1、山西实验中学、南海桂城中学 2018 届高三上学期联考数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ， ，则 （ ）3,21,0A23BxABA B C D1,0, ,1,020,22.已知 ，则复数 的虚部为（ ）izzA B C D323232i32i3.已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）:pab:qA. 是 的充分不必要条件 B. 是 的必要不充分条件pqC. 是 的既不充分也不必要条件 D. 是 的充要条件pq4.如图所示的程序框图中，输出的 的值是（ ）SA80
2、B100 C120 D140 5. 等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 （ ）nanS679218a63SA18 B27 C. 36 D456.已知双曲线 离心率为 ，则其渐近线与圆 的位210,xyba 2214xay置关系是（ ）A相交 B相切 C.相离 D不确定7.若 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）,xy20xy2zxyA B C. 1 D24838.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A B C. D1431038329. 函数 的图象大致是（ ）ln01xfA B C. D10. 的展开式中 的系数是（ ）841xy2xy
3、A56 B84 C. 112 D16811.设抛物线 的焦点为 ,点 在 上， ，若以 为直径的圆过2:0CypxFMC5FMF点 ,则 的方程为（ ）0A 或 B 或 24yx282yx28C. 或 D 或24yx216x2yx216x12若函数 在 单调递增，则 的取值范围是（ ）sini3fa,aA B C. D1,1,31,3第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 ，且 与 的夹角为 ，则 1,2abab32ab14某路公交车在 6:30，7 :00，7 :30 准时发车，小明同学在 6:50 至 7:30 之间到达该站乘车，且到达
4、该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率为 15已知 为锐角，且 ，则 25cos8tan2416. 已知四棱锥 的外接球为球 ，底面 是矩形，面 底面 ，且PABCDOABCDPABCD，则球 的表面积为 2,4PAD三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设等比数列 的公比为 ，前 项和 .naqn01,2nS（1）求 的取值范围；q（2）设 ，记 的前 项和为 ，试比较 与 的大小.213nnbnbnTnST18. 如图所示，在 中，斜边 ，将 沿直线 旋转得到RtABC4,60ACBABC，设二面角 的大小为
5、.ADC18（1）取 的中点 ，过点 的平面与 分别交于点 ，当平面 平面ABE,ACD,FG/EF时，求 的长（2）当 时，求二面角 的余弦值.DCFG=90BA19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 （单位:千元)对年销售x量 （单位: )和年利润 （单位:千元)的影响.对近 8 年的年宣传费 和年销售量ytz i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.1,28iy表中 .81iiiwx（1）根据散点图判断 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的yabxycdxyx回归类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立
6、关于 的回归方程；yx（3）已知这种产品的利润 与 的的关系为 .根据（2）的结果回答下列问题：z,xy0.z（）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？49x（）年宣传费 为何值时，年利润的预报值最大？附:对于一组数据 ，其回归直线 的的斜率和截距的最小二12,nuvuv vu乘估计为 .AA12,niiiiiu20.设点 的坐标分别为 ，直线 相交于点 ，且它们的斜率之积,B5,0,AMB.205b（1）求点 的轨迹方程；M（2）在点 的轨迹上有一点 且点 在 轴的上方， ，求 的范围.Px120APBb21.已知 .1axfxe（1）当 时，判断函数 在区间 上的单调性；2af0,
7、（2）求证：曲线 不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.1axgxe请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4 :极坐标与参数方程在平面直角坐标系 中，曲线 ( 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的xOy13cos:inxCy Ox正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .2 2sin（1）分别求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；1（2）若 分别为曲线 上的动点，求 的最大值.PQ、 12C、 PQ23.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 ，且 的解集为 .,fxmR0fx3,（1）解不等式： ；20ffx（2）若 均为正实数，
8、且满足 ，求证： .,abcabcm223bca试卷答案一、选择题1-5:ABACB 6-10:CDCCD 11、12：CC二、填空题13. 14. 15. 16.131234643三、解答题17.解：（1）因为 是等比数列， 可得 .na0nS10,aSq当 时， ，q10nS当 时， ，1nnaq即 0,2,q上式等价于不等式组： 10,12,nq或 10,2,nq解式得 ；解，由于 可为奇数、可为偶数，得 .n1q综上， 的取值范围是 .q1,0,（2）由 得213nnba， .nq2nTqS于是 .2312nTSq又因为 ，且 或 ，所以，010q当 或 时， ，即 ；12qnTSnT
