1、一次方程组及应用考点图解技法透析1一次方程组的解法的基本思想是“消元”，常用代入法和加减法消元，对较复杂的一次方程组依方程结构特点可用整体代入、整体叠加、换元、设辅助元等技巧2例如方程组 （a 1和 a2中至少有一个不为零，b 1和 b2中至少有一个122axbyc不为零，a 1和 b1不同时为零，a 2和 b2也不同时为零）的解的讨论按以下规律进行：(1)当 时，方程组有唯一解；2(2)当 时，方程组无解；1122abc(3)当 时，方程组有无数多组解1122abc3方程组中某一个或两个方程含有绝对值符号，在解这类方程组时，要像解含有绝对值符号的一元一次方程那样，先设法去掉绝对值，一般要进行
2、分类讨论，有时根据隐含条件去绝对值符号，再求解4含字母系数的一次方程组，一般情况下，先用系数所含字母表示出方程组的解，再根据方程组解的情况进行讨论5一次方程组的应用的关键是通过审题理解题意，把握各种已知量、未知量的相互关系，从中找出相等关系，列出方程组对于题目中大量的数据可用列关系式；给出关系图；列表；分类等方法进行整理名题精讲考点 1 一次方程组的解例 1 设 a、b 分别是等腰三角形的两条边的长，m 是这个三角形的周长，当 a、b、m满足方程组 时，m 的值是_或_274【切题技巧】 根据等腰三角形的边分为腰和底边两类，因此 a、b 可能是两腰或一腰一底两种情况(1)当 a，b 是两腰的长
3、时，原方程组可化为 ，解得72mm= ；(2)当 a，b 是一腰一底的长时，若 a 为腰长，则 m=2a+b，原方程可化为163，解得 ，不符合三角形的三边关系，应舍去；若 a 为底边长，27412a则 m=a+2b，原方程组可化为 解得 ，符合三角形的三边关系，724ba1.574ab则 m=5【规范解答】 ，5163【借题发挥】 涉及到等腰三角形边长问题，要注意腰和底边的讨论，同时要结合三边关系检验，当方程组中有多个未知数时，要结合题意消元，从而把多元方程组转化为熟悉的一元一次方程【同类拓展】 1实数 a、b、c 的值满足（3a2bc4) 2(a2b3c6)20则 9a2b7c_考点 2
4、一次方程组的解法例 2 (1) 31238xyxy(2)1602xy【切题技巧】 对于(1)，其形式是连比形式表示的方程，可设其比值为 k；对于(2)，设 ， ，通过换元简化方程组1ax21by【规范解答】 【借题发挥】 在解形式上比较复杂的方程组时，要先观察方程组的结构特征，对于连比形式的可设其比值为一个辅助元，再用铺助元表示其它未知数；对于某一部分可以看成一个整体的用换元法，从而化繁为简；对于未知数系数有一定联系的可以用整体叠加等方法【同类拓展】 2已知非负实数 x，y，z 满足 ，设1234xyzW3x4y5z，求 W 的最大值与最小值考点 3 含绝对值符号的方程组例 3 方程组 的解的
5、个数为 ( )126xyA1 B2 C3 D4【切题技巧】 【规范解答】 A【借题发挥】 方程组中含有绝对值符号，可以根据绝对值的意义进行讨论，有的题中可以简化讨论，如： 可以分(1)xy0 时 + ；(2)xy0 时xyxy 或 xy有的题可以根据隐含条件去掉绝对值，如 ，隐含有 2y40 这一条124xy件【同类拓展】 3已知 xy10， 12，求 xy 的值考点 4 含字母系数的一次方程组例 4 k，b 为何值时，方程组 21()3kxyb(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解【切题技巧】 通过消元，将方程组解的情况的讨论转化为一元方程解的情况的讨论【规范解答】 【借题发挥】
6、 对于一次方程组的解的讨论常用消元法转化为形如 axb 的形式，(1)当 a0 时有唯一个解，(2)当 a0 且 b0 时无解，(3)当 a0 且 b0 时有无数个解；也可利用以下规律：形如 ，a 2，b 2，c 2均不为 0112xyc(1)若 ，则方程组有唯一一组解；(2)若 ，则方程组有无数组解；12ab1122abc(3)若 ，则方程组无解；1122cab【同类拓展】 4当 k、m 的取值符合条件_时，方程组 至少(21)4ykxm有一组解例 5 已知关于 x，y 的方程组 ，当20m10 时有整数解，则2357xyx2xyy 2的值等于_【切题技巧】 先用含字母 m 的式子表示出方程
7、组的解为 又 x，y 为整数，故 m 为 53752xmy的倍数，又20m10，则 m15，所以 ，则 x2xyy 273xy【规范解答】 7【借题发挥】 含字母系数方程组一般先用字母表示出方程组的解，再根据题意求出符合条件的特殊值，有时结合数的整数性求值；【同类拓展】 5m 为正整数，已知二元一次方程组 有整数解，且2103mxyx，y 均为整数，求 m2_考点 5 一次方程组的应用例 6 一辆客车，一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行速在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间过了 10 分钟，小轿车追上了货车；又过了 5 分钟，小轿车追上了客车；再过
8、t 分钟，货车追上了客车，则 t_【切题技巧】 设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为 S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为 a、b、c（千米分），并设货车经 x 分钟追上客车，由题意得由，得 30(bc)S，所以，x30，故 t3010515（分）10(),52.abScx【规范解答】 15例 7 能否找到 7 个整数，使得这 7 个整数沿圆周排成一圈后，任 3 个相邻数的和都等于 297 如果能，请举一例，如果不能，请简述理由【切题技巧】 假设存在符合题意 7 个整数，则根据题意列出方程组，再解方程组看有没有符合题意的整数解【规范解答】 【借题发挥】 当实际问题有多个对象时，一般就要设多个未知数，以便于找到更简单的等量关系，有时要设辅助未知数，利用整体思想来解决较复杂问题【同类拓展】 6一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶 5000km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎，如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶_km参考答案110 2最小值 19 最大值 3 4k1 或 k1 且 m4 时1068554 或 16 或 64 63750
