1、2017-2018 学年度上学期十二月考试高三试题数学（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则集合 为（ ）,6A28nBN ABA. B. C. D. (,3)031,0,122.已知命题 ，使 ，命题 ，则下列命题是真命题:pxR240ax :,3xqR的是（ ）A. B. C. D. q()q()p()pq3.已知数列 的前 项和记为 ，满足 ，且 ，要使得nanS185,3a122nna取到最大值，则 （ ）nSA.13 B.14 C.15 或 16 D.164.若 ，则 的值为
2、（ ）si3i()02sin2A. B. C. D. 5545455.设函数 ，则下列结论错误的是（ ）()cos2)3fxA. 的一个周期为 B. 的图像关于直线 对称()f()yfx23xC. 的一个零点为 D. 在区间 上单调递减2fx3x()f,36.设 是公差不为 0 的等差数列，满足 ，则该数列的前 10 项和 （ na224567aa10S）A.0 B.-5 C.-10 D.57.设 分别是等差、等比数列，且 ， ，则以下结论正确的是nab、 18ab41（ ）A. B. C. D. 2ab 3ab5ab 6ab8.已知 为锐角，且 ，则 （ ）sin()sin()A. B. C
3、. D. 34104310341043109.已知单位向量 与 的夹角为 ，对于实数 ，则 的最小值为（ ）ab6 2abA. B.2 C. D. 35310.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异” ， “势”是几何体的高， “幂”是截面面积，意思是：若两等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体 （如图所示） ，它是由抛物线 ，直线 及 轴D2yx4y所围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体，利用祖暅原理，旋转体 的参照体的三视D图如图所示，则旋转体 的体
4、积是 （ ）A. B. C. D. 163166811.若函数 的图象上存在关于直线 对称的点，则实数 的取值范围,0()lnxaf yxa是（ ）A. B. C. D. (,0)0,11,12.已知函数 ，则函数 在区间 内1,(,2)()3()xfxf()cosgxfx0,8所有零点的和为 （ ）A.16 B.30 C.32 D.40二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 与 满足 ， ，且 ，则实数 .ab(3,1)bab14.已知 的外心 满足 ，则 .ABCPABCcosA15.已知 是函数 两个相邻的两个极值点，且 在1,x()sin)(0fx
5、 ()fx处的导数 ，则 .323()02f 13f16.已知函数 ，若存在 ，使得 ，则2ln)()(xbf R1,2x()()fxfx实数 的取值范围是 .b三、解答题 （17-21 题 12，选作题 10） 17.在 中， ， . ABC5,26cb3cosaA（）求 的值；a（）求证： .18.已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 .nnS12,(2,)nanN13a（）求数列 的通项公式；a（）求证： .1212na 19.如图，在三棱柱 中，侧面 底面 ， 和 都是边1ABC1ABCAB1长为 2 的正三角形.（）过 作出三棱柱的截面，使截面垂直于 ，并证明；1BAB（）求 与平面
6、 所成角的正弦值.AC1B20.如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形， 平面 ，点PDCPABCD分别为 的中点，且 .,MN, 1,2AD（1）证明： 平面 ；MN PCD（2）设直线 与平面 所成角为 ，当 在 内变化时，求二面角AB(0,)6的取值范围.PBC21.已知函数 .(),()1)lnxfgkx（）证明： ，直线 都不是曲线 的切线；kRy()yfx（）若 ，使 成立，求实数 的取值范围.2,xe1()2fxgk请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线 的参数方程为 ，在同一平面直角坐标系中，将曲线Ccos3inxy（ 为 参
7、数 ）上的点按坐标变换 得到曲线 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立C123xyCx极坐标系.（）求曲线 的极坐标方程；（）若过点 （极坐标）且倾斜角为 的直线 与曲线 交于 两点，弦3(,)2A6lC,MN的中点为 ，求 的值.MNPMN23.已知函数 ， ()23fxax()23gx（1）解不等式 ； 5g（2）若对任意 ，都存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围1xR2x12()fxa试卷答案一、选择题1-5: DBCAC 6-10: AAAAD 11、12：DC二、填空题13. 14. 15. 16. 212129(,)4三、解答题17.解：（）因为 ，所以 . 36cos2aA
8、2236bcaa因为 ， ，所以 .5cb409解得： ，或 （舍）. 3a9（）由（）可得： . 所以 . 26cos3A21coss3A因为 ， ， ，所以 . 3a5c26b221cos3acbB所以 . os2AB因为 ， 所以 .cba(0,)3A因为 ， 所以 . (0,)2B18.解：（）由题意 1nna累加得231na（） ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，12nna1na142因此12 2.1nn1n219.解： （）设 中点为 ，连 ，则截面 为所求，ABO1,CB1OBC分别为 的中线，所以 ，1,OC1,A又 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，1 1（）以 为原
