sn=80,前2n项和S2n=6 560，在前n项中数值最大的项为54，求通项an.,【分析】若求an，必先求a1和公比q，这样就需列出关于a1和q的两个方程.题目中所给条件中，“前n项和中数值最大者为54”如何利用？这就要考虑an这个数列究竟是递增数列、递减数列，还是常数数列或摆动数列.以下结论可供我们解题过程参考运用.在等比数列中,【解析】,【评析】各项均为正数的等比数列,当公比大于1时,最大项在末位；当公比在0与1之间时，则最大项为首项.,设正项等比数列an的首项a1= ，前n项和为Sn，且210S30-（210+1）S20+S10=0. （1）求an的通项； （2）求nSn的
7、前n项和Tn.,解：（1）由210S30-（210+1）S20+S10=0,得210（S30-S20）=S20-S10，即210(a21+a22+a30)=a11+a12+a20,可得210q10(a11+a12+a20)=a11+a12+a20.an0，210q10=1,解得q= ，因而an=a1qn-1= ,n=1,2,.,学点四 实际应用,某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年的产量比上一年增加10%，那么从第1年起，约几年内可使总产量达到30万吨（精确到个位）？【分析】本题主要考查运用等比数列前n项和公式解决实际问题的能力.,【解析】根据题意，每年产量比上一年增加的百分率相同，所以从第
8、1年起，每年的产量组成一个等比数列an,其中a1=5,q=1+10%=1.1,Sn=30,【评析】解这类问题关键要抓住题目的特点，抽象出“比”的信息，将实际问题化为等比数列问题，利用等比数列有关知识解题.,于是得到 ， 整理后得1.1n=1.6.两边同时取对数,得nlg1.1=lg1.6,用计算器算得 5（年）.答：约5年内可以使总产量达到30万吨.,某林场原有森林木材量为a,木材每年以25%的增长率生长,而每年可砍伐的木材量为x，为使第20年末木材存有量翻两番,求每年砍伐量x（取lg2=0.3）.,解：依题意得各年木材存有量如下：,学点五 综合问题,【分析】利用an=Sn-Sn-1(n2)求
9、出an与an-1的递推关系式，用定义加以判断.,设数列an的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式：3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为正常数，n=2，3，4，）. （1）求证：数列an是等比数列； （2）设数列an的公比为f(t),作数列bn，使b1=1,bn=(n=2,3,),求数列bn的通项bn.,【解析】（1）证明：由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t,a2= .,又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t(n2) , 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t(n3). -得3tan-(2t+3)an-1=0, ,an是以a1=1为首项,以 为公比的
10、等比数列.（2）由（1）知， , .bn是以b1=1为首项， 为公差的等差数列， .,【评析】综合利用定义、通项公式、前n项和公式解题，要抓住a1,q,n,an,Sn之间的相互关系，灵活选用公式.,在数列an中，a1=2,an+1=4an-3n+1,nN*, （1）证明：数列an-n是等比数列； （2）求数列an的前n项和Sn; （3）证明：不等式Sn+14Sn对任意nN*均成立.,解：(1)证明：由题设an+1=4an-3n+1，得an+1-(n+1)=4(an-n)，nN*.又a1-1=1,数列an-n是首项为1，且公比为4的等比数列. (2)由(1)可知an-n=4n-1，于是数列an的
11、通项公式为an=4n-1+n.,数列an的前n项和（3）证明： 对任意的nN*，Sn+1-4Sn=- (3n2+n-4)0.不等式Sn+14Sn对任意nN*均成立.,1.等比数列的前n项和公式的两种形式有何特点？,或这两种形式的公式本质是相同的，只不过第一种形式中所含的四个量为Sn,n,a1,q，第二种形式中所含的量为Sn,n,q,a1,an.无论等比数列的前n项和公式以哪种表现形式出现，在Sn,n,a1,an,q这五个量中，只要给出其中的三个量便可以求出另外的两个量.,无论以两种表现形式中的哪一种形式出现，当q=1时，等比数列的前n项和都是一种形式Sn=na1.因为当q=1时，这个等比数列是
12、各项均为a1的常数列.在弄不清一个等比数列的公比q是不是等于1时，要分两种情况分别讨论，这种情况经常发生在公比q用字母表示的情况.当q=1时，不能用Sn= 及Sn= 的公式求和;当q1时,也不能用Sn=na1的公式求和.,2.等比数列前n项和公式的推导思想是怎样的？,Sn=a1+a1q+a1qn-2+a1qn-1, qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn . 式-式，有(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时， .我们把这种求和的方法叫做乘公比错位相减法.很明 显,这种方法可以给我们求某些数列的和带来很大的方便,因此我们在某种意义上来讲，这种求和的方法比这个结果的公式更重要.此公式还有其他推导方法，如,当q1时， ,整理得 .,1.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn，其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”.2.前n项和公式的应用中，要注意前n项和公式需分类讨论，即当q1和q=1时不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.3.在所求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数.4.错位相减法、合比定理法及拆项法是数列求和的基本方法，应仔细体会.,一样的软件不一样的感觉一样的教室不一样的心情一样的知识不一样的收获,
