1、1,第三章,中值定理及其应用（中）,2,存在 (或为 ),定理 1.,(洛必达法则),推论1.,定理 1 中,换为,之一,推论 2.,若,理1条件,则,条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立.,二、洛比达法则及其应用,3,存在 (或为),定理 2.,(洛必达法则),说明: 定理中,换为,之一,条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立.,4,例1,解,例2,解,5,注意：,1)条件充分但不必要.,洛必达法则的使用条件.,例如,极限不存在也不是无穷大,2)对有些极限失效,6,如：,事实上：,如：,7,3)用洛必达法则之前应先,(1)检查极限的类型是否为,(2)结合以前的方法化简函数，,
2、注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，,它求极限方法结合使用，效果更好.,小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.,常用的有等价无穷,但与其,四则法则、变量代换等.,如等价无穷小代换、,8,三、函数单调性的判别法,注意：判别法的条件是充分条件而非必要条件.,问题：,错！,一个点不存在单调性.,9,四、函数的极值,1.极值的定义：,如果对适合不等式,如果对适合不等式,极大值、极小值通称为极值.,称为极大点；,极大点、极小点通称为极值点.,极值定义：,极值点定义：,将点,则称,义，,10,注：,极值与最值的区别：,是对整个区间而言，,绝对的、,极值：,最值：,是对某个点的邻域而言、,相对
3、的、可以不是唯一的.,极大值不一定都大于极小值.,如何求极值？,观察图形知：,可导函数极值点的导数是零.,是整体的、,唯一的.,是局部的、,11,2.取得极值的条件：,且在点,(费马定理),那么,处取得极值，,注意1:,但,函数的驻点却不一定是极值点.,可导函数的极值点,驻点,即,如：,是驻点，,也可能是极值点.,如：,连续不可导，,却是极小值点.,12,如：,也不是极值点.,3:,极值点的可疑点：,驻点，不可导点.,13,3.取得极值的充分条件：,可导.,到大经过点,时，,若,(1),在,的两侧，,由正变负，,由负变正，,不变号，,左正右负极大,左负右正极小,左右同号无极值,为,(1)第一充
4、分条件：,14,(2)第二充分条件：,二阶导数，,那么,且,注意使用的条件：,在 x0处可导.,对不可导点不能用.,问题：,五、函数的最值,1.闭区间a,b上连续函数的最值的求法,(比较法),步骤:,(1)求驻点和不可导点;,(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,就是最小值;,比较大小,最大的数就是最大值,最小的数,15,且只有一个驻,点，,它是极大(小)点，,则它一定是最大(小)值点.,3.对于实际问题，,且知最,若在一定区间内有唯一驻点，,大(小)值一定存在，,而且一定在定义区间内取得，,那么,可以不必讨论是否为极值，,就可断定该点就是最大,(小)值点.,六、曲线的凹凸性和拐点,16,
5、1.定义：,(1) 若恒有,(2) 若恒有,连续曲线上有切线的,凹凸分界点称为拐点 .,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,17,2.凹凸区间的求法,(1),(2),注意：,该定理换成其它区间仍然成立.,3.拐点的求法(第一充分条件),18,拐点的求法(第一充分条件),七、曲线的渐近线,1.水平渐近线,2.垂直渐近线,3.斜渐近线,19,曲线弯曲程度的描述曲率;,曲率圆(弧)可以近似代替曲线弧.,(2)曲率,(3)曲率半径,(1)弧微分:,思考： 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?,答: 有公切线 ;,凹向一致 ;,曲率相同.,八、曲率、曲率半径,20,典型例题分析,题型一、证明不等
6、式,可以利用：1)单调性,2)中值定理,3)泰勒公式,4)凹凸性,5)求最值,21,例1,证,22,说明：,1)用单调性证明不等式的步骤：,将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数,判断 的单调性.,用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.,2)为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.,3)为证不等式 可用 的单调性.,思考: 证明,时, 如何设辅助,函数更好 ?,提示:,23,例2. 证明,证,故,时,单调增加 ,从而,所以原不等式成立.,24,例3,分析,取对数,25,(1)设,是方程,的一个解,则,(A) 取得极大值 ;,(B) 取得极小值 ;,(C) 在某邻域内单调增加 ;,(D) 在某邻域内单调减少 .,提示:,A,例4,题型二、极值和拐点,(2)设,则在点 a 处( ).,B,26,27,解,(3),28,解,(4),29,解,30,例5,解,31,例6 求数列,的最大项 .,证,求导得,列表判别:,因此在,处,也取最大值 .,又因,内只有唯一的极大点,32,试问,为何值时,在,时取得极值 ,解,由题意应有,又,取得极大值为,例7,求出该极值,并指出它是极大还是极小.,33,谢谢大家！,