9、点， 方向为 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，Bx易求得 ，(,0)(,)A11(0,3),(0,3)(,3)CBC，13CBA设平面 的一个法向量为 ，(,)nxyz由 解得平面 的一个法向量为 ，103nxyz 1BC(3,1)n，1|30|cos, 56ACn所以 与平面 所成角的正弦值为1AC1B10520.解： 底面 PABCD,两两垂直，如图建系：0,21,0,2,01,E（1） BEDC0（2）设平面 的法向量为 PB,nxyz1,0,1,20D 202,1n设直线 与平面 所成角为 E3sinco,26BEn（3）设 ,Fxyz,2PFxyzPC三点共线 ,PC22xyz2
10、,F21,BF2,0AC解得： BFAC2120 1413,2设平面 的法向量为 ,mxyz131,0,2ABF 00,31132mxyz平面 的法向量为 P0,n3cos, 1m二面角 的余弦值为FABP021.解：（） 的定义域为 ， ，直线 过定点fx0,1,2ln1xfygx，1,0若直线 与曲线 相切于点 （ 且 ） ，则 ygxyfx0,lnx01x02ln1xk，即 ，0ln1x0l1x设 ， ，则 ，所以 在 上单调递lh,10hxhx0,增，又 ，从而当且仅当 时，成立，这与 矛盾.100 0所以， ，直线 都不是曲线 的切线；Rkygxyfx（） 即 ，令 ， ，12fx1
11、ln2k1lnkx2e,则 ，使 成立 ，2e,fxgminx，2ln1xk21lnlkx21l4kx（1）当 时， ， 在 上为减函数，于是 402e,2minex，2ek由 得 ，满足 ，所以 符合题意；212k14k2k（2）当 时，由 及 的单调性知 4k2ytlntx21lnx在 上为增函数，所以 ，即 ，12e,2ee 4kk若 ，即 ，则 ，所以 在 上为增函数，于是0k0xx,，不合题意；minex1ke2若 ，即 则由 ， 及 的单调性知0k40k21e04kx存在唯一 ，使 ，且当 时， ， 为减函数；2e,x0x 0,x当 时， ， 为增函数；0所以 ，由 得 0minx
12、001lnxk001ln2xk001ln2xk，这与 矛盾，不合题意.011244综上可知， 的取值范围是 .k,222.解：（） ， 22cos:1433inxxyCCy将 ，代入 的普通方程可得 ， 123xxyyC21xy即 ，所以曲线 的极坐标方程为 2:1Cx :（）点 直角坐标是 ，将 的参数方程),23(A)0,23(Al2cos6inxty代入 ，可得 ， 1xy5642tt所以 3| 21tANMP23.解：（1） )3,0(（2）由题意得 )(|)(|xgyxfy又 ， ，|3|2|2|)( aaaxf 2|3|)(xg则 ，解得 或 ，故实数 的取值范围为 .|3|15
13、),15,高三理科数学答案 2017.12.3 DBCAC AAAAD DC219(,)417.解：（）因为 ，所以 . 36cos2aA2236bcaa因为 ， ，所以 .5cb2409解得： ，或 （舍）. 3a9（）由（）可得： . 所以 . 26cos3A21coss3A因为 ， ， ，所以 . 3a5b221cos3abBc所以 . cos2AB因为 ， 所以 .(0,)3A因为 ， 所以 . (0,)218.解：（）由题意 1nna累加得 231na（） ， 是首项为 ，公比为 的等比数列，12nn1na142因此 12.2nna n119.解： （）设 中点为 ，连 ，则截面 为
14、所求，ABO1,CB1OBC分别为 的中线，所以 ，1,OC1,A又 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，1 1（）以 为原点， 方向为 轴方向建立如图所示的空间直角坐Bx标系，易求得 ，(1,0)(,)A133,3)CC，1(,),(0(0,)BBA设平面 的一个法向量为 ，1 )nxyz由 解得平面 的一个法向量为 ，130nxyz 1B(3,1)n，1|30|cos, 56ACn所以 与平面 所成角的正弦值为1AC1B10520.解： 底面 PD,两两垂直，如图建系：AB0,21,0,2,01,CE（1） ED0BC（2）设平面 的法向量为 P,nxyz1,0,1,20BD 202,
15、1n设直线 与平面 所成角为 EB23sinco, 6En（3）设 ,Fxyz,2PFxyzPC三点共线 ,PC22xyz2,21,BF2,0AC解得： AC1 143,2设平面 的法向量为 FB,mxyzzyxPED CBA131,0,2ABF 00,31132xmyz平面 的法向量为 P0,n3cos, 1m二面角 的余弦值为FAB021.解：（） 的定义域为 ， ，直线 过定点fx,1,2ln1xfygx，1,0若直线 与曲线 相切于点 （ 且 ） ，则 ygxyfx0,lnx01x02ln1xk，即 ，0ln1x0l1x设 ， ，则 ，所以 在 上单调递lh0,10hxhx0,增，又
16、，从而当且仅当 时，成立，这与 矛盾.01x所以， ，直线 都不是曲线 的切线；Rkygyfx（） 即 ，令 ， ，2fxln2kx1lnkx2e,则 ，使 成立 ，2e,1fxmi1x，2ln1xk2lnlk2ln4k（1）当 时， ， 在 上为减函数，于是 40xx2e,2minex，2ek由 得 ，满足 ，所以 符合题意；212k14k2k（2）当 时，由 及 的单调性知 14k214ytk1lntx21lnx在 上为增函数，所以 ，即 ，2e,2ee 4kk若 ，即 ，则 ，所以 在 上为增函数，于是0k0xx,，不合题意；minex1ke2若 ，即 则由 ， 及 的单调性知k4k21
17、e04kx存在唯一 ，使 ，且当 时， ， 为减函数；20e,x0x0,xx当 时， ， 为增函数；所以 ，由 得 0minx001lnxk001ln2xk001ln2xk，这与 矛盾，不合题意.0101244综上可知， 的取值范围是 .k,222.解：（） ， 2cos:1433inxxyCCy将 ，代入 的普通方程可得 ， 1223xxyy 21xy即 ，所以曲线 的极坐标方程为 2:1CxC :C（）点 直角坐标是 ，将 的参数方程),23(A)0,23(Al2cos6inxty代入 ，可得 ， 21xy5642tt所以 3| 21tANMP23.解：（1） )3,0(（2）由题意得 )(|)(|xgyxfy又 ， ，|3|2|32|)( aaaxf 2|3|)(xg则 ，解得 或 ，故实数 的取值范围为 .|3|15 ),15,
