1、长春市普通高中 2018 届高三质量监测（三） 数学理科一、选择题（本大题包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得： ，故选：C2. 若复数 ，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选：A3. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外” ，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位
2、数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推例如 3266 用算筹表示就是 ，则 8771用算筹可表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则 8771 用算筹可表示为 ，故选：C4. 函数 的部分图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除 A，C，当 ， .排除 B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)
3、定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题5. 将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象,则 的值可以为A. B. C. D. 【答案】C【解析】将函数 的图象向右平移 个单位得到函数，得到： .故选：C.6. 如图所示的程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 空白框中填入及最后输出的 值分别是（ ）A. 和 6 B. 和 6 C. 和 8 D. 和 8【答案】D【解析】空白框中 n 依次加 2 可保证其为偶数，排除 A，C时， ， 时，所以 D 选项满足要求故选：D7. 本不同的书摆放在书架的同
4、一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种A. B. C. D. 【答案】A【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有 种排法；.故选：A.8. 某几何体的三视图如图所示（单位： ） ，则该几何体的体积（单位： ）是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥， .故选：B. 9. 已知 的内角 的对边分别为 ，若 ， ，则 面积的最大值是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意知 ，由余弦定理， ，故 ，有 ，故 .故选：B10. 已知边长为 的等边三角形 ， 为 的中点，以 为折痕，将 折成
5、直二面角，则过 四点的球的表面积为A. B. C. D. 【答案】D【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为 ， 故其外接球的半径为 ，其表面积为 .故选：D.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点 P， A， B， C 构成的三条线段 PA， PB， PC 两两互相垂直，且PA a， PB b， PC c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2 a2 b2 c2求解11. 已知焦点在 轴上的双
6、曲线 的左右两个焦点分别为 和 ，其右支上存在一点满足 ，且 的面积为 3，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线可知 ，从而 .故选：B.12. 已知定义域为 的函数 的图象经过点 ，且对 ，都有 ，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ，有 ，所以 在定义域内单调递增，由 ，得 ，因为 等价于 ，令，有 ，则有 ，即 ，从而 ，解得 且 . 故选：B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如 构造 ， 构造， 构造 ， 构造 等二、填空题(本大题包
7、括 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为_.【答案】9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在 处取最大值故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知 、 取值如下表：画散点图分析可知： 与 线性相关，且求得回归方程为 ，则 的值为_.（
8、精确到 ）【答案】1.7【解析】将 代入回归方程为 可得 ，则 ，解得 ，即精确到 0.1 后 的值约 .故答案为：1.715. 已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 _.【答案】【解析】当 ，当 ，故 .故答案为：16. 已知腰长为 的等腰直角 中， 为斜边 的中点，点 为该平面内一动点，若，则 的最小值 _.【答案】【解析】如图建立平面直角坐标系， ,，当 sin 时，得到最小值为故答案为：三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分.17. 已
9、知数列 的前 项和为 ，且 ，在正项等比数列 中， .（1）求 和 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）由 求出 的通项公式，由等比数列的基本公式得到 的通项公式；（2） 利用错位相减法求出数列 的前 项和 .试题解析：（1） ， 令 ，又 数列 为等比， ，又各项均为正 ， （2）由（1）得：，点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S nqS n”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若
10、等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解.18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占 80%.现从参与调查的人群中随机选出 人，并将这 人按年龄分组：第 1 组 ，第 2 组 ，第 3 组 ，第 4 组 ，第 5 组 ，得到的频率分布直方图如图所示(1) 求 的值(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取人进行问卷调查，求在第 1 组已被抽
11、到 人的前提下，第 3 组被抽到 人的概率；（3）若从所有参与调查的人中任意选出 人，记关注“生态文明”的人数为 ，求 的分布列与期望.【答案】(1) (2) （3）试题解析：（1）由 ，得 ，（2）第 1，2，3 组的人数分别为 20 人，30 人，70 人，从第 1，2，3 组中用分层抽样的方法抽取 12 人，则第 1，2，3 组抽取的人数分别为 2 人，3 人，7 人. 设从 12 人中随机抽取 3 人，第 1 组已被抽到 1 人为事件 ，第 3 组抽到 2 人为事件 ， 则 （3）从所有参与调查的人中任意选出 1 人，关注“生态文明”的概率为 的可能取值为 0，1，2，3. ，所以 的
12、分布列为， 19. 在如图所示的几何体中，四边形 是正方形， 平面 ， 分别是线段的中点， .（1）求证： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析：（1）取 中点 ，连接 ，易得四边形 为平行四边形，从而所以 平面 ；（2） 平面 ，且四边形 是正方形， 两两垂直，以 为原点， ， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 ，求出平面 与平面 的法向量，代入公式得到所成锐二面角的余弦值.试题解析：（1）取 中点 ，连接分别是 中点， ，为 中点， 为矩形， ， 四边形 为平行四边形平面 ， 平面 ， 平面（2） 平面 ，且四边形 是正方形
13、， 两两垂直，以 为原点， ， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系则 设平面 法向量为 ， ，则 ， 即 ，取则设平面 法向量为 ， ，则 ， 即 ， 取.平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 . 点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理以及用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20. 在平面直角坐标系中，已知圆 的方程为 ，圆 的方
14、程为 ，动圆 与圆 内切且与圆 外切.(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程；(2)已知 与 为平面内的两个定点，过 点的直线 与轨迹 交于 , 两点，求四边形 面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心 的轨迹 的方程；（2）设 的方程为，联立可得 ，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆 的半径为 ，由题意知从而有 ，故轨迹 为以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，并去 除点 ，从而轨迹 的方程为 .（2）设 的方程为 ，联立 ，消去 得 ，设点 ，有 则 ，点 到直线 的距离为 ，点
15、到直线 的距离为 ，从而四边形 的面积令 ，有 ，函数 在 上单调递增，有 ，故 ，即四边形 面积的最大值为 .21. 已知函数 .（1）若 在 上是单调递增函数，求 的取值范围；（2）设 ，当 时，若 ，其中 ，求证： .【答案】(1) (2)见解析【解析】试题分析：（1） 在 上是单调递增函数等价于在 上， 恒成立，即： ，构造新函数求最值即可；（2）要证 ，即证 ，记 ，易证 在 上递增，转证 。试题解析：（1） 的定义域为 且单调递增，在 上， 恒成立，即：设 ， ， 当 时 ， 在 上为增函数，当 时 ， 在 上为减函数， ，即 . （2） ， 设 ，则 ，在 上递增且令 ，设 ，
16、在 上递增， ， ， ，令即：又 ， 即：， ， 在 上递增，即： ，得证. （二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ：， ： .（1）求 与 的交点的极坐标；（2）设点 在 上， ，求动点 的极坐标方程.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）联立 ，得到 ，从而求出 与 的交点的极坐标；（2）设 ， 且 ，由已知 利用相关点法可得动点 的极坐标方程.试题解析：（1）联立 ， ， ， ， 交点坐标 .（2）设 ， 且 ，由已知得 ，点 的极坐标方程为 . 23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 ， （1）当 时，求不等式 的解集；（2）对于 都有 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】试题分析：（1）对 x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于 ，都有 恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：（1）当 时，当 解得 当 恒成立. 当 解得 ，此不等式的解集为 . ，当 时，当 时， ，当 单调递减， f(x)的最小值为 3+m，设当 ，当且仅当 时，取等号即 时，g(x)取得最大值 . 要使 恒成立，只需 ，即 .