9、S当 或 时， ，即 ；00当 ，或 时， ，即 .12q0nTSnTS18.解：（1）证明：因为平面 平面 ,/EFGBDC平面 平面 ，平面 平面 ，ABDA所以 ./EG因为 为 的中点，所以 为 的中点.同理可证： 为 的中点.所以 .FAC12FGCD在 中，斜边 ,RtB4,60B可知： ,即 ,cos602所以 .12FGCD（2）解:过点 作 交 于点 ,连接 ,则 .BOACODOAC因为 ，90所以平面 平面 .AD因为平面 平面 ， 平面 ，BAA所以 平面 .OC以点 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.在 中， ，RtBOC2,60ACB所以 .1,3所以 .3,
10、AOD所以 .,0,10,3BC设平面 的一个法向量为 ，1,nxyz则 可得 令 可得 .10,nDBC30,.11,3n易知： 平面 .OA所以 .1135cos,=nB所以二面角 的余弦值为 .DCA519.（1）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类ycdxyx型.（2）令 ，先建立 关于 的线性回归方程.wxyw由于 ，所以 关于 的线性回归方程为AA108.6,5368.10.6yw，.y因此 关于 的回归方程为 .x10.68yx（3）由（2）知，当 时，年销售量 的预报值 ,49xy10.684576.y年利润 的预报值 .z576.0263z根据（2
11、）的结果知，年利润 的预报值 .z0.216813.620zxx所以当 ,即 时， 取得最大值.13.682x4.2x故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大.20.解:设点 的坐标为M,xy因为点 坐标为 ，所以直线 的斜率A5,0AM5AMykx同理，直线 的斜率B5Bykx由已知有255ybx化简，得点 的轨迹方程为M2155xyxb方法一：设点 的坐标为 ，过点 作 垂直于 轴，垂足为 ，P0,PHxH005tan,tanxxAHBHyy000201+t1255xxyy因为点 的坐标为 在点 的轨迹上，所以P0,M20155xyxb得205xyb，02135b20135b因
12、为 ， ，0y2b.2153b所以解得 .30方法二：设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为P0,xy,AB5,0直线 的斜率 ，直线 的斜率A05AkP0BPykx由 得12PB000tan15yx所以 （1）20053yxy又由于点 的坐标为为 在点 的轨迹上，所以P0,xM20155xyxb得 ，代入（1）得22005xyb2005113yb.023y因为 ， ，0yb21035b.2153b所以解得 .30b方法三设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为P0,xy,AB5,0直线 的斜率 ，直线 的斜率A05AkP0BPykx由 得12PB000tan15yx所以 （1）20053yxy又由于点
13、 的坐标为为 在点 的轨迹上，所以P0,xM20155xyxb05cos,in.xyb代入（1）得 ， ，2210sinsin53bb2210sinsi5sin3b， ，21053ibi,si.2,50b所以解得 .03方法四：设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为P0,xy,AB5,0直线 的斜率 ，直线 的斜率A05AkP0BPykx由 得12PB000tan15yx所以 （1）0253yxb将 代入（1）得 ， ， .22005xyb20153by22013by21035b因为 ， ，0y235b.2153b所以解得 .30方法五设点 的坐标为 ，点 的坐标分别为P0,xy,AB5,0直线
14、的斜率 ，直线 的斜率A05AkP0BPykx由 得12B31BMAk235MAkb25ABMb0,0ABBkk2315AMBAMBbk 22315b.221053b所以解得 .50b21.解：（1）解： .2axfxae当 时， ，所以 时，函数 没有单调性0a1f0,fx当 时， ，得 ，所以 时， ，函数 单2fx1xa0,0fxfx调递增；当 时， ，所以 时， ，函数 单调递减；0a10a20,xfxfx时， ，函数 单调递增.2,xff（2）证明：因为 gxf所以要证曲线 不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线，10axygxe只需证明：当 时,且 时函数 是单调函数即可.0aff
15、x由（1）可知，当 时, 在 上递减；在 上递增.x20,1a21,a因为 ， .0fa21fea所以 ,使得 .02,x0fx所以在区间 上， 单调递减，且 ,在 上 .0,f0fx02,1a0fx又因为 时， ， ，21xa10xae所以在 上 .,f综上可知，曲线 不存在两条互相平行且倾斜角为锐角的切线.10axygxe22.解：（1）由曲线 参数方程可得1Ccos3inxy因为 ,所以 的普通方程为 .22sincos1219因为曲线 的极坐标方程为 ，即 ，2 2sin2sin故曲线 的直角坐标方程为 ，即 .Cxy21xy（2）设 3cos,inP则 到曲线 的圆心 的距离20,122 29cosin8sini10d2188sin ，当 时， 有最大值 .in1,1sid924 的最大值为 .PQ924dr23 （1）因为 ， 等价于 有解，得 ，fxmx0fxm0且其解集 .又 的解集为 ，故 .23,3所以 可化为 ， .20fxf30x26x当 时， ， ，又 ， ；2x26x4x2x42x当 时， ， ， ,又 , ；0+26R00x当 时， ， ，又 ， .0m综上、不等式 的解集为：fxf42x（2）证明： 均为正实数，且满足 .,abc3abc因为 2 222(当且仅当 时，取“=”)，222bcabcabc 1abc所以 ，即 .22c223
